大學(xué)物理上剛體講座

大學(xué)物理主講教師：姜海麗E-mail：jianghaili@－－－剛體習(xí)題剛體的定軸轉(zhuǎn)動

（2）、角量與線量的關(guān)系

（3）、勻變速轉(zhuǎn)動1、基本物理量（1）、角速度與角加速度2、力矩轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動慣量（1）、力矩（3）、轉(zhuǎn)動慣量：，或平行軸定理：決定剛體轉(zhuǎn)動慣量的三要素：（1）剛體的體密度；（2）剛體的幾何形狀；（3）轉(zhuǎn)軸的位置。（2）、轉(zhuǎn)動定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。典型題形：1、已知受力，求轉(zhuǎn)動參數(shù)（）2、已知一些轉(zhuǎn)動參量，求其他轉(zhuǎn)動參數(shù)。3、已知轉(zhuǎn)動狀態(tài)，求力矩。4、利用牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律解決問題5、力學(xué)的綜合問題質(zhì)點(diǎn)和剛體的對應(yīng)關(guān)系質(zhì)點(diǎn)剛體S1、一飛輪以600rev/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動慣量為2.5kg·m2，現(xiàn)加一恒定的制動力矩使飛輪在1s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動，則該恒定制動力矩的大小M＝_________．157N.m2、一作定軸轉(zhuǎn)動的物體，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J＝3.0kg·m2，角速度ω0＝6.0rad/s．現(xiàn)對物體加一恒定的制動力矩M＝－12N·m，當(dāng)物體的角速度減慢到ω＝2.0rad/s時，物體已轉(zhuǎn)過了角度θ＝_________________．4.0rad3、半徑為R具有光滑軸的定滑輪邊緣繞一細(xì)繩，繩的下端掛一質(zhì)量為m的物體．繩的質(zhì)量可以忽略，繩與定滑輪之間無相對滑動．若物體下落的加速度為a，則定滑輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量J＝______________________．m(g－a)R2/a4、如圖所示，A、B為兩個相同的繞著輕繩的定滑輪．A滑輪掛一質(zhì)量為M的物體，B滑輪受拉力F，而且F＝Mg．設(shè)A、B兩滑輪的角加速度分別為βA和bB，不計(jì)滑輪軸的摩擦，則有(A)βA＝βB．(B)βA＞βB．(C)βA＜βB．(D)無法確定．答案：C5、物體A和B疊放在水平桌面上，由跨過定滑輪的輕質(zhì)細(xì)繩相互連接，如圖所示．今用大小為F的水平力拉A．設(shè)A、B和滑輪的質(zhì)量都為m，滑輪的半徑為R，對軸的轉(zhuǎn)動慣量J＝AB之間、A與桌面之間、滑輪與其軸之間的摩擦都可以忽略不計(jì)，繩與滑輪之間無相對的滑動且繩不可伸長．已知F＝10N，m＝8.0kg，R＝0.050m．求：(1)滑輪的角加速度；(2)物體A與滑輪之間的繩中的張力；(3)物體B與滑輪之間的繩中的張力．

B

A

Fv

R

各物體受力情況如圖．

F－T＝ma

T’＝ma

(T-T’)R＝

a＝Rb

由上述方程組解得：

b＝2F/(5mR)＝10rad/s2

T＝3F/5＝6.0N

T’＝2F/5＝4.0N6、質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為Mr2/2，繞過盤的邊緣掛有質(zhì)量為m，長為l的勻質(zhì)柔軟繩索（如圖）．設(shè)繩與圓盤無相對滑動，試求當(dāng)圓盤兩側(cè)繩長之差為S時，繩的加速度的大小．rSMar SMaOx2x112解：選坐標(biāo)如圖所示，任一時刻圓盤兩側(cè)的繩長分別為x1、x2選長度為x1、x2的兩段繩和繞著繩的盤為研究對象．設(shè)a為繩的加速度，β為盤的角加速度，r為盤的半徑，為繩的線密度，且在1、2兩點(diǎn)處繩中的張力分別為T1、T2，則

=m/l，a=r

①x2g－T2=x2

a

②

T1－x1

g=x1

a

③(T1－T2)r=

(1/2M＋r)r2β

④解上述方程，利用l=r＋x1＋x2，并取x2－x1

=S得

7、有一半徑為R的圓形平板平放在水平桌面上，平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為μ，若平板繞通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度ω0開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？（18）解：在r處的寬度為dr的環(huán)帶面積上摩擦力矩為總摩擦力矩故平板角加速度

=M/J

設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n，則轉(zhuǎn)角

=2n

由

可得

8、一轉(zhuǎn)動慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動，起初角速度為ω0．設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動角速度成正比，即M＝－kω(k為正的常數(shù))，求：圓盤的角速度從ω0變?yōu)闀r所需的時間．解：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律：Jd/dt=-k∴

兩邊積分：

得ln2=kt/J ∴t＝(Jln2)/k

3.力矩的累積效應(yīng)（1）空間累積：力矩的功動能定理轉(zhuǎn)動動能：剛體的重力勢能：4.角動量守恒定律當(dāng)時，有說明：(1)一個剛體說明是轉(zhuǎn)動慣性的量度。

(2)多個剛體（2）時間累積角動量定理：(4)非剛體(3)質(zhì)點(diǎn)與剛體守恒式為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對比質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度質(zhì)量m轉(zhuǎn)動慣量力力矩運(yùn)動定律轉(zhuǎn)動定律動量角動量動量定理角動量定理動量守恒時角動量守恒時恒量＝恒量力矩的功動能轉(zhuǎn)動動能力的功動能定理動能定理重力勢能重力勢能1、質(zhì)量為m、長為l的棒，可繞通過棒中心且與棒垂直的豎直光滑固定軸O在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(轉(zhuǎn)動慣量J＝m

l

2/12)．開始時棒靜止，現(xiàn)有一子彈，質(zhì)量也是m，在水平面內(nèi)以速度v

0垂直射入棒端并嵌在其中．則子彈嵌入后棒的角速度ω＝_____________________．3v0/(2l)2、一轉(zhuǎn)臺繞豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動，每10s轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)臺對軸的轉(zhuǎn)動慣量為1200kg·m2．質(zhì)量為80kg的人，開始時站在臺的中心，隨后沿半徑向外跑去，問當(dāng)人離轉(zhuǎn)臺中心2m時，轉(zhuǎn)臺的角速度為__________________．0.496rad·s13.如圖所示，已知彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k=20N/m，滑輪質(zhì)量M=2kg，半徑為R=0.1m，物體質(zhì)量m=1kg。開始時系統(tǒng)靜止，彈簧處于自然狀態(tài)。求：當(dāng)物體下落

h=0.2m時，物體速度的大?。ㄔO(shè)繩與輪間不打滑，忽略滑輪的摩擦阻力）。（17）4、在光滑水平桌面上有個彈簧（其倔強(qiáng)系數(shù)為k），彈簧一端固定，另一端連接一個質(zhì)量為m的小球，如圖。開始時，小球最初靜止于A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)l0?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m1的子彈以速度v0射入小球而不復(fù)出。求：此后當(dāng)彈簧的長度為l時，小球速度大小和它的方向與彈簧軸線的夾角。（19）解：子彈射入小球過程動量守恒，所以有此后角動量守恒有機(jī)械能守恒有解得：5、在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為R/2處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的1/10．開始時盤載人對地以角速度ω0勻速轉(zhuǎn)動，現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對于盤以速率v沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作圓周運(yùn)動，如圖所示．求：（1）圓盤對地的角速度．（2）欲使圓盤對地靜止，人應(yīng)沿著R/2圓周對圓盤的速度的大小及方向？6、一根放在水平光滑桌面上的勻質(zhì)棒，可繞通過其一端的豎直固定光滑軸O轉(zhuǎn)動。棒的質(zhì)量為m=1.5kg，長度為l=1.0m，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=ml2/3。初始時棒靜止。今有一水平運(yùn)動的子彈垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如圖所示。子彈的質(zhì)量為m’=0.020kg，速率為v=400m/s。試問：（1）棒開始和子彈一起轉(zhuǎn)動時角速度ω有多大？（2）若棒轉(zhuǎn)動時受到大小為Mr=4.0Nm的恒定阻力矩作用，棒能轉(zhuǎn)過多大角度？（21）7、質(zhì)量為M，長度為l的均勻細(xì)棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動，它原來靜止在平衡位置上?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的彈性小球沿水平方向飛來，正好垂直與細(xì)棒的下端相撞。相撞后，使棒從水平位置擺到最大角度θ=30°處。（1）設(shè)碰撞為彈性碰撞