計(jì)算方法緒論與誤差等

計(jì)算方法

NumericalAnalysis能源與動(dòng)力工程學(xué)院劉火星82316418liuhuoxing@課程介紹

緒論

誤差分析

線性方程組的解法

常微分方程的初值問(wèn)題矩陣的特征值和特征向量

插值和擬合

數(shù)值微分和數(shù)值積分

非線性方程解法CourseOutline徐翠薇、孫繩武，計(jì)算方法引論（第二版），高等教育出版社，2002RichardL.Burden&J.DouglasFaires,NumericalAnalysis(SeventhEdition),高等教育出版社，2001數(shù)值分析，李慶祥等編，高等教育出版社，2000主要參考書(shū)成績(jī)?cè)u(píng)定方法平時(shí)成績(jī)：20%期末考試:80%先修課程高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言緒論Introduction關(guān)于計(jì)算方法計(jì)算數(shù)學(xué)的過(guò)去和未來(lái)算法和收斂數(shù)學(xué)軟件目次

計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法編寫(xiě)程序上機(jī)計(jì)算實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題提供計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算結(jié)果分析實(shí)際問(wèn)題工程問(wèn)題假設(shè)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿?shù)學(xué)模型

校驗(yàn)分析/數(shù)值解測(cè)量物理定律修改

在計(jì)算機(jī)上是否根據(jù)數(shù)學(xué)公式編程就能得到正確結(jié)果?研究例子:求解線性方程組其準(zhǔn)確解為x1=x2=x3=1如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字它的解為x1=-6.222...x2=38.25…x3=-33.65...Numericalanalysisisthestudyofalgorithmsfortheproblemsofcontinuousmathematics----LloydN.Trefethen“計(jì)算方法”就是研究在計(jì)算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的理論和數(shù)值方法今天的數(shù)值計(jì)算方法，無(wú)論從形式到內(nèi)容，還是從工具到效果，已遠(yuǎn)非半世紀(jì)前VonNeumann、Lax等先驅(qū)們所處的環(huán)境和條件了，計(jì)算機(jī)技術(shù)和應(yīng)用軟件的發(fā)展，讓計(jì)算數(shù)學(xué)展開(kāi)了雙翼。許多迅速發(fā)展的其他學(xué)科和社會(huì)進(jìn)步給計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展開(kāi)拓出更為廣闊的新天地計(jì)算方法研究的對(duì)象研究數(shù)值方法的設(shè)計(jì)、分析和有關(guān)理論基礎(chǔ)與軟件實(shí)現(xiàn)。計(jì)算方法又稱(chēng)：計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)值方法、數(shù)值分析等計(jì)算方法的分枝有最優(yōu)化方法、計(jì)算幾何、計(jì)算概率統(tǒng)計(jì)等計(jì)算方法的內(nèi)容

連續(xù)系統(tǒng)的離散化

離散性方程的數(shù)值求解

串行計(jì)算方法與并行計(jì)算方法的關(guān)系：并行計(jì)算方法70年代初隨并行計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而產(chǎn)生，是計(jì)算數(shù)學(xué)中最活躍的新領(lǐng)域。計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)工程計(jì)算是緊密相聯(lián)的，計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史也就是與其他學(xué)科結(jié)合，利用計(jì)算機(jī)不斷形成新的理論及數(shù)值方法并不斷形成新的學(xué)科的歷史，例如：“計(jì)算物理”“計(jì)算流體力學(xué)”計(jì)算數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史回顧H.Aiken(1900-1973)哈佛大學(xué)博士，因做博士論文涉及到空間電荷傳導(dǎo)問(wèn)題的計(jì)算，1937年提出方案，1939年得到IBM資助，1944年建成投入使用。這是繼電式計(jì)算機(jī)－MarkI三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)J.W.Mauchly(1907-1980)賓夕法尼亞物理博士，因從事天氣預(yù)報(bào)需要想設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)，1942年提出計(jì)算機(jī)方案，1945年底竣工，這就是世界上第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)－ENIAC機(jī)三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)J.VonNeumann(1903-1957)普林斯頓高級(jí)研究所，1945年在普林斯頓研制成MANIAC機(jī)，有力地支持美國(guó)氫彈研制，稱(chēng)為計(jì)算機(jī)之父三位計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大師的貢獻(xiàn)在研制原子彈和氫彈過(guò)程中，許多物

理規(guī)律必須通過(guò)計(jì)算機(jī)上的計(jì)算摸清

楚。計(jì)算物理、理論物理與實(shí)驗(yàn)物理

相輔相成相互促進(jìn)共同發(fā)展，形成現(xiàn)

代物理學(xué)的三大分支由于核武器研制需要，1950年全球只有15臺(tái)，到了1962年9月僅美國(guó)就有16187臺(tái)計(jì)算機(jī)計(jì)算數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史回顧1983年一個(gè)由美國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉克斯(P.Lax)為首的不同學(xué)科的專(zhuān)家委員會(huì)向美國(guó)政府提出的報(bào)告之中，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)計(jì)算是關(guān)系到國(guó)家安全、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科技進(jìn)步的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，是事關(guān)國(guó)家命脈的大事。”1984年美國(guó)政府大幅度地增加對(duì)科學(xué)計(jì)算經(jīng)費(fèi)的支持,新建成五個(gè)國(guó)家級(jí)超級(jí)計(jì)算中心（分別在普林斯頓大學(xué)、圣地亞哥、伊里諾大學(xué)、康奈爾大學(xué)、匹茲堡），配備當(dāng)時(shí)最高性能的計(jì)算機(jī)，建立NSF-net新網(wǎng)絡(luò)

80年代中期我國(guó)將“大規(guī)模科學(xué)與工程計(jì)算”列入國(guó)家資助重大項(xiàng)目1987年起美國(guó)NSF把“科學(xué)與工程計(jì)算”、“生物工程”“全局性科學(xué)”作為三大優(yōu)先資助的領(lǐng)域由于大存儲(chǔ)的高速計(jì)算機(jī)的使用已導(dǎo)致了科學(xué)和技術(shù)方面的兩大突出進(jìn)展：大量用于設(shè)計(jì)工作的實(shí)驗(yàn)被數(shù)學(xué)模型的研究逐步取代，如航天飛機(jī)設(shè)計(jì)、反應(yīng)堆設(shè)計(jì)、人工心瓣膜設(shè)計(jì)等能獲取和存儲(chǔ)大量的數(shù)據(jù)，并能提取隱秘的信息，如計(jì)算機(jī)層析X射線攝影，核磁共振等1991年以美國(guó)總統(tǒng)倡議的形式提出了“高性能計(jì)算與通信計(jì)劃”。這是為了保持和提高美國(guó)在計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)的所有先進(jìn)領(lǐng)域中的領(lǐng)導(dǎo)地位而制定的。計(jì)劃為期五年（1992－1996），投資的重點(diǎn)是發(fā)展先進(jìn)的軟件技術(shù)與并行算法，關(guān)鍵技術(shù)是可擴(kuò)展的大規(guī)模并行計(jì)算要求到1996年高性能計(jì)算能力提高14倍，達(dá)到每秒萬(wàn)億次浮點(diǎn)運(yùn)算速度（1012

Teraops/S）。計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)通迅能力提高1百倍，達(dá)到每秒109位（Gigabits/S）該計(jì)劃中列舉的“挑戰(zhàn)”項(xiàng)目有：磁記錄技術(shù)、藥物設(shè)計(jì)、催化、燃燒、海洋模擬、臭氧洞、空氣污染、高速民用運(yùn)輸機(jī)、數(shù)字解剖、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、金星成像等1993年初美國(guó)總統(tǒng)發(fā)布“發(fā)展信息高速公路”（NII）的總統(tǒng)令1994年4月美國(guó)總統(tǒng)發(fā)布“建立國(guó)家（地球）空間數(shù)據(jù)基礎(chǔ)實(shí)施”（NSDI）的總統(tǒng)令數(shù)值方法和數(shù)值軟件過(guò)去50年的主要進(jìn)展Before1940Newton’smethod;Gaussianelimination;Gaussquadrature;leastsquaresfitting;AdamsandRunge-Kuttaformulas;Richardsonextrapolation1940-1970floatingpointarithmetic;Fortran;finitedifferences;finiteelements;FFT;simplexalgorithm;MonteCarlo;orthogonallinearalgebra;splinefunction1970-2000quasi-Newtoniterations;adaptivity;stiffODEsolvers;softwarelibraries;Matlab;multigrid;sparseanditerativelinearalgebra;spectralmethods;interiorpointmethods計(jì)算數(shù)學(xué)未來(lái)50年的展望將更多的通過(guò)聲音，而不是鍵盤(pán)向計(jì)算機(jī)傳遞信息，而計(jì)算機(jī)將更多地以圖象而不是數(shù)字反映結(jié)果數(shù)值計(jì)算將更具有適應(yīng)性、迭代性、靈活性。計(jì)算能力大得驚人數(shù)值計(jì)算中更具智能性算法：一系列近似計(jì)算步驟的組成，目的是找到問(wèn)題的近似解算法的特征：收斂性、穩(wěn)定性計(jì)算量：一個(gè)算法所需的乘除運(yùn)算總次數(shù)，單位是flop.計(jì)算量是衡量一個(gè)算法好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)算法和收斂矩陣乘積AB的計(jì)算量分析a11a12a13…a1na21a22

a23…a2n...

...

…...am1am2

amm-1…amnb11b12b13…b1sb21b22

b23…b2s...

...

…...bn1bn2

bnn-1…

bns=[cij]ms因?yàn)閏ij=aik

bkj

計(jì)算量為n所以上面AmnBns的計(jì)算量為N=mn

s誤差分析ErrorAnalysis誤差的來(lái)源誤差誤差限有效數(shù)字相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差誤差的傳播在近似計(jì)算中需要注意的問(wèn)題目次模型誤差觀測(cè)誤差舍入誤差截?cái)嗾`差1.1

誤差的來(lái)源

計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限，一般實(shí)數(shù)不能精確存儲(chǔ)，于是產(chǎn)生舍入誤差。例如：在10位十進(jìn)制數(shù)限制下：1÷3＝0.3333333333本應(yīng)1÷3＝0.3333333333……1.0000022-1.000004=0本應(yīng)1.0000022-1.000004

=1.000004000004-1.000004

=0.0000000000041.1.1

舍入誤差(Round-offErrors)舍入誤差很小，本課程將研究它在運(yùn)算過(guò)程中是否能有效控制。1.1.2截?cái)嗾`差(TruncationError)用近似的值去代替數(shù)學(xué)上的準(zhǔn)確值帶來(lái)的誤差。例如：

泰勒級(jí)數(shù)?零階近似:?一階近似:?二階近似:完全的泰勒級(jí)數(shù):余項(xiàng)(n階近似)::介于

xiand

xi+1

x

=

xi+1-

xi

余項(xiàng)：Taylor級(jí)數(shù)表示為:截去的部分?零階近似:

截?cái)嗾`差

:?

一階近似

Rn:零階近似Rn:斜率:1.2

誤差誤差限有效數(shù)字[Def1.1]若用x*表示x準(zhǔn)確值的一個(gè)近似值。則此近似值x*和準(zhǔn)確值x的差稱(chēng)為誤差，用e*來(lái)表示

e*＝x*－x[Def1.2]若

|e*|＝|x*－x|≤ε*ε*稱(chēng)為近似值x*的誤差限。[例1.2]已知x*=π=3.14159…，求近似值x1=3.14，x2=3.142，x3=3.1416的誤差限。[解]所以誤差限

ε1=0.002，ε2=0.0005，ε3=0.000008有效數(shù)字[Def1.3]若用x的近似值x*的誤差限是某一位上的半個(gè)單位，該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱(chēng)x*有n位有效數(shù)字若用x*表示x的近似值，并將x*表示成

x*＝±0.a1a2…an×10m若

|x*－x|≤0.5×10m－n則近似值x*有n位有效數(shù)字(1.1)[例1.3]

設(shè)x*=0.0270是某數(shù)x經(jīng)“四舍五入”所得，則誤差|e(x*)|不超過(guò)x*末位的半個(gè)單位，即：

|x*－x|≤0.5×10-4

又x*=0.27×10-1,故該不等式又可寫(xiě)為

|x*－x|≤0.5×10-1-3由有效數(shù)字定義可知,x*有3位有效數(shù)字,分別是2,7，0。[例1.4]

設(shè)x＝32.93,x*＝32.89,則

|x*－x|＝0.04＜0.05＝0.5×10-1即

|x*－x|≤0.5×102-3由有效數(shù)字定義可知,x*有3位有效數(shù)字,分別是3,2,8。由于x*中的數(shù)字9不是有效數(shù)字，故x*不是有效數(shù)。1.3相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差設(shè)x——準(zhǔn)確值x*——近似值稱(chēng)為近似值x*的相對(duì)誤差實(shí)用中，常用表示近似值x*的相對(duì)誤差，稱(chēng)為相對(duì)誤差限相應(yīng)的，e*稱(chēng)為絕對(duì)誤差，ε稱(chēng)為絕對(duì)誤差限有效數(shù)位與誤差的關(guān)系有效數(shù)位n越多，則絕對(duì)誤差|e*|越小形如(1.1)式的近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限可取為基本算術(shù)運(yùn)算設(shè)x*和y*分別是x和y的近似值，把它們的誤差近似地看做是相應(yīng)地微分，即

dx≈x*－x，dy≈y*－y則

d（x±y）＝dx±

dy d（xy）＝xdy±

ydx d（x/y）＝（－xdy＋ydx

）/y21.4

誤差傳播(1.3)和(1.4)給出了由自變量的誤差引起的函數(shù)值的誤差的近似式（誤差傳播）。一元函數(shù)設(shè)y＝f(x)，若x的近似值是x*，用f(x*)去近似f(x)的誤差可用Taylor公式估計(jì)

(1.3)(1.4)多元函數(shù)情形由多元函數(shù)的Taylor展開(kāi)公式類(lèi)似可得

(1.5)

(1.6)

(1.8)

(1.9)[例1.5]測(cè)得某桌面的長(zhǎng)a的近似值a*=120cm,寬b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。試求近似面積s*=a*b*

的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限。解:面積s=ab,在公式（1.5）中,將y=f(x1,x2)

換為s=ab,則相對(duì)誤差限為1.5

在近似計(jì)算中需要注意的問(wèn)題1.盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少乘除運(yùn)算的次數(shù)

例如，計(jì)算多項(xiàng)式通常運(yùn)算的乘法次數(shù)為若采用遞推算法,

則乘法次數(shù)僅為n.又如2.防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)當(dāng)|a|>>|b|時(shí)，盡量避免a+b

。例如，假設(shè)計(jì)算機(jī)只能存放10位尾數(shù)的十進(jìn)制數(shù)，則

108+0.04=1083.盡量避免相近數(shù)相減例如，當(dāng)x很大時(shí)，應(yīng)當(dāng)x接近于0時(shí)，應(yīng)4.避免絕對(duì)值很小的數(shù)做分母當(dāng)|b|<<|a|時(shí)，應(yīng)盡量避免a/b

5.

選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法，以控制舍入誤差高速增長(zhǎng)第2章線性代數(shù)方程組解法本章研究的對(duì)象是n

階線性代數(shù)方程組2.1對(duì)象(2.1)線性系統(tǒng)廣泛存在于工程、科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)、商業(yè)和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的定量分析等領(lǐng)域中用矩陣和向量的記法來(lái)表示，(2.1)式可寫(xiě)成對(duì)象（續(xù)）(2.2)其中A＝(aij)是方程組(2.1)的系數(shù)aij構(gòu)成的n×n階矩陣，稱(chēng)為系數(shù)矩陣。B＝{bi},X＝{xi}是n維向量，X是未知量，B稱(chēng)為右端項(xiàng)。使方程組(2.1)中每一個(gè)方程都成立的一組數(shù)x1*,x2*,…,xn*稱(chēng)為式，(2.1)的解，把它記為向量的形式，稱(chēng)為解向量。

我們總是希望方程組有解,且有唯一解.由線性代數(shù)的克萊姆(cramer)規(guī)則可知,如果方程組(2.1)的系數(shù)矩陣A的行列式不等于零,那么,這個(gè)方程組有唯一解,而且它們可以表示為

xi=Di/D(i=1,…,n)這里,Di是指D中第i列元素用右端b1,…bn代替構(gòu)成的行列式.

如果方程組(2.1)有唯一解,我們按上面的等式求解,就必須計(jì)算n+1個(gè)n階行列式.由行列式的定義,n階行列式包含有n!項(xiàng),每一項(xiàng)含有n個(gè)因子,計(jì)算一個(gè)n階行列式就需要做(n-1)n!次乘法.而我們一共要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式,共需做(n2-1)n!次乘法.此外,還要做n次除法才能算出xi(i=1,…n).也就是說(shuō),用這個(gè)辦法求解就要做

N=(n2-1)n!+n次乘除法運(yùn)算,這個(gè)計(jì)算量是大得驚人的.例如,當(dāng)n=10(即求解一個(gè)含10個(gè)未知量的方程組),乘除法的運(yùn)算次數(shù)共為32659210次;

消(元)去法是求解線性方程組(2.2)和滿秩矩陣的逆陣A-1的一種直接方法.盡管它比較古老,但它具有演算步驟,推算公式都系統(tǒng)化的特點(diǎn)(對(duì)其中主元素消去法,還可以證明是穩(wěn)定的).因此,它至今仍然是求解方程組的一種有效的方法.

消去法可以引出幾種計(jì)算方法,下面按三角形方程組和一般線性方程組的順序來(lái)討論。消去法上三角方程組的一般形式是：對(duì)于(2.1)式，有以下運(yùn)算可簡(jiǎn)化方程組線性方程組的解法有兩類(lèi)：直接法：即在沒(méi)有舍入誤差的情況下，用有限步的四則運(yùn)算得出精確解的方法。但實(shí)際運(yùn)算中舍入誤差不可避免，此類(lèi)方法也只能得到近似解。目前常用的是列主元消去法和矩陣三角分解法迭代法：先給一個(gè)初始值，按一定法則逐步求解出各個(gè)更準(zhǔn)確的近似值的方法。目前常用的有Jacobi法、Seidel迭代法、松弛法和梯度法將A和B寫(xiě)在一起，稱(chēng)為增廣矩陣將例2.1用增廣矩陣的變化寫(xiě)成高斯消去法的求解過(guò)程分為兩個(gè)階段:首先，把原方程組化為上三角形方程組，稱(chēng)之為“消元”過(guò)程；然后，用逆次序逐一求出三角方程組(原方程組的等價(jià)方程組)的解，并稱(chēng)之為“回代”過(guò)程。2.2高斯消去法(Gaussianelimination)消元：將(2.1)式寫(xiě)成矩陣形式(2.3)(2.4)第1步:若a11(1)

≠0，用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以a21(1)/

a11(1),用第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以a31(1)/

a11(1)…則有矩陣形式(2.5)(2.6)第2步:若a22(2)

≠0，用第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程乘以a32(2)/

a22(2),用第四個(gè)方程減去第二個(gè)方程乘以a42(2)/

a22(2)…則有矩陣形式(2.7)(2.8)第k步:若akk

(k)

≠0，用第k+1個(gè)方程減去第k個(gè)方程乘以ak+1k(k)/

akk(k)…則有矩陣形式(2.9)(2.10)重復(fù)n－1次，得到等價(jià)的上三角形方程組矩陣形式(2.11)(2.12)以上過(guò)程把系數(shù)矩陣A(1)變成上三角矩陣A(n)，稱(chēng)之為消元，計(jì)算公式可歸納為(2.13)回代(2.12)2.3主元素消去法因此，x1＝0x2＝1因此，x1＝1x2＝1精確解，x1＝10000/9999x2＝9998/9999在做除法運(yùn)算時(shí)，選取絕對(duì)值大的作分母。

——主元素消去法的基本思路。列主元素消去法列主元素消去法基本思想1.用高斯消去法求解線性方程組時(shí),應(yīng)避免小的主元.在實(shí)際計(jì)算中,進(jìn)行第k步消去前,應(yīng)該在第k列元素aik

(i=k,…,n)中找出絕對(duì)值最大者,例如

∣a∣=max∣a∣2.再把第p個(gè)方程與第k個(gè)方程組進(jìn)行交換,使apk(k-1)成為主元.我們稱(chēng)這個(gè)過(guò)程為選主元素.由于只在第k列元素中選主元素,通常也稱(chēng)為按列選主元素(或稱(chēng)部分選主元).3.如果在第k步消去前,在第k個(gè)方程到第n個(gè)方程所有的xk到xn的系數(shù)a(i=k,…,n;j=k,…,n)中,找出絕對(duì)值最大者,例如 ∣a∣=max∣a∣再交換第k,p兩個(gè)方程和第k,q兩個(gè)未知量的次序,使a成為主元素.稱(chēng)這個(gè)過(guò)程為完全選主元素。4.不論是哪種方式選出主元素,而后再按上面介紹的計(jì)算步驟進(jìn)行消去的計(jì)算,一般都稱(chēng)為主元素高斯消去法。在實(shí)際計(jì)算中,常用按列選主元素的高斯消去法。(k-1)(k-1)pk(k-1)ikk≦i≦n(k-1)pq(k-1)ijk≦i,j≦n(k-1)ij(k-1)pq高斯消去法的乘除總運(yùn)算分析如下：消元次數(shù)k消元乘法次數(shù)消元除法次數(shù)回代乘除法總次數(shù)

1n(n-1)n-12(n-1)(n-2)n-2...k(n-k+1)(n-k)n-k..n-12*11n(n+1)/2

故高斯消去法的計(jì)算量為N=n(n2-1)/3+n(n-1)/2+n(n+1)/2=n3/3+n2-n/3

當(dāng)N充分大時(shí)為n3/32.4高斯消去法的計(jì)算量分析

方法的特點(diǎn)

由具體計(jì)算結(jié)果可知,全主元素法的精度優(yōu)于主元素法,這是由于全主元素是在全體系數(shù)中選主元,故它對(duì)控制舍入誤差十分有效.但全主元素法在計(jì)算過(guò)程中,需同時(shí)作行與列的互換,因而程序比較復(fù)雜,計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng).列主元素法的精度雖稍低于全主元素法,但其計(jì)算簡(jiǎn)單工作量大為減少,且計(jì)算經(jīng)驗(yàn)與理論分析均表明,它與全主元素法同樣具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性,列主元素法是求解中小型稠密性方程組的最好方法之一。

選主元消去法(包括解線性方程組的所有直接的方法)比較適用于中小型方程組.對(duì)高階方程組,即使系數(shù)矩陣是稀疏的,但在計(jì)算中很難保持稀疏性,因而有存儲(chǔ)量大，程序復(fù)雜等不足,所幸的是這一缺點(diǎn)可用迭代法解決.

另外,高斯選主元消去法還可技巧性的解決一些特殊線性方程組。由于誤差的影響,計(jì)算過(guò)程中可能出現(xiàn)一些壞現(xiàn)象,要盡可能防止,表現(xiàn)在求解線性方程組的消元法比較上,則應(yīng)該注意要簡(jiǎn)化運(yùn)算,減小運(yùn)算次數(shù),提高效率;提高數(shù)值穩(wěn)定性等.

在計(jì)算過(guò)程中，由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的有限性，不可避免地產(chǎn)生舍入誤差。同時(shí)，由于所求問(wèn)題的初始數(shù)據(jù)（例如線形方程組的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)系數(shù)）往往是帶有一定誤差的。因此計(jì)算結(jié)果總是不可避免地帶有誤差，或者說(shuō)，如果初始數(shù)據(jù)有擾動(dòng)，勢(shì)必將帶來(lái)具有一定誤差的計(jì)算結(jié)果。就拿Ax=b來(lái)說(shuō)，由于觀測(cè)或計(jì)算等原因，線性方程組兩端的系數(shù)A和b都帶有誤差A(yù)和b，這樣實(shí)際建立的方程組是近似方程組(A+A)(x+x)=b+b。對(duì)近似方程組求出的解是原問(wèn)題的真解x加上誤差x,即x+x。而x是由A及b引起的，它的大小將直接影響所求解的可靠性。這種解依賴于方程組系數(shù)的誤差A(yù)及b的問(wèn)題，稱(chēng)為線性方程組解對(duì)系數(shù)的敏感性。2.5線性方程組解對(duì)系數(shù)的敏感性方程組

此方程組的準(zhǔn)確解為x1=0,x2=-1?，F(xiàn)將其右端加以微小的擾動(dòng)使之變?yōu)椋?/p>

經(jīng)計(jì)算可得準(zhǔn)確解為x1=2,x2=-3.

這兩個(gè)方程組的解相差很大，說(shuō)明方程組的解對(duì)常數(shù)項(xiàng)b的擾動(dòng)很敏感。

病態(tài)方程組：如果方程組AX=b由于A或b的