應用數(shù)值分析非線性方程求解

第七章非線性方程數(shù)值求解NumericalValueAnalysis§7.3Newton迭代法華長生制作1

§7.3Newton迭代法將f(x)在點xn作Taylor展開:

——Taylor展開線性化f(x)=0

近似于

f(xn)+f′(xn)(x-xn)=0(1)從(1)解出x,記為xn+1,則1.Newton迭代公式建立2它對應的迭代方程為顯然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函數(shù)為

在f(x)=0的根x*的某個鄰域內,在x*的鄰域R內，對任意初值，應用公式（2）來解方程的方法就稱為牛頓迭代法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一.42.Newton迭代法的幾何意義

與x軸(y=0)的交點x，作為下一個迭代點xn+1,即

用f(x)在xn處的切線Newton迭代法又稱切線法.43、牛頓迭代法的步驟步一、準備。選定初始近似值，計算步二、迭代。按公式迭代一次，得到新的近似值，計算步三、控制。如果滿足或.則終止迭代，以作為所求的根；否則轉步四。此處是允許誤差,15而 其中c是取絕對值或相對誤差的控制常數(shù)，一般可取c=1。步四、修改。如果迭代次數(shù)達到預定指定的次數(shù)N，或者 ,則方法失敗；否則以代替轉步二繼續(xù)迭代。16例用Newton迭代法求下面方程的一個正根,計算結果精確到7位小數(shù).解:由Newton迭代法x1

=1.4666667,…,x4

=1.3688081x5

=1.3688081迭代5次精度達10-7x*

≈

1.36880874.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;定理7.3.1

設f(x*)=0,,且在x*的鄰域上存在,連續(xù),則可得84.Newton迭代法收斂定理證：將f(x)在xn處作2階Taylor展開,并將解x*代入9所以，Newton法至少二階收斂.

注意到ξn在xn及x*之間,10

Newton法在重根情形下的收斂階20

有局部線性收斂性,重數(shù)m越高,

越接近于1,收斂越慢。20

Newton迭代法的特征

Newton迭代公式是一種特殊的不動點迭代,其迭代函數(shù)為:

Newton迭代是局部線性化方法,它在單根附近具有較高的收斂速度.

方法有效前提:135.Newton迭代法的應用----------開方公式對于給定正數(shù)應用牛頓迭代法解二次方程可導出求開方值的計算公式設是的某個近似值，則自然也是一個近似值，上式表明，它們兩者的算術平均值將是更好的近似值。

定理

開方公式對于任意給定的初值均為平方收斂。

14牛頓迭代法的優(yōu)缺點在單根附近,牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確的解。優(yōu)點缺點重根情形下為局部線性收斂;2.牛頓迭代法計算量比較大:因每次迭代除計算函數(shù)值外還要計算微商值;3.選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結果;21牛頓迭代法的改進缺點克服:

局部線性收斂

------改進公式或加速2.每步都要計算微商值

-----簡化Newton迭代法或弦截法3.初值近似問題-------二分法求初值或”下山算法”21方法一、若已知重數(shù)m(m>1),則利用m構造新的迭代公式:此時,至少2階收斂.6.Newton法的改進(I)---重根情形不實用:m往往不確定.17方法二、取,再對函數(shù)F(x)用Newton迭代:此時,X*為F(x)的單根,所以是2階收斂.缺點：要用到二階導數(shù).18Newton迭代法需要求每個迭代點處的導數(shù)復雜！這種格式稱為簡化Newton迭代法精度稍低6.Newton法的改進(II)19則Newton迭代法變?yōu)檫@種格式稱為弦截法收斂階約為1.61820例用簡化Newton法和弦截法解下面方程的根，并和Newton迭代法比較

解:由簡化Newton法由弦截法由Newton迭代法21x0=0.5x1=0.3333333333x2=0.3497942387x3=0.3468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550x7=0.3472959759x8=0.3472964208x9=0.3472963440x10=0.3472963572x11=0.3472963553x0=0.5;x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0.3472963553簡化Newton法由弦截法要達到精度10-8簡化Newton法迭代11次弦截法迭代5次Newton迭代法迭代4次x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3=0.3472963532x4=0.3472963553由Newton迭代法22無論哪種迭代法：Newton迭代法簡化Newton法弦截法用Newton迭代法求解:x0=2x1=-3.54x2=13.95x3=-279.34x4=122017是否收斂均與初值的位置有關.例:x0=1x1=-0.5708x2=0.1169x3=-0.0011x4=7.963110-10x5=0收斂發(fā)散迭代法的局部收斂性236.Newton法的改進(III):牛頓下山法

一般地說，牛頓法的收斂性依賴于初值的選取，如果偏離較遠，則牛頓法可能發(fā)散。為了防止發(fā)散，通常對迭代過程再附加一項要求，即保證函數(shù)值單調下降：

滿足這項要求的算法稱為下山法。牛頓下山法采用以下迭代公式：其中稱為下山因子。牛頓下山法只有線性收斂.24第七章非線性方程數(shù)值求解NumericalValueAnalysis§7.4Aitken加速方案/Steffensen迭代法華長生制作25改進、加速收斂

/*acceleratingconvergence*/有些迭代過程雖收斂，但速度很慢。為了達到所要求的精度，需要迭代的次數(shù)很多，由此必須設法加速迭代過程。1.基本思想上式說明，將預測值x0和校正值x1作線性組合作為x*的一個新近似值，可能比x1更好。令：

ξ介于x0與x*之間，設變化不大，，則有微分中值定理x0----x*的預測值26一般地，有線性組合校正殘差27

簡單迭代公式的加速設是根的某個近似值，用迭代公式校正一次得假設，則有據(jù)此可導出如下加速公式：其一步分為兩個環(huán)節(jié)：

迭代:改進:2829在方法1中含有L（或q），實際應用中不便。下面設法消除L（或q），得到一種新的加速方法---Aitken（埃特金）方法。

x0——prediction推廣，有下面一般計算公式：

x1=g(x0)——updatingx2=g(x1)——further

updating30埃特金迭代法求方程的實根31定理7.4.1設序列線性收斂于x*,則的Aitken序列存在,且即比更快收斂于x*.3233Steffensen迭代