二重積分的變量代換

蘭亭序之高數(shù)版定理21.11

若函數(shù)在閉區(qū)域

D

上

有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有(1)這里

L為區(qū)域

D的邊界曲線,并取正方向.公式(1)稱為格林公式.復(fù)習(xí)注意定理使用的條件.有向性；連續(xù)性；封閉性.利用格林公式計(jì)算L閉合L非閉3.平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件yxo（一）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義即只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān).則稱曲線積分與路徑無(wú)關(guān).否則與路徑有關(guān).G顯然任意的閉曲線如果在區(qū)域G內(nèi)對(duì)任意的有在G內(nèi)定理21.12

設(shè)

D

是單連通閉區(qū)域.若函數(shù)

在

D

內(nèi)連續(xù),且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以

下四個(gè)條件等價(jià):(i)

沿

D

內(nèi)任一按段光滑封閉曲線

L,

有(ii)

對(duì)

D中任一按段光滑曲線

L,

曲線積分與路線無(wú)關(guān),只與

L的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān);(iii)是

D內(nèi)某一函數(shù)的全微分,即在

D內(nèi)有(iv)

在

D內(nèi)處處成立證

(i)(ii)

如圖

21-19,設(shè)與為聯(lián)結(jié)點(diǎn)

A,B的任意兩條按段光滑曲線,由

(i)可推得所以(iii)(iv)

設(shè)存在函數(shù)使得因此于是由一點(diǎn)處都有以及

P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),便可知道在

D內(nèi)每解：例5.計(jì)算為由點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)A(1,1)的曲線其中L因?yàn)閯t在平面上成立.選擇如圖所示的路徑選擇新路徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標(biāo)軸平行的新路徑.（1）新路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)不變,（2）解：例6.選擇如圖所示的路徑設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由已知知即由知C=0,則故原式=多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個(gè)全微分的原函數(shù)，并且原函數(shù)不唯一例7

試應(yīng)用曲線積分求的原函數(shù).解這里在整個(gè)平面上成立由定理21.12,

曲線積分只與起點(diǎn)

A和終點(diǎn)

B有關(guān),而與路線的選擇無(wú)關(guān).

為此,取取路線為圖21-22中的折

線段

于是有作業(yè)：P232:5(2);6(1);P2783例如：積不出來(lái),計(jì)算其中D是由中心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.先x后y同樣積不出來(lái).§4

二重積分的變量變換

一、二重積分的變量變換公式三、二重積分的廣義極坐標(biāo)變換

二、二重積分的極坐標(biāo)變換

一、二重積分的變量變換公式在定積分的計(jì)算中,我們得到了如下結(jié)論:設(shè)在區(qū)間上連續(xù),當(dāng)從變到時(shí)嚴(yán)格

單調(diào)地從a變到b,且

連續(xù)可導(dǎo),則當(dāng)(即)時(shí),記則

利用這些記號(hào),公式(1)又可

寫成當(dāng)(即)時(shí),(1)式可寫成故當(dāng)為嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)可微時(shí),(2)式和(3)式可

統(tǒng)一寫成如下的形式:引理設(shè)變換將

uv

平面

上由按段光滑封閉曲線所圍的閉區(qū)域,一對(duì)一地

映成

xy

平面上的閉區(qū)域

D.函數(shù)在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式則區(qū)域

D的面積(5)定理21.13

設(shè)在有界閉區(qū)域

D上可積,變換將

uv平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對(duì)一地映成

xy平面上的閉區(qū)域

D,函數(shù)在內(nèi)分別具有

一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式則有例1

求其中

D是由解為了簡(jiǎn)化被積函數(shù),令所圍的區(qū)域(圖21-23).

即作變換它的函數(shù)行列式為在T的作用下,區(qū)域D的如圖

21-24所示.

原象所以例如：積不出來(lái),計(jì)算其中D是由中心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.先x后y同樣積不出來(lái).二、二重積分的極坐標(biāo)變換當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分,或者被積函數(shù)的形式為時(shí),采用極坐標(biāo)變換(8)往往能達(dá)到簡(jiǎn)化積分區(qū)域或被積函數(shù)的目的.此時(shí),變換

T的函數(shù)行列式為容易知道,極坐標(biāo)變換

T

把平面上的矩形

此對(duì)應(yīng)不是一對(duì)一的,變換成

xy

平面上的圓域但定理21.14

設(shè)滿足定理21.13的條件,且在極坐標(biāo)變換

(8)下,平面上的有界閉域

D

與平

面上區(qū)域?qū)?yīng),則成立記憶方法：2.二重積分化為二次積分的公式（１）(1)區(qū)域特征如圖(極點(diǎn)在區(qū)域D的外部)特殊地,區(qū)域特征如圖(極點(diǎn)在區(qū)域D的外部)2.二重積分化為二次積分的公式（２）(2)區(qū)域特征如圖(極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上)2.二重積分化為二次積分的公式（３）(3)區(qū)域特征如圖(極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部)極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積說(shuō)明：1.應(yīng)掌握把直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分.2.極坐標(biāo)系下的二重積分為二次積分.定限方法----射線穿越法：3.何時(shí)用極坐標(biāo)？例2.計(jì)算其中D是由中心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.解：在極坐標(biāo)系下，例3

計(jì)算其中

D為圓域:解由于原點(diǎn)為

D的內(nèi)點(diǎn),故由

(12)式,有例4

計(jì)算其中

D

為圓域:解利用極坐標(biāo)變換,由公式

(12),

容易求得例5.將表示為極坐標(biāo)下的累次積分解:在極坐標(biāo)系下,Ｄ可表示為：于是原式例6.

設(shè)f(x)連續(xù),則等于2006Ｄ可表示為：解:例8.

計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域?yàn)?1解:

如圖，記于是思考解一:利用極坐標(biāo)計(jì)算思考解二:利用對(duì)稱性三、二重積分的廣義極坐標(biāo)變換當(dāng)積分區(qū)域?yàn)闄E圓或橢圓的一部分時(shí),可考慮用如下的廣義極坐標(biāo)變換:并計(jì)算得例9

求橢球體的體積.解由對(duì)稱性,橢球體的體積

V是第一卦限部分體積的

8

倍,而這部分是以為曲頂,為底的曲頂柱體,所以應(yīng)用廣義極坐標(biāo)變換,因此特別當(dāng)時(shí),得到球的體積為令則D的原象為內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t(2)一般換元公式且則在變換下則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)?3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫(huà)出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式例5

求球體被圓柱面所割下部分的體積

(

稱為維維安尼

(Viviani)

體

).解