機械振動3強迫振動5-7

第三章受迫振動3.5簡諧力與阻尼力的功3.6等效粘性阻尼3.7系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)·傅里葉級數(shù)3.5簡諧力與阻尼力的功有阻尼的系統(tǒng)在振動時，機械能不斷耗散，而振動逐漸衰減.(1)簡諧激勵力在一個周期內(nèi)所做的功。強迫振動時，激勵對振動系統(tǒng)做功，不斷輸入能量，當(dāng)輸入與耗散相等時，振動不衰減，振幅保持常值，即穩(wěn)態(tài)振動.設(shè)簡諧激勵力作用在m上，運動方程的解為：則在一個周期內(nèi)激勵所做的功：所做的功與力和振幅有關(guān)，還與相位差有關(guān).共振時最大。(2)阻尼力在一個周期內(nèi)耗散的能量，即一個周期內(nèi)所做的功.對粘性阻尼力阻尼力在一個周期內(nèi)所做的功：同樣系統(tǒng)作簡諧振動，有粘性阻尼力所做的功與振幅的平方成正比，與頻率也成正比。若激勵力做功與粘性阻尼力耗散功相等，有發(fā)生共振時，例3.5-1已知解：可得，求F的功率P.括號內(nèi)第一項是常量，第二項是頻率2ω的正弦波。若激勵力做功與粘性阻尼力耗散功相等，有例3.5-2設(shè)解：激勵力與響應(yīng)的頻率均為求開始6s內(nèi)與開始1/2s內(nèi)所做的功.開始6s內(nèi)有三個周期，開始1/2s內(nèi)只有1/4周期，所以3.6等效粘性阻尼當(dāng)系統(tǒng)中存在非粘性阻尼時，一般將使系統(tǒng)成為非線性。等效的原則：令非粘性阻尼在一個周期內(nèi)耗散的能量與等效粘性阻尼在同一周期內(nèi)耗散的能量相等。系統(tǒng)作簡諧振動時，粘性阻尼在一個周期內(nèi)耗散的能量：（3.5-2）為便于分析，常將各種非黏性阻尼簡化為等效黏性阻尼，非粘性阻尼在一個周期內(nèi)耗散的能量為E，可表示為得非粘性阻尼的等效粘性阻尼：（3.6-1）(1)干摩擦阻尼干摩擦力大小Fd與正壓力成正比，與運動速度反向：運動方向不變時，摩擦力為常值，所作的功等于摩擦力與運動距離的乘積，每個周期有四個階段，總的耗散能量為：代入（3.6-1）式，得到等效粘性阻尼系數(shù)。（3.6-3）等效黏性阻尼系數(shù)與摩擦力成正比，與振幅和頻率成反比。(2)速度平方阻尼阻尼力大小Fd與運動速度平方成正比，與運動速度反向：簡諧振動時：得到等效粘性阻尼系數(shù)：（3.6-3）等效黏性阻尼系數(shù)與振幅和頻率成正比。每振動一周耗散能量為：(3)結(jié)構(gòu)阻尼得到等效粘性阻尼系數(shù)：（3.6-8）等效黏性阻尼系數(shù)與頻率成反比。材料本身的內(nèi)摩擦而引起的阻力。0δε加載卸載對粘彈性材料，加載卸載過程中，應(yīng)力應(yīng)變曲線會形成滯后回線，因此要耗散能量。對大多數(shù)金屬材料，在振動一周內(nèi)耗散能量與振幅平方成正比實驗指出內(nèi)摩擦引起的阻尼與速度無關(guān)，有了等效粘性阻尼系數(shù)，非粘性阻尼強迫振動的方程可寫為：（3.6-9）其特解的振幅為：事實上，對于簡諧激勵作用的振動系統(tǒng)，通常都假定振動（3.6-10）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是簡諧振動。但對于有非粘性阻尼的系統(tǒng)，這個假定不再正確。而在實際問題中，較小的阻尼不致過分影響強迫振動的波形，上述計算方法可以得出有用的結(jié)果。3.7系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)·傅里葉級數(shù)

設(shè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)受到任意周期力F(t)的激勵，激勵力的頻率為ω。利用傅里葉級數(shù)可將任意周期激勵力分解為有限個或可列無限個諧波分量，則任意周期的激勵分解為有限個或可列無限個諧波分量的簡諧激勵，系統(tǒng)的響應(yīng)為對各個諧波分量響應(yīng)的疊加。這種分析方法稱為諧波分析。

設(shè)周期力F(t)的頻率為ω，周期為T=2π/ω。將F(t)展開為傅里葉級數(shù)，以復(fù)數(shù)形式表示為：

其中：實數(shù)形式的傅立葉級數(shù)展開：記：n

的偶函數(shù)n

的奇函數(shù)為任一時刻（3.7-2）（3.7-3）（3.7-4）

其中的常值分量F0僅影響系統(tǒng)的靜平衡位置，只要將坐標(biāo)原點改在靜平衡位置，即可將該項消去。

這樣動力學(xué)方程為：（3.7.5）利用線性常微分方程解的可疊加性質(zhì)，不考慮解的暫態(tài)過程，該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：則：（3.7.7）（3.7.6）（3.7.8）其中，βn和φn分別為第n次諧波激勵對應(yīng)的振幅放大因子和相位差。λn為第n次諧波的無量綱頻率。以各階頻率為橫坐標(biāo)，作出βn和φn的離散圖形，稱為頻譜圖?？捎糜诜治鲋芷诩盍Φ捻憫?yīng)狀況。因此，諧波分析也稱為頻譜分析。諧波分析方法也適用于分析任意周期慣性力激勵的受迫振動。例3.6.1設(shè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)受到如圖2.10所示的周期方波激勵：試求此系統(tǒng)的響應(yīng)，令λ=1/6，ζ=0.1，作出頻譜圖。tF(t)O-F0F0T/2T圖2.10方波激勵力解：將激勵展開為傅里葉級數(shù)：（a）動力學(xué)方程：解為：其中（b）（c）λ=1/6，ζ=0.1，作出βn和φn的頻譜圖:n=1,2,3,4,5,600.5100.5-0.5例3.6.2發(fā)電機的振動。曲柄、連桿質(zhì)量不計，發(fā)電機總質(zhì)量m，活塞質(zhì)量為m1，曲柄轉(zhuǎn)速ω。設(shè)r<<

l