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第三章受迫振動(dòng)3.5簡(jiǎn)諧力與阻尼力的功3.6等效粘性阻尼3.7系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)·傅里葉級(jí)數(shù)3.5簡(jiǎn)諧力與阻尼力的功有阻尼的系統(tǒng)在振動(dòng)時(shí),機(jī)械能不斷耗散,而振動(dòng)逐漸衰減.(1)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)所做的功。強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí),激勵(lì)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)做功,不斷輸入能量,當(dāng)輸入與耗散相等時(shí),振動(dòng)不衰減,振幅保持常值,即穩(wěn)態(tài)振動(dòng).設(shè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用在m上,運(yùn)動(dòng)方程的解為:則在一個(gè)周期內(nèi)激勵(lì)所做的功:所做的功與力和振幅有關(guān),還與相位差有關(guān).共振時(shí)最大。(2)阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量,即一個(gè)周期內(nèi)所做的功.對(duì)粘性阻尼力阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)所做的功:同樣系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng),有粘性阻尼力所做的功與振幅的平方成正比,與頻率也成正比。若激勵(lì)力做功與粘性阻尼力耗散功相等,有發(fā)生共振時(shí),例3.5-1已知解:可得,求F的功率P.括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)是常量,第二項(xiàng)是頻率2ω的正弦波。若激勵(lì)力做功與粘性阻尼力耗散功相等,有例3.5-2設(shè)解:激勵(lì)力與響應(yīng)的頻率均為求開始6s內(nèi)與開始1/2s內(nèi)所做的功.開始6s內(nèi)有三個(gè)周期,開始1/2s內(nèi)只有1/4周期,所以3.6等效粘性阻尼當(dāng)系統(tǒng)中存在非粘性阻尼時(shí),一般將使系統(tǒng)成為非線性。等效的原則:令非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量與等效粘性阻尼在同一周期內(nèi)耗散的能量相等。系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí),粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量:(3.5-2)為便于分析,常將各種非黏性阻尼簡(jiǎn)化為等效黏性阻尼,非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量為E,可表示為得非粘性阻尼的等效粘性阻尼:(3.6-1)(1)干摩擦阻尼干摩擦力大小Fd與正壓力成正比,與運(yùn)動(dòng)速度反向:運(yùn)動(dòng)方向不變時(shí),摩擦力為常值,所作的功等于摩擦力與運(yùn)動(dòng)距離的乘積,每個(gè)周期有四個(gè)階段,總的耗散能量為:代入(3.6-1)式,得到等效粘性阻尼系數(shù)。(3.6-3)等效黏性阻尼系數(shù)與摩擦力成正比,與振幅和頻率成反比。(2)速度平方阻尼阻尼力大小Fd與運(yùn)動(dòng)速度平方成正比,與運(yùn)動(dòng)速度反向:簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí):得到等效粘性阻尼系數(shù):(3.6-3)等效黏性阻尼系數(shù)與振幅和頻率成正比。每振動(dòng)一周耗散能量為:(3)結(jié)構(gòu)阻尼得到等效粘性阻尼系數(shù):(3.6-8)等效黏性阻尼系數(shù)與頻率成反比。材料本身的內(nèi)摩擦而引起的阻力。0δε加載卸載對(duì)粘彈性材料,加載卸載過(guò)程中,應(yīng)力應(yīng)變曲線會(huì)形成滯后回線,因此要耗散能量。對(duì)大多數(shù)金屬材料,在振動(dòng)一周內(nèi)耗散能量與振幅平方成正比實(shí)驗(yàn)指出內(nèi)摩擦引起的阻尼與速度無(wú)關(guān),有了等效粘性阻尼系數(shù),非粘性阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的方程可寫為:(3.6-9)其特解的振幅為:事實(shí)上,對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用的振動(dòng)系統(tǒng),通常都假定振動(dòng)(3.6-10)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但對(duì)于有非粘性阻尼的系統(tǒng),這個(gè)假定不再正確。而在實(shí)際問(wèn)題中,較小的阻尼不致過(guò)分影響強(qiáng)迫振動(dòng)的波形,上述計(jì)算方法可以得出有用的結(jié)果。3.7系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)·傅里葉級(jí)數(shù)
設(shè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)受到任意周期力F(t)的激勵(lì),激勵(lì)力的頻率為ω。利用傅里葉級(jí)數(shù)可將任意周期激勵(lì)力分解為有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè)諧波分量,則任意周期的激勵(lì)分解為有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè)諧波分量的簡(jiǎn)諧激勵(lì),系統(tǒng)的響應(yīng)為對(duì)各個(gè)諧波分量響應(yīng)的疊加。這種分析方法稱為諧波分析。
設(shè)周期力F(t)的頻率為ω,周期為T=2π/ω。將F(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù),以復(fù)數(shù)形式表示為:
其中:實(shí)數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)展開:記:n
的偶函數(shù)n
的奇函數(shù)為任一時(shí)刻(3.7-2)(3.7-3)(3.7-4)
其中的常值分量F0僅影響系統(tǒng)的靜平衡位置,只要將坐標(biāo)原點(diǎn)改在靜平衡位置,即可將該項(xiàng)消去。
這樣動(dòng)力學(xué)方程為:(3.7.5)利用線性常微分方程解的可疊加性質(zhì),不考慮解的暫態(tài)過(guò)程,該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:則:(3.7.7)(3.7.6)(3.7.8)其中,βn和φn分別為第n次諧波激勵(lì)對(duì)應(yīng)的振幅放大因子和相位差。λn為第n次諧波的無(wú)量綱頻率。以各階頻率為橫坐標(biāo),作出βn和φn的離散圖形,稱為頻譜圖??捎糜诜治鲋芷诩?lì)力的響應(yīng)狀況。因此,諧波分析也稱為頻譜分析。諧波分析方法也適用于分析任意周期慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)。例3.6.1設(shè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)受到如圖2.10所示的周期方波激勵(lì):試求此系統(tǒng)的響應(yīng),令λ=1/6,ζ=0.1,作出頻譜圖。tF(t)O-F0F0T/2T圖2.10方波激勵(lì)力解:將激勵(lì)展開為傅里葉級(jí)數(shù):(a)動(dòng)力學(xué)方程:解為:其中(b)(c)λ=1/6,ζ=0.1,作出βn和φn的頻譜圖:n=1,2,3,4,5,600.5100.5-0.5例3.6.2發(fā)電機(jī)的振動(dòng)。曲柄、連桿質(zhì)量不計(jì),發(fā)電機(jī)總質(zhì)量m,活塞質(zhì)量為m1,曲柄轉(zhuǎn)速ω。設(shè)r<<
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