鄭州大學(xué)《有限元原理》課件：第四章有限元法幾個關(guān)鍵問題

第四章有限元法計算中的幾個關(guān)鍵問題§4.1單元問題§4.2

Substructure§4.3聯(lián)結(jié)單元§4.4鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)模型1§4.1單元問題一、有限單元單元的特征①單元族：每種單元所假定的幾何類型不同。實體單元、殼單元、梁單元、桁架單元、膜單元、無限單元、彈簧和粘壺、剛性體單元。②自由度：計算的基本變量1、2、3方向的移動，繞1、2、3方向的轉(zhuǎn)動，開口截面梁單元的翹曲，聲壓、孔隙壓力或靜水壓力，電勢，實體單元的溫度一、單元問題二、縮減積分三、應(yīng)力計算四、模型建立問題2③結(jié)點數(shù)目與插值的階數(shù)一次、二次插值，一般都提供二次單元選擇④單元性質(zhì)截面特性。材料特性和任何附加的幾何信息。如三維梁單元：材料特性，梁截面輪廓。自由度包括每個點（2個點）的三個方向位移、三個方向的轉(zhuǎn)角⑤數(shù)學(xué)描述和積分定義單元行為的數(shù)學(xué)理論；應(yīng)力或位移式基于Lagrange或材料描述，歐拉方法描述。每個單元幾個積分點？完全積分，縮減積分3⑥單元輸出變量輸出變量是相對于整體坐標(biāo)系還是在自己定義的局部坐標(biāo)系。剛性體個剛性單元：計算效率問題彈簧和減震器單元：在不需要詳細模擬整體的情況下建立2結(jié)點的有效剛度或阻尼。二、實體單元的完全積分和縮減積分完全積分：指單元形狀規(guī)則時，所用的Gauss積分點數(shù)目足以對單元剛度矩陣的多項式進行精確積分。形狀規(guī)則是指直線邊界、直角。如矩形四邊形單元。4線性單元完全積分二次單元完全積分被積函數(shù)f(x)為m次多項式，積分點數(shù)目n滿足：可以取得精確積分一維問題：插值函數(shù)的多項式為p，微分算子中的導(dǎo)數(shù)階數(shù)是m，被積函數(shù)是2(p-m)次多項式.Gauss積分點應(yīng)達到精確積分要求5◆二維4結(jié)點等參單元：插值函數(shù)包含有2次項，假設(shè)|J|是常數(shù)，應(yīng)取(2+1)/2=2，即2x2個積分點才能達到精確積分?！舳S8結(jié)點等參單元：需要3x3個積分點大多數(shù)情況下，實際選取的積分點數(shù)低于精確積分點。高斯積分點數(shù)低于被積函數(shù)所有項次精確積分所需要階數(shù)的積分方案稱為縮減積分.一般去在每個方向少用一個積分點。6三、應(yīng)力計算stressrecovery■Error≠MistakeinFEM(Modelingorsolution)Typeoferror:★Modelingerror(beam,plate,…theories)★

Discretizationerror(Finite,Piecewise)★

Numericalerror(InsolvingFEequations)AsthemeshintheFEmodelsisrefinedrepeaedly,theFEsolutionwillconvergetotheexactsolutionofthemathematicalmodeloftheproblem.7TwotypeofproceduresTheresidualbasederrorestimatorTherecoverybasederrorestimatorAachievingafairlygoodstressapproximationfortheFEM---stressrecoverymethodsstressrecoveryproceduresinclude:

■asimpleaveragingofthestressesobtainedfromallelementsataparticularnode;Themeanstresstechniqueisthemostsimpleforrealization,buttheleastaccurate.

■thegloballeast-squaresprocedures.8UsuallytheusageofthenodesoftheGauss

quadratureformulaasinterpolationorextrapolationpointsleadstobetterresults.superconvergentstresspointsxxxxx@Thebi-linearelementshave1superconvergentpointsintwodimensions.@Thebi-quadraticelementshave4superconvergentpointsintwodimensions.9◆TheSPRrecoverymethod(Superconvergentpatchsrecovery)◆TheREPrecovery(RecoverybyEquilibriumofPatches)[1]O.C.ZienkiewiczandJ.Z.Zhu,Superconvergenceandthesuperconvergentpatchrecovery,FiniteElem.Anal.Des.19(1995)11-23.[2]A.A.Rogovoy.THESTRESSRECOVERYPROCEDUREFORTHEFINITEELEMENTMETHOD,Computers&StrucruresVol.63,No.6,pp:1121-1137,199710四、模型建立問題1.單元類型和形狀的選擇■根據(jù)分析對象的物理屬性，可選擇固體力學(xué)單元、流體力學(xué)單元、熱傳導(dǎo)單元等。■在固體力學(xué)單元類型中，還可根據(jù)對象的幾何特點，選擇二維、三維實體單元，梁、板、殼結(jié)構(gòu)單元，半無窮單元等?！鰡卧A次的選擇與求解域內(nèi)應(yīng)力變化的特點有關(guān)，應(yīng)力梯度大的區(qū)域，單元階次應(yīng)較高，否則即使網(wǎng)格很密也難達到理想的結(jié)果。112.網(wǎng)格的劃分■對于應(yīng)力變化激烈的地區(qū)局部加密網(wǎng)格進行重分析?！梢栽谠W(wǎng)格中進行；▲也可以將高應(yīng)力區(qū)截取出來進行網(wǎng)格加密，并將前一次全結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果作為邊界條件施加在局部加密的網(wǎng)格邊界上進行重分析?？傮w一局部分析法?！霾捎冒走m應(yīng)分析方法。即對前一次分析的結(jié)果作出誤差估計，如果誤差超過規(guī)定，再由程序自動加密網(wǎng)格，或提高單元階次后進行重分析，直至滿足精度要求。12■疏密網(wǎng)格的過渡123◆采用形狀不規(guī)則的單元過渡.不足之處是可能單元形狀不好而影響局部的精度。◆采用三角形單元過渡。不足之處是可能因引人不同形式的單元而帶來不便。◆采用多點約束方法過渡消除變量2。增加程序處理的麻煩13■充分利用結(jié)構(gòu)對稱性和周期性實際工程中，很多結(jié)構(gòu)具有對稱性和周期性。如能恰當(dāng)?shù)丶右岳?，可以使結(jié)構(gòu)的有限元計算模型以及相應(yīng)的計算規(guī)模得到縮減，從而使數(shù)據(jù)準(zhǔn)備工作和計算工作量大幅度地降低。問題：大規(guī)模計算，如何降低計算工作量？§4.2

Substructuremethod■利用子結(jié)構(gòu)法凝聚掉結(jié)構(gòu)中幾何形狀相同的部分的內(nèi)部變量14了結(jié)構(gòu)法是把初始結(jié)構(gòu)分割成一開始就計劃好的若干部分，并作為處理大型有限元分析工程或者使分析適應(yīng)有限的計算機資源的一種方法。15Substructuresarecollectionsofelementsfromwhichtheinternaldegreesoffreedomhavebeeneliminated.Thesystemisdividedintoanumberofpartsorsegments,eachcalledasubstructure.Eachsubstructure,inturn,isdividedintoseveralfiniteelements.Bytreatingeachsubstructureasalargeelementwithmanyinteriorandexterior(boundary)nodes,andusingaprocedureknownasstatic

condensation,theequationsofthesubstructurearereducedtoaforminvolvingonlytheexteriornodesofthatparticularsubstructure.16InststicanalysisIndynamicanalysisIngeometricallynonlinearstress/displacementanalysisSubstructure1b:boundarynodeofsubstructure;i:interiornodeofsubstructure.求出Xi把Xi代入方程117即18e:nonsubstructurenodes19ConstructingstiffnessmatrixofsubstructureinlocalCoordinatesystem,onlyonetime.CoordinatemappingtotheglobalCoordinatesystemforallsubstructure..Torecoverthesolutioninternaltothesubstructure20Notting■

Asubstructure’sstiffnessmatrixisfullypopulated(nozeroterms),therefore,maybeverylargeifthesubstructurehasalargenumberofremaineddegreesoffreedom.Thisdifficultycanoftenbeavoidedbychoosingthesubstructure’sboundariescarefullyorbyreusingseveralsmallersubstructureratherthanasinglelargersubstructure.■Thesubstructurenodesmustbespecifiedinthesameorderwithinthesubstructure.■defining

substructure’sproperties:anytranslation,rotation,andreflectionofsubstructure.21【1】R.H.Dodds,Jr.,andL.A.Lopez:Substructuringinlinearandnonlinearanalysis,InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering.15,583-597,1980.【2】M.KondoandG.B.Sinclair:Asimplesubstructuringprocedureforfiniteelementanalysisofstressconcentrations,CommunicationsinAppliedNumericalMethods.1,215-218,1985.22§

4.3聯(lián)結(jié)單元■鋼筋與混凝土不同材料，若不滑移，粘結(jié)足夠好，單元之間相互鉸接?！鋈艨紤]二者相對滑移，粘結(jié)力可能發(fā)生破壞，則需要引入另一種能反映鋼筋與混凝土之間的界面單元，即連接單元?！雎?lián)結(jié)單元作用：沿著與聯(lián)結(jié)面垂直方向傳遞壓力，沿著與聯(lián)結(jié)面平行方向傳遞剪應(yīng)力，但不能傳遞拉應(yīng)力。234.3.1雙彈簧連接單元混凝土單元邊緣鋼筋單元邊緣ijxyX’y’具有彈性剛度，無實際幾何尺寸.根據(jù)需要設(shè)置，不滑移的結(jié)點可不設(shè)置。平行彈簧用以計算滑移和粘結(jié)力，垂直彈簧用以用以考慮鋼筋的銷栓作用。剛度kh,kv24UxUyxyuxuy混凝土單元邊緣鋼筋單元邊緣ijxyX’y’uhuvuxuy局部坐標(biāo)整體坐標(biāo)2526單元剛度矩陣274.3.2四結(jié)點線性節(jié)理單元x’y’ijmnlengthlwidthel/2l/2厚度為0Goodman單元沿長度方向線性插值單元結(jié)點力結(jié)點位移28上下水平位移差上下垂直位移差一、基本方程x’y’ijmnlengthlwidthe29假設(shè):單元內(nèi)剪應(yīng)力與水平位移之差成正比；單元內(nèi)正應(yīng)力與垂直位移之差成正比。初始剪應(yīng)力和正應(yīng)力切線剛度法線剛度30有限元方程單元內(nèi)虛位移之差單元應(yīng)力所做的虛功單元結(jié)點力所做的虛功二者相等初應(yīng)力引起的結(jié)點荷載31t:z方向的厚度。二、初應(yīng)力引起的結(jié)點荷載若2個結(jié)點的初應(yīng)力相等ij32整體坐標(biāo)系中UxUyxyuxuy法向剛度ks：當(dāng)節(jié)理受壓是，為了描述兩邊二維單元在接觸面處不會重疊，應(yīng)取很大的數(shù)，使之互相嵌入的相對位移小到可以忽略不計；但若算出節(jié)理面法向應(yīng)力為拉應(yīng)力，kn應(yīng)取很小的值。切向剛度kn：試驗確定。剪應(yīng)力與剪切位移成非線性關(guān)系，剪應(yīng)力小時ks較大，剪應(yīng)力大到破壞時，ks則較小。三、坐標(biāo)變換33四、有限寬度的節(jié)理單元x’y’ij