第十章 動(dòng)量定理

§10-1動(dòng)量與沖量

一、動(dòng)量

1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積mv稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。是瞬時(shí)矢量，方向與v相同。單位是kgm/s。動(dòng)量是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱程度的一個(gè)物理量。例：槍彈：速度大，質(zhì)量??；船：速度小，質(zhì)量大。

12.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。2m1m2mnzoxyrCCrimi一.質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要概念。質(zhì)心C點(diǎn)的位置：3.質(zhì)心及用質(zhì)心速度求質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量3m1m2mnzoxyrCCrimi則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。4例10－1已知：均質(zhì)圓盤在OA桿上純滾動(dòng)，m＝20kg，R＝100mm，OA桿的角速度為，圓盤相對于OA桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，。求：此時(shí)圓盤的動(dòng)量。5

解：6于是所以方向水平向右。解:取C為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與OA固連7例2、橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)的規(guī)尺AB的質(zhì)量為2m1，曲柄OC的質(zhì)量為m1，滑塊A和B的的質(zhì)量均為m2。已知OC＝AC＝CB＝l。曲柄和規(guī)尺均為均質(zhì)細(xì)直桿。曲柄以角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。求機(jī)構(gòu)的動(dòng)量。8解1：由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量公式有建立如圖直角坐標(biāo)系，則動(dòng)量的投影為9所以機(jī)構(gòu)動(dòng)量的大小和方向?yàn)?0解2：方向?yàn)镃點(diǎn)速度的方向。因?yàn)榈?12．力是變矢量：（包括大小和方向的變化）

1．力是常矢量：二．沖量

力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。3．合力的沖量：等于各分力沖量的矢量和．

沖量：元沖量：沖量的單位：與動(dòng)量單位同．作用時(shí)間（t2-

t1）12§10-2動(dòng)量定理1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理或即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量.在

~內(nèi),速度由

~,有

即在某一時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力在此段時(shí)間內(nèi)的沖量.－－質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式－－質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式13內(nèi)力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力外力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理14質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系。其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為mivi，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的外力與內(nèi)力的合力為與，由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理有將n個(gè)方程相加，即得改變求和與求導(dǎo)次序，則得15質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和（或外力的主矢）。上式也可以寫成其中：；由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，故所有內(nèi)力的矢量和恒等于零，即。于是可得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式16質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分投影形式或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分投影形式17p＝p0＝恒矢量若 ，則

如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的主矢恒等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變。px＝p0x

＝恒量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律18[例]

質(zhì)量為M的大三角形柱體,放于光滑水平面上,斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時(shí)，大三角形柱體的位移。19解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。受力分析，水平方向常量。由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；則設(shè)大三角塊速度小三角塊相對大三角塊速度為，則小三角塊運(yùn)動(dòng)分析，20例

圖示系統(tǒng)，重物A和B的質(zhì)量分別為m1、m2。若A下降的加速度為a，滑輪質(zhì)量不計(jì)。求支座O的反力。21

解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。設(shè)A下降的速度為vA，B上升的速度為vB，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得系統(tǒng)的動(dòng)量在坐標(biāo)軸上的投影為由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理注意到可得22一.質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要概念。質(zhì)心C點(diǎn)的位置：10-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理m1m2mnzoxyrCCrimi23由得或

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和.－－質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理24在直角坐標(biāo)軸上的投影式為:在自然軸上的投影式為:25

3.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是動(dòng)量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程形式相似。對于任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，無論它作什么形式的運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以看成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，并設(shè)想把整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上，所有外力也集中作用在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上。2.剛體系統(tǒng)：設(shè)第

i

個(gè)剛體mi，vCi，則有

或26

5．質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求解兩類動(dòng)力學(xué)問題：

已知質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力

(包括約束反力)。已知作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。4.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律

若，則常矢量，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；若開始時(shí)系統(tǒng)靜止，即，則常矢量，質(zhì)心位置守恒。若則常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；若存在，則常量，質(zhì)心在x軸的位置坐標(biāo)保持不變。

27解:

取整個(gè)電動(dòng)機(jī)作為質(zhì)點(diǎn)系研究，分析受力，受力圖如圖示運(yùn)動(dòng)分析：定子質(zhì)心加速度a1=0，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。[例]

電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量為m1,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2,轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1,但由于制造誤差,轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。求轉(zhuǎn)子以角速度作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，基礎(chǔ)作用在電動(dòng)機(jī)底座上的約束反力。28根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有可見，由于偏心引起的動(dòng)反力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。a1=0，a2=e229[例]

浮動(dòng)起重船,船的重量為P1=200kN,起重桿的重量為P2=10kN,長l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN。

設(shè)開始起吊時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置的夾角為1=60o,水的阻力不計(jì),求起重桿OA與鉛直位置成角2

=30o時(shí)船的位移。30

解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對象。

受力分析如圖示，，且初始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)質(zhì)心的位置坐標(biāo)XC保持不變。31船的位移x１，桿的位移重物的位移計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表明船的位移水平向左。32例

質(zhì)量為m長為2l的均質(zhì)桿