第五章 立體表面交線投影

第五章立體的表面交線

工學院機械系王鴻鈞第一節(jié)平面立體的截切截切：

用平面與立體相交，截去立體的一部分。截平面

:用以截切物體的平面。截交線

:截平面與物體表面的交線。

截斷面:因截平面的截切，在物體上形成的平面。

討論的問題：截交線的分析和作圖

。工學院機械系王鴻鈞一、平面截切的基本形式截交線與截斷面截平面截交線截斷面工學院機械系王鴻鈞截交線是一個由直線組成的封閉的平面多邊形，其形狀取決于平面體的形狀及截平面相對平面體的截切位置。平面立體的截交線是一個多邊形，它的頂點是平面立體的棱線或底邊與截平面的交點。截交線的每條邊是截平面與棱面的交線。求截交線的實質(zhì)是求兩平面的交線截交線的性質(zhì)：共有性：截交線既屬于截平面，又屬于立體表面。工學院機械系王鴻鈞二、平面立體截交線的畫圖⒈求截交線的兩種方法：棱線法:求各棱線與截平面的交點棱面法:求各棱面與截平面的交線⒉求截交線的步驟：截平面與立體的相對位置截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性１）空間及投影分析２）畫出截交線的投影確定截交線的形狀123456工學院機械系王鴻鈞3.截交線的形狀（1）分析截平面與立體的相對位置以確定截交線形狀。

（2）分析截平面與投影面的相對位置以確定截交線的投影形狀。截交線的形狀是怎樣的？怎樣確定截交線的投影形狀？截交線多邊形的邊數(shù)=截平面截到的棱面數(shù)工學院機械系王鴻鈞例1求如圖所示三棱錐被正垂面所截切，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。平面與三棱錐相交s’a’b’c’c”a”b”sPvs”(1)求Pv與s’a’、s’b’、s’c’的交點1’、2’、3’為截平面與各棱線的交點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。1’2’3’(2)根據(jù)線上取點的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3)連接各點的同面投影即等截交線的三個投影。(4)補全棱線的投影。3”具體步驟如下：工學院機械系王鴻鈞例2求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。

321(4)1●2●4●3●1●2●4●交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查

類似性截平面與立體的幾個棱面相交?截交線與投影面的位置關(guān)系?

工學院機械系王鴻鈞工學院機械系王鴻鈞例3求三棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。6′2′≡5′1′3′4′1234561″2″3″4″5″≡6″工學院機械系王鴻鈞工學院機械系王鴻鈞例4求六棱柱被截切后的水平投影和側(cè)面投影

作圖方法:1求棱線與截平面的共有點2連線3根據(jù)可見性處理輪廓線1?2?(1)?2?2?2?2?7?7?(5)?6?5?6?1234567(3)?4?3?4?工學院機械系王鴻鈞工學院機械系王鴻鈞121(2)Ⅰ、Ⅱ兩點分別同時位于三個面上。三面共點：2●1●

注意：

要逐個截平面分析和繪制截交線。當平面體只有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。例5：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。工學院機械系王鴻鈞工學院機械系王鴻鈞第二節(jié)回轉(zhuǎn)體的截切

一、回轉(zhuǎn)體截切的基本形式截交線截平面截平面截交線工學院機械系王鴻鈞截交線的性質(zhì)：截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及

截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置。截交線都是封閉的平面圖形。(特殊情況為平面折線)工學院機械系王鴻鈞二、平面與回轉(zhuǎn)體的截交線如何求截交線？⑴空間及投影分析

①確定截交線的形狀②明確截交線的投影特性(積聚性、類似性等)

⑵畫截交線的投影當截交線的投影為非圓曲線時，作圖步驟為：☆順次光滑地連接各點，并判斷可見性。☆先取特殊點，后取中間點。分析截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置明確回轉(zhuǎn)體的形狀關(guān)鍵在分析截平面與投影面的相對位置

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1234工學院機械系王鴻鈞截交線的求法

方法：工學院機械系王鴻鈞㈠圓柱體的截切

截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置垂直圓橢圓平行兩平行直線傾斜PVPPVPPVP工學院機械系王鴻鈞例1如圖所示，圓柱被正垂面截切，求出截交線的另外兩個投影。

平面與圓柱相交由于平面與圓柱的軸線斜交，因此截交線為一橢圓。截交線的正面投影重影為一直線，水平投影與圓柱面的投影重影為圓。側(cè)面投影可根據(jù)圓柱表面取點的方法求出。具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點。（2）再作出適當數(shù)量的一般點。（3）將這些點的投影依次光滑的連接起來。1’15’5373’(7)’1”5”3”7”22’2”4684’4”（4）補全側(cè)面投影中的轉(zhuǎn)向輪廓線。8”6”ⅠⅢⅤⅦⅡⅣⅥⅧ工學院機械系王鴻鈞例2求左視圖★空間及投影分析★利用積聚性求截交線★分析圓柱體輪廓素線的投影截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置●●解題步驟：

同一立體被多個平面截切，要逐個截平面進行截交線的分析和作圖?！瘛窆W院機械系王鴻鈞工學院機械系王鴻鈞例3補畫出立體的左視圖2.作左切面上的投影

1.作圓柱的左視圖3.作下部通槽的投影4.判別可見性工學院機械系王鴻鈞5.整理并擦除多余的線,完成作圖.工學院機械系王鴻鈞例4補畫被挖切后立體的投影。

分析：該立體是在圓柱筒的上部開出一個方槽后形成的。構(gòu)成方槽的平面為垂直于軸線的水平P和兩個平行于軸線的側(cè)平面Q。它們與圓柱體和孔的表面都有交線，平面P與圓柱的交線為圓弧，平面Q與圓柱的交線為直線，平面Ｐ和Q彼此相交于直線段。平面與圓柱相交工學院機械系王鴻鈞作圖步驟如下：（1）先作出完整基本形體的三面投影圖。平面與圓柱相交（2）然后作出槽口三面投影圖。(3)作出穿孔的三面投影圖。QP工學院機械系王鴻鈞例5求左視圖截交線的已知投影呢？截交線的側(cè)面投影是什么形狀？截交線的空間形狀是怎樣的?工學院機械系王鴻鈞橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變而改變。45°什么情況下投影為圓呢?截平面與軸線成45°夾角時工學院機械系王鴻鈞●●●●●●●●●●●●★找特殊點★補充中間點★光滑連接各點★分析輪廓素線的投影工學院機械系王鴻鈞工學院機械系王鴻鈞㈡圓錐體的截切平面截切圓錐有四種情況，如圖所示。平面與圓錐相交平面與圓錐相交所產(chǎn)生的截交線形狀，取決于平面與圓錐軸線的位置。工學院機械系王鴻鈞例1如圖所示，圓錐被正垂面截切，求出截交線的另外兩個投影。平面與圓柱相交此種截交線為一橢圓。由于圓錐前后對稱，故橢圓也前后對稱。橢圓的長軸為截平面與圓錐前后對稱面的交線——正平線，橢圓的短軸是垂直與長軸的正垂線。ⅠⅡⅢⅣ正平線正垂線工學院機械系王鴻鈞ⅠⅡⅢⅣ正平線正垂線平面與圓錐相交具體步驟如下：（1）先作出截交線上的特殊點。1’2’121”2”3’4’345’6’65（2）再作一般點。（3）依次光滑連接各點，即得截交線的水平投影和側(cè)面投影。（4）補全側(cè)面轉(zhuǎn)向輪廓線。3”4”5”6”7’8’787”8”工學院機械系王鴻鈞例2圓錐被正垂面截切，求截交線，并完成三視圖。截交線的空間形狀?截交線的投影特性？★找特殊點如何找橢圓另一根軸的端點？★補充中間點★光滑連接各點★分析輪廓線的投影工學院機械系王鴻鈞工學院機械系王鴻鈞分析:截交線的正面投影為雙曲線.作圖:1、求特殊點。最高點最低點2、求一般點。3、連線。例3:求圓錐被截切后的正面投影.工學院機械系王鴻鈞平面與圓錐相交342153’2’(4’)1’(5’)4”3”2”1”（1）先求特殊點。（2）再求一般點。（3）依次光滑連接各點。5”具體步驟如下：例4:圓錐被水平面截切，求出截交線的另外兩個投影。工學院機械系王鴻鈞例5已知立體的正面投影，試完成H、W兩面投影

1’(2)’(4)’3’(6)’5’(8)’7’9’(10)’2”1”433”4”655”6”(12)’11’11”12”787”8”91010”9”1112工學院機械系王鴻鈞工學院機械系王鴻鈞㈢球體的截切平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。平面與球相交工學院機械系王鴻鈞具體步驟如下：（1）先求特殊點。（2）確定截交線與轉(zhuǎn)向輪廓線的交點。（3）依次連接各點的水平投影。平面與球相交11’23’(4’)432’655’6’1234例1、如圖所示，球被正垂面截切，求截交線的水平投影。工學院機械系王鴻鈞例2：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。兩個側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。工學院機械系王鴻鈞工學院機械系王鴻鈞例3求圓球被截切后的水平投影和側(cè)面投影

分析:球面被側(cè)平面截切，側(cè)面投影為圓；球面被水平面截切，水平面投影為圓。輪廓線要不要?輪廓線怎樣處理?工學院機械系王鴻鈞分析:球面被側(cè)平面截切，側(cè)面投影為圓；球面被水平面截切，水平面投影為圓。工學院機械系王鴻鈞(四)復合回轉(zhuǎn)體的截切●●●●●●●●1.分析復合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系.例：求作頂尖的俯視圖2.分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛窆W院機械系王鴻鈞小結(jié)一、平面體的截交線一般情況下是由直線組成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與棱面的交線。求截交線的方法：棱線法棱面法二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截平面與被截立體軸線的相對位置。截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。工學院機械系王鴻鈞當截交線的投影為非圓曲線時，要先找特殊點，再補充中間點，最后光滑連接各點。注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。⑵分析截平面與被截立體對投影面的相對位置，以確定截交線的投影特性。⒉求截交線三、解題方法與步驟⒈空間及投影分析⑴分析截平面與被截立體的相對位置，以

確定截交線的形狀。工學院機械系王鴻鈞⒊當單體被多個截平面截切時，要逐個截平面進行截交線的分析與作圖。當只有

局部被截切時，先按整體被截切求出截

交線，然后再取局部。

⒋求復合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分析復合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本

回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。工學院機械系王鴻鈞第三節(jié)回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫

一、相貫線的性質(zhì)相貫線一般為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線。二、作圖方法表面取點法利用投影的積聚性直接找點。用輔助平面法。一般是根據(jù)立體或給出的投影，分析兩回轉(zhuǎn)面的形狀、大小極其軸線的相對位置，判斷相貫線的形狀特點和各投影的特點，從而選擇適當?shù)姆椒ㄗ鲌D。工學院機械系王鴻鈞三、作圖過程先找特殊點。補充中間點。確定交線的彎曲趨勢確定交線的范圍工學院機械系王鴻鈞四.面上取點法⒈交線分析⑴

空間分析：相交兩立體的表面形狀，形體大小及相對位置，預(yù)見交線的形狀。⑵投影分析：是否有積聚性投影？找出相貫線的已知投影，預(yù)見未知投影，選擇解題方法。⒉作圖最上點、最下點、最左點、最右點、最前點、最后點、輪廓線上的點等。⑴找點⑵連線⑶檢查、加深尤其注意檢查回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影?！钫姨厥恻c☆補中間點工學院機械系王鴻鈞例1圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。

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空間及投影分析：小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。求相貫線的投影：利用積聚性，采用表面取點法。☆找特殊點☆補充中間點☆光滑連接工學院機械系王鴻鈞完成后的三視圖：工學院機械系王鴻鈞當圓柱直徑變化時，相貫線的變化趨勢：交線為兩條平面曲線（橢圓）交線總向大圓柱的軸線彎曲工學院機械系王鴻鈞例2補全主視圖45說明：外輪廓與內(nèi)輪廓的相貫線用簡化畫法畫出★外形交線◆

兩外表面相貫◆一內(nèi)表面和一外表面相貫★內(nèi)形交線◆

兩內(nèi)表面相貫工學院機械系王鴻鈞完成后的三視圖：工學院機械系王鴻鈞例3補全主視圖●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆兩外表面相貫◆一內(nèi)表面和一外表面相貫★內(nèi)形交線◆兩內(nèi)表面相貫工學院機械系王鴻鈞無輪是兩外表面相貫，還是一內(nèi)表面和一外表面相貫，或者兩內(nèi)表面相貫，求相貫線的方法和思路是一樣的。小結(jié)：工學院機械系王鴻鈞(1)先畫出圓柱筒未穿孔時的另二投影(2)利用圓柱的積聚性投影求與方孔相貫線上各特殊位置點的投影。(3)判別可見性后依次連接各點的投影,擦去被相貫掉的輪廓線。(4)利用圓柱的積聚性投影求與圓孔相貫線上各特殊位置點的投影。(5)判別可見性后依次連接各點的投影.擦去被相貫掉的輪廓線。解題步驟：易多線易多線易多線容易多線立體圖

例4:已知圓柱筒上穿方孔下穿圓孔的俯視圖,補全另二投影。工學院機械系王鴻鈞五、輔助平面法

根據(jù)三面共點的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點，從而畫出相貫線的投影。作圖方法：

假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交點既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，因而是相貫線上的點。輔助平面的選擇原則：一般選擇投影面平行面使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線的投影簡單易畫，例如直線或圓。工學院機械系王鴻鈞例1求圓柱與半球相貫線的投影

相貫線的側(cè)面投影積聚在圓柱的表面上。水平圓柱與半球的公共對稱面平行于V面，故相貫線是一條前后對稱的空間曲線。求圓柱與半球的相貫線工學院機械系王鴻鈞求圓柱與半球的相貫線作圖步驟：1）求特殊點：4’141”4”1’2）求一般點：PvPw2”6”26QvQw3”5”352’(6’)3）判斷可見性，依次光滑連接各點：4）補畫水平轉(zhuǎn)向輪廓線。3’(5’)ⅣⅠ工學院機械系王鴻鈞例2求圓柱與圓錐相貫線的投影，如圖所示。分析：

由投影圖可知，圓柱與圓錐的軸線垂直交叉，相貫線是一條左右對稱封閉的空間曲線。由于圓柱軸線垂直與側(cè)面，所以相貫線的側(cè)面投影已知，可以用表面取點的方法求相貫線的投影。求圓柱與圓錐的相貫線工學院機械系王鴻鈞求圓柱和圓錐的相貫線作圖步驟：ⅠⅡⅣ1”2”(4”)3”1’12’4’243’3ⅤⅥ5”6”565’6’1）求特殊點：Ⅲ工學院機械系王鴻鈞求圓柱和圓錐的相貫線ⅠⅢⅣⅤⅥⅡ6’4’242’2”(4”)2）求一般點：7’8’7”(8”)78ⅦⅧ3）判斷可見性，依次光滑連接各點：

4）補全正面轉(zhuǎn)向輪廓線。4’6’工學院機械系王鴻鈞例3求圓柱與圓錐正交時相貫線的投影。

yyPW2PV24"yy4'PV1PW13"PV3PW35"11'1"2'

2"2453'35'工學院機械系王鴻鈞特殊位置和形狀的相貫線

（等徑相交兩回轉(zhuǎn)體）工學院機械系王鴻鈞特殊位置和形狀的相貫線軸線平行兩圓柱的相貫線工學院機械系王鴻鈞例4補全主視圖

這是一個多體相貫的例子，1.分析是由哪些基本體組成2.這些基本體是如何相貫的3.進行相貫線的分析與作圖A（圓