第七章互感與諧振

第7章互感與諧振本章重點(diǎn)互感與互感電壓7.1具有互感的正弦電流電路的計(jì)算

7.2空心變壓器

7.3理想變壓器7.4串聯(lián)電路的諧振

7.5并聯(lián)電路的諧振

7.6重點(diǎn)1.互感和互感電壓2.有互感電路的計(jì)算3.變壓器和理想變壓器原理4.串、并聯(lián)諧振的概念7.1互感和互感電壓

耦合電感元件屬于多端元件，在實(shí)際電路中，如收音機(jī)、電視機(jī)中的中周線(xiàn)圈、振蕩線(xiàn)圈，整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件，熟悉這類(lèi)多端元件的特性，掌握包含這類(lèi)多端元件的電路問(wèn)題的分析方法是非常必要的。變壓器變壓器小變壓器調(diào)壓器整流器牽引電磁鐵電流互感器1.互感線(xiàn)圈1中通入電流i1時(shí)，在線(xiàn)圈1中產(chǎn)生磁通，同時(shí)，有部分磁通穿過(guò)臨近線(xiàn)圈2，這部分磁通稱(chēng)為互感磁通。兩線(xiàn)圈間有磁的耦合。21+–u11+–u21i111N1N2定義

：磁鏈，

=N磁鏈（通）下標(biāo)的含義：第一個(gè)為該磁鏈（通）所在線(xiàn)圈的編號(hào)，第2個(gè)下標(biāo)為產(chǎn)生該磁鏈（通）的施感電流所在線(xiàn)圈的編號(hào)?？招木€(xiàn)圈，與i成正比。當(dāng)只有一個(gè)線(xiàn)圈時(shí)：

當(dāng)兩個(gè)線(xiàn)圈都有電流時(shí)，每一線(xiàn)圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數(shù)和：M值與線(xiàn)圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān)，與線(xiàn)圈中的電流無(wú)關(guān)，滿(mǎn)足M12=M21

L

總為正值，M值有正有負(fù)。注意2.耦合系數(shù)

用耦合系數(shù)k

表示兩個(gè)線(xiàn)圈磁耦合的緊密程度。k=1

稱(chēng)全耦合,k=0稱(chēng)為無(wú)耦合。

耦合系數(shù)k與線(xiàn)圈的結(jié)構(gòu)、相互幾何位置、空間磁介質(zhì)有關(guān)。注意當(dāng)i1為時(shí)變電流時(shí)，磁通也將隨時(shí)間變化，從而在線(xiàn)圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。當(dāng)i1、u11、u21方向與

符合右手螺旋時(shí)，根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞次定律：自感電壓互感電壓3.耦合電感上的電壓、電流關(guān)系

當(dāng)兩個(gè)線(xiàn)圈同時(shí)通以電流時(shí)，每個(gè)線(xiàn)圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓。在正弦交流電路中，其相量形式的方程為：

兩線(xiàn)圈的自磁鏈和互磁鏈方向相同，互感電壓取正，否則取負(fù)。表明互感電壓的正、負(fù)：

（1）與電流的參考方向有關(guān)；

（2）與線(xiàn)圈的相對(duì)位置和繞向有關(guān)。注意4.互感線(xiàn)圈的同名端對(duì)自感電壓，當(dāng)u,i

取關(guān)聯(lián)參考方向，u、i與

符合右螺旋定則，其表達(dá)式為：

上式說(shuō)明，對(duì)于自感電壓由于電壓電流為同一線(xiàn)圈上的，只要參考方向確定了，其數(shù)學(xué)描述便可容易地寫(xiě)出，可不用考慮線(xiàn)圈繞向。i1u11對(duì)互感電壓，因產(chǎn)生該電壓的電流在另一線(xiàn)圈上，因此，要確定其符號(hào)，就必須知道兩個(gè)線(xiàn)圈的繞向。這在電路分析中顯得很不方便。為解決這個(gè)問(wèn)題引入同名端的概念。

當(dāng)兩個(gè)電流分別從兩個(gè)線(xiàn)圈的對(duì)應(yīng)端子同時(shí)流入或流出，若所產(chǎn)生的磁通相互加強(qiáng)時(shí)，則這兩個(gè)對(duì)應(yīng)端子稱(chēng)為兩互感線(xiàn)圈的同名端。同名端**i1i2i3△△線(xiàn)圈的同名端必須兩兩確定。注意+–u11+–u21110N1N2+–u31N3s確定同名端的方法：(1)當(dāng)兩個(gè)線(xiàn)圈中電流同時(shí)由同名端流入(或流出)時(shí)，兩個(gè)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互增強(qiáng)。i11'22'**11'22'3'3**例(2)當(dāng)隨時(shí)間增大的時(shí)變電流從一線(xiàn)圈的一端流入時(shí)，將會(huì)引起另一線(xiàn)圈相應(yīng)同名端的電位升高。+–V

同名端的實(shí)驗(yàn)測(cè)定：i11'22'**電壓表正偏。如圖電路，當(dāng)閉合開(kāi)關(guān)S

時(shí)，i

增加，

當(dāng)兩組線(xiàn)圈裝在黑盒里，只引出四個(gè)端線(xiàn)組，要確定其同名端，就可以利用上面的結(jié)論來(lái)加以判斷。RS+-i由同名端及u、i參考方向確定互感線(xiàn)圈的特性方程

有了同名端，表示兩個(gè)線(xiàn)圈相互作用時(shí)，就不需考慮實(shí)際繞向，而只畫(huà)出同名端及u、i參考方向即可。i1**u21+–Mi1**u21–+M例寫(xiě)出圖示電路電壓、電流關(guān)系式i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1_+u2i2Mi1**L1L2_+u1_+u2i2M例21010i1/At/s解MR1R2i1**L1L2+_u+_u27.2具有互感的正弦電流電路的計(jì)算

1.耦合電感的串聯(lián)順接串聯(lián)去耦等效電路iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–反接串聯(lián)iM**u2+–R1R2L1L2u1+–u+–iRLu+–注意順接一次，反接一次，就可以測(cè)出互感：全耦合時(shí)

當(dāng)

L1=L2

時(shí)

,

M=L4M

順接0

反接L=互感的測(cè)量方法：在正弦激勵(lì)下：**jL1jL2jM+–R1+–+–R2順接串聯(lián)反接串聯(lián)同側(cè)并聯(lián)i=i1+i2解得u,i

的關(guān)系：2.耦合電感的并聯(lián)**Mi2i1L1L2ui+–如全耦合：L1L2=M2當(dāng)

L1L2

，Leq=0

(短路)當(dāng)L1=L2=L

，Leq=L

(相當(dāng)于導(dǎo)線(xiàn)加粗，電感不變)

等效電感：去耦等效電路Lequi+–

異側(cè)并聯(lián)i=i1+i2解得u,i

的關(guān)系：等效電感：**Mi2i1L1L2ui+–3.耦合電感的T型等效同名端為共端的T型去耦等效**jL1123jL2jM312j(L1-M)j(L2-M)jM異名端為共端的T型去耦等效**jL1123jL2jM12j(L1+M)j(L2+M)-jM3**Mi2i1L1L2ui+–(L1－M)M(L2－M)i2i1ui+–**Mi2i1L1L2u1+–u2+–(L1－M)M(L2－M)4.受控源等效電路**Mi2i1L1L2u1+–u2+–jL1jL2+––++–+–例Lab=5HLab=6H解M=3H6H2H0.5H4Hab9H7H-3H2H0.5HabM=4H6H2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3H**5.有互感電路的計(jì)算在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，有互感的電路計(jì)算仍應(yīng)用前面介紹的相量分析方法。注意互感線(xiàn)圈上的電壓除自感電壓外，還應(yīng)包含互感電壓。一般采用支路法和回路法計(jì)算。例1列寫(xiě)如圖正弦穩(wěn)態(tài)電路的回路電流方程。MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i1213解MuS+C－L1L2R1R2**+－ki1i1例2求圖示電路的開(kāi)路電壓。解1M12+_+_**M23M31L1L2L3R1作出去耦等效電路，(一對(duì)一對(duì)消):解2M12**M23M31L1L2L3**M23M31L1–M12L2–M12L3+M12M31L1–M12+M23L2–M12–M23L3+M12–M23L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13L1–M12+M23–M13L2–M12–M23+M13L3+M12–M23–M13+_+_R1例3要使i=0，問(wèn)電源的角頻率為多少？解ZRC－L1L2MiuS+L1L2C

R

+–

MZ**L1－M

L2－MMC

R

+–

Z7.3空心變壓器

變壓器由兩個(gè)具有互感的線(xiàn)圈構(gòu)成，一個(gè)線(xiàn)圈接向電源，另一線(xiàn)圈接向負(fù)載，變壓器是利用互感來(lái)實(shí)現(xiàn)從一個(gè)電路向另一個(gè)電路傳輸能量或信號(hào)的器件。當(dāng)變壓器線(xiàn)圈的芯子為非鐵磁材料時(shí)，稱(chēng)空心變壓器。1.變壓器電路（工作在線(xiàn)性段）原邊（初級(jí)、一次）回路副邊（次級(jí)、二次）回路**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX2.分析方法方程法分析令

Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)=R22+jX22回路方程：**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX等效電路法分析+–Z11+–Z22原邊等效電路副邊等效電路根據(jù)以上表示式得等效電路。副邊對(duì)原邊的引入阻抗。引入電阻。恒為正,表示副邊回路吸收的功率是靠原邊供給的。引入電抗。負(fù)號(hào)反映了引入電抗與副邊電抗的性質(zhì)相反。+–Z11原邊等效電路注意引入阻抗反映了副邊回路對(duì)原邊回路的影響。原副邊雖然沒(méi)有電的聯(lián)接，但互感的作用使副邊產(chǎn)生電流，這個(gè)電流又影響原邊電流電壓。能量分析電源發(fā)出的有功功率：P=I12(R1+Rl)I12R1

消耗在原邊；I12Rl

消耗在副邊原邊對(duì)副邊的引入阻抗。

利用戴維寧定理可以求得變壓器副邊的等效電路。副邊開(kāi)路時(shí)，原邊電流在副邊產(chǎn)生的互感電壓。副邊等效電路+–Z22注意去耦等效法分析

對(duì)含互感的電路進(jìn)行去耦等效，再進(jìn)行分析。已知

US=20V,原邊引入阻抗

Zl=10–j10.求:

ZX

并求負(fù)載獲得的有功功率.負(fù)載獲得功率：實(shí)際是最佳匹配：例1解**j10j10j2+–10ZX10+j10Zl+–L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,

R2=0.08W,

RL=42W,w=314rad/s,應(yīng)用原邊等效電路例2**jL1jL2jM+–R1R2RL+–Z11+–Z11例3全耦合電路如圖，求初級(jí)端ab的等效阻抗。解1解2畫(huà)出去耦等效電路**L1aM+–bL2L1－M

L2－M+–

Mab例4L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10W,C1=C2=0.01F

問(wèn)：R2=？能吸收最大功率,求最大功率。w=106rad/s,jL1jL2jMR1R2**+–1/jC21/jC1應(yīng)用原邊等效電路當(dāng)R2=40時(shí)吸收最大功率10+–解例5**

問(wèn)Z為何值時(shí)其上獲得最大功率，求出最大功率。判定互感線(xiàn)圈的同名端＋－uS(t)Z100CL1L2MjL1R

+–

MZ**jL21/jC

作去耦等效電路+–

Zj100－j20j20100j(L-20)jL1R

+–

MZ**jL21/jC

+–

Zj100100j(L-20)＋－uoc+–

j100100j(L-20)j100100j(L-20)Zeq7.4理想變壓器1.理想變壓器的三個(gè)理想化條件

理想變壓器是實(shí)際變壓器的理想化模型，是對(duì)互感元件的理想科學(xué)抽象，是極限情況下的耦合電感。全耦合無(wú)損耗線(xiàn)圈導(dǎo)線(xiàn)無(wú)電阻，做芯子的鐵磁材料的磁導(dǎo)率無(wú)限大。參數(shù)無(wú)限大

以上三個(gè)條件在工程實(shí)際中不可能滿(mǎn)足，但在一些實(shí)際工程概算中，在誤差允許的范圍內(nèi)，把實(shí)際變壓器當(dāng)理想變壓器對(duì)待，可使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化。注意2.理想變壓器的主要性能i11'22'N1N2變壓關(guān)系若理想變壓器模型**n:1+_u1+_u2注意**n:1+_u1+_u2**+_u1+_u2i1L1L2i2M理想變壓器模型**n:1+_u1+_u2i1i2變流關(guān)系考慮理想化條件：0若i1、i2一個(gè)從同名端流入，一個(gè)從同名端流出，則有：注意變阻抗關(guān)系注意

理想變壓器的阻抗變換只改變阻抗的大小，不改變阻抗的性質(zhì)。**n:1+_+_Zn2Z+–理想變壓器的特性方程為代數(shù)關(guān)系，因此它是無(wú)記憶的多端元件。理想變壓器既不儲(chǔ)能，也不耗能，在電路中只起傳遞信號(hào)和能量的作用。功率性質(zhì)**n:1+_u1+_u2i1i2表明例1已知電源內(nèi)阻RS=1k，負(fù)載電阻RL=10。為使RL獲得最大功率，求理想變壓器的變比n。當(dāng)

n2RL=RS時(shí)匹配，即10n2=1000n2=100，n=10.RLuSRS**n:1+_n2RL+–uSRS解應(yīng)用變阻抗性質(zhì)例2+–1:10501**+_阻抗變換+–1n2RL+–例3已知圖示電路的等效阻抗Zab=0.25，求理想變壓器的變比n。解應(yīng)用阻抗變換外加電源得：n=0.5

n=0.25Zabn:11.510－+**1.5－++–例4求電阻R

吸收的功率解應(yīng)用回路法解得123**+–+–1:10+–11R=117.5RLC串聯(lián)電路的諧振諧振是正弦電路在特定條件下產(chǎn)生的一種特殊物理現(xiàn)象。諧振現(xiàn)象在無(wú)線(xiàn)電和電工技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用，研究電路中的諧振現(xiàn)象有重要實(shí)際意義。

含R、L、C的一端口電路，在特定條件下出現(xiàn)端口電壓、電流同相位的現(xiàn)象時(shí)，稱(chēng)電路發(fā)生了諧振。1.諧振的定義R,L,C電路發(fā)生諧振下頁(yè)上頁(yè)返回2.串聯(lián)諧振的條件諧振角頻率諧振頻率諧振條件僅與電路參數(shù)有關(guān)RjL+_下頁(yè)上頁(yè)返回串聯(lián)電路實(shí)現(xiàn)諧振的方式：(1)

LC

不變，改變

w(2)電源頻率不變，改變

L

或C

(常改變C

)。

0由電路參數(shù)決定，一個(gè)RLC串聯(lián)電路只有一個(gè)對(duì)應(yīng)的0

,當(dāng)外加電源頻率等于諧振頻率時(shí)，電路發(fā)生諧振。3.RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)的特點(diǎn)阻抗的頻率特性下頁(yè)上頁(yè)返回幅頻特性相頻特性X()|Z()|XL()XC()R0Z()oZ(jω)頻響曲線(xiàn)()0o–/2/2下頁(yè)上頁(yè)返回Z(jω)頻響曲線(xiàn)表明阻抗特性可分三個(gè)區(qū)域描述：容性區(qū)感性區(qū)電阻性入端阻抗為純電阻，即Z=R，阻抗值|Z|最小。電流I

和電阻電壓UR達(dá)到最大值I0=U/R(U一定)。下頁(yè)上頁(yè)返回(2)LC上的電壓大小相等，相位相反，串聯(lián)總電壓為零，也稱(chēng)電壓諧振，即+++___RjL+_下頁(yè)上頁(yè)返回特性阻抗品質(zhì)因數(shù)當(dāng)

＝w0L=1/(w0C)>>R

時(shí)，Q>>1

UL=UC=QU

>>U(3)諧振時(shí)出現(xiàn)過(guò)電壓下頁(yè)上頁(yè)返回例某收音機(jī)輸入回路L=0.3mH，R=10，為收到中央電臺(tái)560kHz信號(hào)，求：(1)調(diào)諧電容C值；(2)如輸入電壓為1.5V,求諧振電流和此時(shí)的電容電壓有效值。解+_LCRu下頁(yè)上頁(yè)返回(4)諧振時(shí)的功率P=UIcos＝UI＝RI02=U2/R，電源向電路輸送電阻消耗的功率，電阻功率達(dá)最大。

電源不向電路輸送無(wú)功。電感中的無(wú)功與電容中的無(wú)功大小相等，互相補(bǔ)償，彼此進(jìn)行能量交換。+_PQLCR注意下頁(yè)上頁(yè)返回(5)諧振時(shí)的能量關(guān)系設(shè)則電場(chǎng)平均儲(chǔ)能磁場(chǎng)平均儲(chǔ)能電感和電容能量按正弦規(guī)律變化，最大值相等

WLm=WCm。L、C的電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量作周期振蕩性的交換，而不與電源進(jìn)行能量交換。表明

下頁(yè)上頁(yè)返回總能量是不隨時(shí)間變化的常量，且等于最大值。電感、電容儲(chǔ)能的總值與品質(zhì)因數(shù)的關(guān)系：Q是反映諧振回路中電磁振蕩程度的量，Q越大，總能量就越大，維持振蕩所消耗的能量愈小，振蕩程度越劇烈。則振蕩電路的“品質(zhì)”愈好。一般在要求發(fā)生諧振的回路中希望盡可能提高Q值。下頁(yè)上頁(yè)返回例一接收器的電路參數(shù)為：U=10V

w=5103rad/s,調(diào)C使電路中的電流