第21講 彎曲應力習題課

教學基本要求與教學重點：【1】復習彎曲正應力、切應力與各符號的意義【2】會用彎曲正應力與切應力強度條件進行強度分析【重點】【3】掌握提高梁強度的主要措施教學安排：

【1】復習——彎曲正應力與切應力及梁的強度分析【2】課堂練習1、2、3、4、5【課堂練習，教師提示】思考題1、2、3、4【課堂討論，教師歸納】【3】課外作業(yè)第21講彎曲應力習題課

復習：彎曲正應力與切應力河海大學材料力學\材料力學.exe觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系應力的分布規(guī)律建立公式實驗平面假設(shè)單向受力假設(shè)中性層、中性軸中性軸過橫截面形心EIz稱為抗彎剛度

(Flexuralrigidity)復習——純彎曲正應力公式直梁純彎曲時中性層的曲率為上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁包含在中性層內(nèi)的那根軸線將彎成圓弧。彎曲正應力計算公式：中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)(sectionmodulusinbending)，其單位為m3。hbzyodzyo中性軸z不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應力值和最大壓應力值為當梁上有橫向力作用時,橫截面上既又彎矩又有剪力.梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲(Nonuniformbending)復習——橫力彎曲時的正應力與切應力

橫力彎曲時,梁的橫截面上既有正應力又有切應力.切應力使橫截面發(fā)生翹曲,橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應力,純彎曲時所作的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立.一、橫力彎曲(Nonuniformbending)雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異,但進一步的分析表明,工程中常用的梁,純彎曲時的正應力計算公式,可以用于計算橫力彎曲時橫截面上的正應力.等直梁橫力彎曲時橫截面上的正應力公式為二、正應力公式的應用范圍

1、

在彈性范圍內(nèi)3、平面彎曲4、直梁2、具有切應力的梁跨長與截面高度之比要求大于5三、正應力強度條件：梁內(nèi)的最大工作應力不超過材料的許用應力數(shù)學表達式（Mathematicalformula)b矩型截面的寬度yz整個橫截面對中性軸的慣性矩距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩1、矩形截面梁的切應力沿截面高度的變化規(guī)律沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定四、彎曲切應力y1nBmAxyzOyA1B1m1可見,切應力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化.zτmaxy=±h/2(即在橫截面上距中性軸最遠處)τ=0y=0(即在中性軸上各點處),切應力達到最大值式中,A=bh,為矩形截面的面積.z截面靜矩的計算方法A為截面面積為截面的形心坐標A

2、工字形截面梁（工-sectionbeam)假設(shè)求應力的點到中性軸的距離為y.研究方法與矩形截面同,切應力的計算公式亦為HoyBxbzhd

——腹板的厚度【切應力當?shù)貙挾取縊zydxy——距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積A*對中性軸的靜矩.τminozyτmaxτmax(a)腹板上的切應力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律變化.(b)最大切應力也在中性軸上.這也是整個橫截面上的最大切應力.ozyτminτmax式中——中性軸任一邊的半個橫截面面積對中性軸的靜矩.ydzo假設(shè)(a)沿寬度kk’上各點處的切應力均匯交于o’點.(b)各點處切應力沿y方向的分量沿寬度相等.在截面邊緣上各點的切應力的方向與圓周相切.3、圓截面梁(Beamofcircularcrosssection)最大切應力發(fā)生在中性軸上ydzo式中為圓截面的面積4、圓環(huán)形截面梁(Circularpipebeam)圖示為一段薄壁環(huán)形截面梁.環(huán)壁厚度為,環(huán)的平均半徑為r0,由于?r0故可假設(shè)(a)橫截面上切應力的大小沿壁厚無變化.(b)切應力的方向與圓周相切.zyr0δ式中A=2r0為環(huán)形截面的面積橫截面上最大的切應力發(fā)生中性軸上,其值為zyr0δ五、切應力強度條件六、需要校核切應力的幾種特殊情況（1）梁的跨度較短,M較小,而FS較大時,要校核切應力.（2）鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時,要校核切應力.（3）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差,要校核切應力.矩形截面梁受力如圖，試比較最大正應力和最大切應力。已知跨度L,高h。提示同學們：1、求反力；2、作剪力圖；3、作彎矩圖；4、計算最大切應力與最大正應力。課堂練習1矩形截面梁受力如圖，試比較最大正應力和最大切應力。課堂練習1解答課堂練習2【同學們作（1）】例題6問：a＝？課堂練習3：比較a＝0、a＝0.2L時，最大彎矩值。并問a＝？時，最大彎矩值為最?。俊綼的最佳值】課堂練習3：比較a＝0【左圖】、a＝0.2L【中圖】時，最大彎矩值。并問a＝？【右圖】時，最大彎矩值為最?。俊綼的最佳值】aalqlqaalq三人上黑板作課堂練習3——分別作彎矩圖答案：a＝0、a＝0.2L、a＝0.207L時，最大彎矩值。當兩端支座分別向跨中移動a=0.207l

時，最大彎矩值最小。【？】aalq0.025ql2lqql2/80.0214ql2aalq思考題1【討論步驟與教師歸納】例題7思考題2下述薄壁梁上指定截面處的彎曲切應力如何計算？如何分布？

課堂練習4某空心矩形截面梁，分別按圖a及圖b兩種方式由四塊木板膠合而成。試求在橫力彎曲時每一膠合方式下膠合縫上的切應力。梁的橫截面上剪力FS已知。解：圖a所示膠合方式下，由圖可知：bdx(c)圖b所示膠合方式下，由圖可知：b-2dx(d)F一簡易起重設(shè)備如圖所示.起重量(包含電葫蘆自重)F=30kN.跨長l=5m.吊車大梁AB由20a工字鋼制成.其許用彎曲正應力[]=170MPa,許用彎曲切應力[]=100MPa，試校核梁的強度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊車梁可簡化為簡支梁力P在梁中間位置時有最大正應力.(a)正應力強度校核由型鋼表查得20a工字鋼的所以梁的最大正應力為課堂練習5+FSmax5mABFC(b)切應力強度校核在計算最大切應力時,應取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示,因為此時該支座的支反力最大,而梁的最大切應力也就最大.查型鋼表中,20a號工字鋼,有d=7mm據(jù)此校核梁的切應力強度以上兩方面的強度條件都滿足,所以此梁是安全的.對于上題圖中的吊車大梁,現(xiàn)因移動荷載F增加為50kN,故在20a號工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為120mm10mm而長度2.2mm的鋼板加強加強段的橫截面尺寸如圖所示.已知許用彎曲正應力[]=152MPa,許用切應力[]=95MPa.試校核此梁的強度.2.2m200z22012010解加強后的梁是階梯狀變截面梁.所以要校核(3)F移至未加強的梁段在截面變化處的正應力(2)F靠近支座時支座截面上的切應力(1)F位于跨中時跨中截面上的彎曲正應力思考題3（接上題）(1)校核F位于跨中時截面時的彎曲正應力查表得20a工字鋼F62.5kN.m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mRBRA最大彎矩值為跨中截面對中性軸的慣性矩為200z22012010略去了加強板對其自身形心軸的慣性矩.抗彎截面系數(shù)(2)校核突變截面處的正應力,也就是校核未加強段的正應力強度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mR