冪級數托馬斯微積分

一、函數項級數的概念設為定義在區(qū)間I上的函數項級數.對若常數項級數斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;若常數項級數為定義在區(qū)間I上的函數,稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.機動目錄上頁下頁返回結束第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日為級數的和函數,并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數項級數前n項的和,即在收斂域上,函數項級數的和是x的函數稱它機動目錄上頁下頁返回結束第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日例如,等比級數它的收斂域是它的發(fā)散域是或寫作又如,

級數級數發(fā)散;所以級數的收斂域僅為有和函數機動目錄上頁下頁返回結束第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、冪級數及其收斂性

形如的函數項級數稱為冪級數,其中數列下面著重討論為冪級數的系數.的情形,即稱機動目錄上頁下頁返回結束記第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日例如,冪級數即是此種情形.零點附近取較少的項就能較好的逼近，但是在1和-1附近，則需要更多項，才能較好的逼近。第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日又冪級數中心為系數…，將級數寫成如何確定級數的收斂域呢？令所以當即第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日問題1.如何確定冪級數的收斂域？2.和函數有何性質：如四則運算，求導和積分等。冪級數收斂域的確定：非空，一定屬于收斂域。問題1.收斂域的結構：Abel定理第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散*定理(Abel定理)若冪級數則對滿足不等式的一切x冪級數都絕對收斂.反之,若當的一切x,該冪級數也發(fā)散.時該冪級數發(fā)散,則對滿足不等式**證:設收斂,則必有于是存在常數M>0,使阿貝爾目錄上頁下頁返回結束第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日當時,收斂,故原冪級數絕對收斂.也收斂,反之,若當時該冪級數發(fā)散,下面用反證法證之.假設有一點滿足不等式所以若當滿足且使級數收斂,面的證明可知,級數在點故假設不真.的x,原冪級數也發(fā)散.

時冪級數發(fā)散,則對一切則由前也應收斂,與所設矛盾,證畢機動目錄上頁下頁返回結束第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日冪級數在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級數收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數僅在x=0收斂;R=時,冪級數在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散機動目錄上頁下頁返回結束第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日冪級數在(－∞,+∞)收斂;為中心的區(qū)間.的收斂域是以R=0時,冪級數僅在R=時,冪級數在可能收斂也可能發(fā)散.在收斂;絕對收斂，發(fā)散;第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日**V第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日定理2.

若的系數滿足證:1)若≠0,則根據比值審斂法可知:當原級數收斂;當原級數發(fā)散.即時,1)當≠0時,2)當＝0時,3)當＝∞時,即時,則機動目錄上頁下頁返回結束系數模比值法2.收斂半徑的求法第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日2)若則根據比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意x原級數因此因此的收斂半徑為說明:據此定理因此級數的收斂半徑機動目錄上頁下頁返回結束第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日對端點x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數為交錯級數收斂;級數為發(fā)散.故收斂域為例1.求冪級數

機動目錄上頁下頁返回結束第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2.求下列冪級數的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1機動目錄上頁下頁返回結束第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日練習：求冪級數的收斂半徑其中第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日例3.的收斂半徑.解:級數缺少奇次冪項,不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數收斂時級數發(fā)散故收斂半徑為故直接由機動目錄上頁下頁返回結束第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日

第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日例4.的收斂域.解:令級數變?yōu)楫攖=2時,級數為此級數發(fā)散;當t=–2時,級數為此級數條件收斂;因此級數的收斂域為故原級數的收斂域為即機動目錄上頁下頁返回結束第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日**第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日**第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日三、冪級數的運算定理3.

設冪級數及的收斂半徑分別為令則有:其中機動目錄上頁下頁返回結束右端的收斂域可能更大第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日**說明:兩個冪級數相除所得冪級數的收斂半徑可能比原來兩個冪級數的收斂半徑小得多.例如,設它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是機動目錄上頁下頁返回結束第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日例如第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日定理4若冪級數的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:注:逐項積分時,運算前后端點處的斂散性不變.求導后在端點處的斂散性可能發(fā)生變化.機動目錄上頁下頁返回結束在端點處收斂，和函數在該處單側連續(xù)證明略，有興趣的同學看《數學分析》的教程。第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日為什么?第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日例6.

的和函數解:易求出冪級數的收斂半徑為1,x＝±1時級數發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結束第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日例7.

求級數的和函數解:易求出冪級數的收斂半徑為1,及收斂,機動目錄上頁下頁返回結束第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日因此由和函數的連續(xù)性得:而及機動目錄上頁下頁返回結束第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日例8.解:

設則機動目錄上頁下頁返回結束第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日而故機動目錄上頁下頁返回結束第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日解:由例2可知級數的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數.因此得設機動目錄上頁下頁返回結束第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日**第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日內容小結1.求冪級數收斂域的方法1)對標準型冪級數先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數的性質兩個冪級數在公共收斂區(qū)間內可進行加、減與也可通過換元化為標準型再求.乘法運算.機動目錄上頁下頁返回結束第四十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日2)在收斂區(qū)間內冪級數的和函數連續(xù);3)冪級數在收斂區(qū)間內可逐項求導和求積分.思考與練習1.已知處條件收斂,問該級數收斂半徑是多少?答:根據Abel定理可知,級數在收斂,時發(fā)散.