《數(shù)值計(jì)算方法》試題集及答案-2

,差(1),n12,差(1),n12《計(jì)算方法》期中復(fù)試題一、填空題：、已知

f(1)f

，則用普生（辛卜）公式算求得

f(xdx_________

,用點(diǎn)式求

f

。答案：2.367，0.25、

f(1)f(2)f(3)拉格朗插值多項(xiàng)式。

，則過(guò)三點(diǎn)的二次值多項(xiàng)中x的系數(shù)為，答案：-1，

11L()(x2(xx(2)22、近似值

*

關(guān)于真

有(2)位有效字；、設(shè)

f()

可微,方程

()

的牛頓代格式是()；答案

x

n

xn

xx)nn1)n、對(duì)

f()xf[0,1,2,3]f

(0)；、計(jì)算方法主要研究(截?cái)?誤差(舍入誤差；、用二分法求非線性方f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤限為()；已f(1)＝2(2)＝(4)＝5.9則次Newton插值項(xiàng)式x2系數(shù)為(0.15)；f(x11、兩點(diǎn)式高型求公式≈(

133f()dx[f()()]2323

)代數(shù)精為(；12、

為了使算

346y10x((x

3

的乘除次數(shù)盡量地，應(yīng)將該表式改寫為

10t)t)t

1

，為了少舍入誤差應(yīng)將表

,則，nnnkjkkkk4222、區(qū),則，nnnkjkkkk4222、區(qū)2達(dá)式改寫為20011999。13、用二分法方程

f(x

在區(qū)間內(nèi)的根,進(jìn)一步后根的所在區(qū)為0.5，進(jìn)行兩步后根的所區(qū)間為0.5，0.75。14、計(jì)算積分

1

xd

,取位有效數(shù)。用梯形公計(jì)算求的近似值為0.4268，辛卜生式計(jì)算求得近似值，梯形公式的代精度為1，辛卜公式的代數(shù)度為3。15、設(shè)

f(0)f16,(2)l(()xf()

的二次頓插值項(xiàng)式為

(xxx2

。16、求積公式

f(x)d

A

f(x)

的代數(shù)度以(高型)求公式為最高具有()代數(shù)精。17、已知f(1)=1,(3)=5,f辛普生積公式求

51

x)dx

18、設(shè)f(1)=1，f(2)=2，，用點(diǎn)式求

f

。19、果用二法求方程

x3x0

在區(qū)間

[1,2]

內(nèi)的根確到三位小，對(duì)分（）次20、知

()(x

(

(1

是三次條函數(shù)，

=(3)，（3，（21、

l(x),l(x01

l(x)n

是以整點(diǎn)

x,0

n

為節(jié)點(diǎn)插值基函數(shù)則()xl(x)x4l(x)k(1)，(j)，當(dāng)n時(shí)(xx)。次樣條插值數(shù)x在直到____2_____的連續(xù)導(dǎo)。23、改函數(shù)fxx

f)xx。

(

)的形，使計(jì)算結(jié)果較確24、若二分法方程需要對(duì)10次。

f

在區(qū)間內(nèi)的根，要精確到3位小數(shù)則2/

25、設(shè)

3xSx,1

是3次樣條函，則。、若用復(fù)化形公式計(jì)算

e

dx

，要求差不超過(guò)10

，利用項(xiàng)公式估計(jì)至少用個(gè)求積點(diǎn)。、若

f(x)34

，則差

f[2,,,]

。28、數(shù)積分公

11

f(x[f()f()f

)]

的代數(shù)度為。選擇題、三點(diǎn)的高斯求積公式代數(shù)精為B)。A2．．3D．、舍入誤差是(A)產(chǎn)的誤差A(yù).只取有限位數(shù)B．型準(zhǔn)確與用數(shù)值方求得的確值C．觀與測(cè)量D．?dāng)?shù)模型準(zhǔn)值與實(shí)際值、3.141580是π的(B)位有效數(shù)的近似。A6．．4D．、用1+x近似表示ex

所產(chǎn)生誤差是(C)誤差。A模型B．觀C．截?cái)郉．入、用1+3近似表1x所產(chǎn)生的誤是(D)誤。A舍入B．觀C．模型D．?dāng)唷?324．7500是舍入得的近似值，有(位有效數(shù)字。A．6．7D．8、設(shè)ff(0)=3,f(2)=4,拋物插多項(xiàng)式中x的系數(shù)為(A)A．5B．0．5C2D．-2、三點(diǎn)的高斯型求積公的代數(shù)度為(。A．4．5D．2、(D)的3位有效數(shù)是×。(A)0.0023549××－2(C)235.418(D)235.54×10－110、用單迭代求方程f(x)=0的實(shí)根，方程f(x)=0表示成x=(x)，f(x)=0的根是B)。3/

bnC(n)bnC(n)7n.732x(3)(A)y=與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)(B)y=x與y=(x)交點(diǎn)的橫標(biāo)(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)D)y=x與y=(x)的交點(diǎn)11、拉朗日插多項(xiàng)式的余是(B),牛頓值多項(xiàng)的余項(xiàng)是(。(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn1)(x－xn)，(B)

R()f(x)n

f(n(1)!(C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn1)(xxn)，(D)

(x)f()()

f((n

()12牛頓切線法方程f(x)=0選始值x0滿足(A),則的解列{xn}n=0,1,2,…一定收到方程f(x)=0的根。13、為求程x3―x2―在區(qū)間[內(nèi)一個(gè)根把方程寫成下形式，并建立應(yīng)的迭代公，迭代式不收斂的(A)。(A)

x

迭:xx

x(B)

1x,迭代公式xx2(C)

3

迭公式:kk

)

(D)

x32:x

x2kxk14、在頓-柯特斯求積公：

a

f(x)b)(n)ii

f(x)i

中，當(dāng)數(shù)i是負(fù)值時(shí)公式的穩(wěn)定不能保，所以實(shí)際用中，（）時(shí)的牛特斯求積公不使用。（1）（2）（）（），23、有列數(shù)表x1f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定插值多項(xiàng)式次數(shù)是。（1）二2）三次3）四次（4）五次15、取計(jì)算，下列法中哪種最？（）

16(A)

；(B)

(43)

；()

(4)

2

；(D)

(1)

4

。4/

a539533kk；(Bk1ka539533kk；(Bk1k；(D)l(x)xk(k,)i,b(C、已知

x()2(

0a)bx4

是三次條函數(shù)，則的值為()(A)6，；(B)6，；，6；(D)8，8。16、下數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確的插值多項(xiàng)式的最高數(shù)是（）(A)；(B)

１1.5２2.5３。-10.52.55.08.0；；(D

3.511.517、形如

a

f(x)dxAf(x)fx)f)1223

的高斯）型求積公的代數(shù)度為（）(A)；(B)；()；(D)。18、計(jì)的Newton迭代格式為)(A)

xx22xk

k

；(C)

xxk

。19、用二分法方程

4

在區(qū)間

1]

內(nèi)的實(shí)，要求誤差為

3

，則對(duì)次數(shù)至少為)(A；；(C)8；(D)9。設(shè)i是以為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)

9k0

)i

()(A)（）（C（）133、個(gè)節(jié)點(diǎn)的頓-柯特斯積公式至少具有)次數(shù)精度(A)5；；(C)6；(D)3。21、已

()

x2(

0()bx4

是三次條函數(shù)，則的值為()(A)6，；(B)6，；，6；(D)8，8。、已知方程

2x0

在x附近有，下列代格式中在

x20

不收斂的是)(A)

x3x5k1k

(B)

21

x3k1k

(D)

x1

2x3532

。22、由列數(shù)據(jù)145/

時(shí)，f)x,2時(shí)，f)x,2時(shí)，公式然精確立當(dāng)2確定的一插值多項(xiàng)的次數(shù)((A)4；；(C)1；(D)3。23、個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積式的高代數(shù)度為()(A)8；B；；(D)11。三、是非題（認(rèn)為正確的在后面的括弧中打則、

已知觀值

(x，y)(i，)ii

,用小二乘求n次擬合項(xiàng)式(x(xn

的次數(shù)n可以任意。x

、

用1-近似表cosx產(chǎn)生舍入誤。()、

()(x)0()(x)1

表示在點(diǎn)x的二次(拉格朗)插值基數(shù)。(、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)是在計(jì)時(shí)，一級(jí)的值多項(xiàng)式可用前一插值的結(jié)果(1153

、矩陣A=

15

具有嚴(yán)對(duì)角占優(yōu)。()四、計(jì)算題：1、

求AB使求積公

11f(x)dxA[f(fB[f()f()]2

的代數(shù)精度盡高,并求代數(shù)精；利用此公求

I

1

(留四位數(shù))。答案：是精確成立即A12

得

8A,B9求積公為

18f()[(f[f()f()]99221當(dāng)

f)x

x4

時(shí)左=

5

，右=

。6/

所以代精度為3。2、

已知分別用格朗日插值和牛頓值法求f求的近似（保留四位數(shù)

f()

的三次值多項(xiàng)式

(x)

，并答案：

L(2

(x4)((x4)(x5)3)(14)(11)(34)(35)差商表一階均

二階均

三階均

-1-1

-1、已知-2

-1

求

f()

的二次合曲線

p()

，并求

f

的近似。答案：：

-2-1

15

10

-8-1

161634

-8-210

1620417/

|x|x10，故x正規(guī)方組為

a15010a110a34a410、已知

區(qū)間[，0.8]函數(shù)表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二插值求求該近值。

sin

的近似何選擇節(jié)點(diǎn)能使誤最??？并答案：：應(yīng)選三個(gè)點(diǎn)，使差盡量小即應(yīng)使

|

(x|

盡量小最靠近插值的三個(gè)點(diǎn)滿足上述求。即取節(jié)

最好，際計(jì)算結(jié)果

0.596274

，且、構(gòu)造求解程

ex

的根的代格式

xx0,1,2,n

，討論其收性，并將根出來(lái)，nn。答案：：令

f()xf(0)f

.且

f

對(duì)f(x

在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程

f)

變形為則當(dāng)

(0,1)

時(shí)()(2)

，

|

故迭代式收斂。0

，計(jì)算果列表如下n

0.5

8/

且滿足6iffdx且滿足6iffdx(n)(n)32n68f)2xn

x

.所

x

*

0.090525

.10、已下列實(shí)數(shù)據(jù)x

i

1.36

1.95

2.16f(x)

16.844

17.378

18.435試按最二乘原理求次多項(xiàng)擬合以上數(shù)。解：當(dāng)x<1時(shí)，ex

，則，且有一位數(shù).要求近值有5位有效字，只誤差

(f)

.由

1

b)

，只要即可，得所以，因此至需將[等份12、取節(jié)

xxx

,求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的二次值多項(xiàng)式

x)

,并估計(jì)誤。解：

P()2

(((0(0.50)(0.5又

(x

f

max|f3x

故截?cái)嗖?/p>

R(2

(x)|xx|3!

。14、給方程

f(x)x分析該方程在幾個(gè)；用迭代法求這些根精確到5位有效數(shù)字說(shuō)明所用的迭格式是斂的。解：）將方程

(x

（1）9/

f(x)f(f(x)f()，改寫為

（）作函數(shù)，的圖形略）知2）有一根

x*

。將方程（2改寫為

k構(gòu)造迭格式

(0,1,2,計(jì)算結(jié)列表如下：k361.22311.29431.27401.27961.27811.27851.27841.2784x

k

966

(x

當(dāng)

x

時(shí)，

)(2),(1)]

，且所以迭格式

xk

(x)(k

)

對(duì)任意

x

均收斂15、用頓切線)法求的近似值。取x=1.7,計(jì)算三，保留位小。解：3是

f()x

0

的正根

f

，牛頓代公式為

2x

，即

x

x2x

(n0,1,2,

)取x列表下：

16、已f，f，f，求拉朗日插值多式似值，五位小數(shù)。

L()

及f(1，5)的近解：

L()

(x((x(2)(21)(2、n=3,用復(fù)合梯形公式求

10

e

的近似（取四位?。?并求誤估計(jì)。/

x33xATy179980.70.0501025nnTx33xATy179980.70.0501025nnT32x，，解：

e

12

)]1.7342fx),f

x

，

0

時(shí)，

|f

至少有位有效數(shù)字（8分）用最小乘法求如的經(jīng)驗(yàn)式擬以下數(shù)：1919.0

2532.3

3049.0

3873.3解：

{1,x2}解方程

ATACTy其中

ATA

40.9255577C0.9255577，解得：所以21分）用的復(fù)化梯公式（或復(fù)Simpson公式）算

10

dx

時(shí)，試用余估計(jì)其誤差用的復(fù)化梯公式（復(fù)化Simpson公式計(jì)算出該積分近似值。解：

b1[f]hf1212822分）方程

x

3

xx

附近有，把方程寫三種不的等價(jià)形式（）

對(duì)應(yīng)迭格式

xn

；(2)

x

1x

對(duì)應(yīng)迭格式x1n

xn

）x對(duì)迭代格

xx

斷迭代式在

0的收斂，選一種收格式計(jì)

附近的，精確到小點(diǎn)后第位。1(解（1，

，故收；）

2x

11

1x

，，故收斂；），

，故發(fā)。選擇（：

0

，

1.35721.33091

，

1.32593

，

4

，x5625、數(shù)積分公形如/

110101akk110101akk0

xf(x)(x(0)Cf

Df

試確定數(shù)

,B,CD

使公式數(shù)精度量高（2）并估計(jì)差。

f(x)C

Rx))dx()，推導(dǎo)項(xiàng)公式，解：將

f()x

3

分布代公式得：

3711,20203020構(gòu)造Hermite值多項(xiàng)式

H(x)3

滿足

H()f()3iiH)f)i3ii

其中0,x0()()則有：3

，

f()()3

f

(4)

)

x2(

2（分）已知數(shù)積分公為：

fx)[f(0)f()]

[

(0)f

(h)]

，試確積分公式中參數(shù)，使其代數(shù)確度盡量高并指出代數(shù)精確度次數(shù)。解：

f()

顯然精成立；f(x)x

時(shí)，

[0]2

；f(x

時(shí)，

h31x[02]h]2

；f()

h時(shí)，0

h4hx[03]2h412

2

]

；f(x

時(shí)，0

5hh5x44]h[0h3]6

；所以，代數(shù)精確度3。28分）已求

a(

的迭代式為：證明：一切

k,x

，且序

是單調(diào)遞減的從而迭過(guò)程收斂。證明：

x

k

()a0,1,22kk故對(duì)一

ka

。又

x11k(1)(1x22kk

所以

kk

，即序

k是單調(diào)遞有下界從而迭過(guò)程收斂。/

29分）數(shù)求積公

f(x)dx[ff(2)]

是否為值型求積公？為什么？代數(shù)精度是少？解是。因?yàn)?/p>

f(x

在基點(diǎn)12的插值項(xiàng)式為

()

xff(2)

3pdx[f(1)(2)]2

。其代精度為130分)出求方明其收性。

x

在區(qū)間0,1]根的收斂迭代公，并證(6

，n=0,1,2,

xsin4

∴對(duì)任的初值

,代公式都收。31以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用值法計(jì)115的近似，并利余項(xiàng)估誤差。用Newton插值方：差分：101000.0476191210110.043478141342

-0.0000941136115

10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532分用復(fù)化