流體動力學(xué)基礎(chǔ)

4.1理想流體運(yùn)動微分方程

4流體動力學(xué)基礎(chǔ)

在流動的流體中取出一邊長分別為dx、dy、dz，平均密度為ρ的微元平行六面體作為研究對象。由于是理想流體，所以作用在微元六面體上的外力只有質(zhì)量力和垂直于表面的壓力，而沒有粘性力。微元六面體的形心A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，z)，速度為u，速度分量分別為ux、uy、uz，壓力為p。作用在微元六面體上的單位質(zhì)量力的分量分別為X、Y和Z。則按牛頓第二定律ΣF=ma，可以得到x軸方向的運(yùn)動微分方程:同樣可得到y(tǒng)軸方向和z軸方向上的運(yùn)動微分方程。于是，理想流體的運(yùn)動微分方程（1755年歐拉提出）為：整理后，得4.2.1理想流體運(yùn)動微分方程的伯努利積分

4.2元流的伯努利方程

將理想流體運(yùn)動微分方程的各式分別乘以dx、dy、dz，然后相加，得引入限定條件：1）作用在流體上的質(zhì)量力只有重力X=Y=0Z=-gXdx+Ydy+Zdz=-gdz2）不可壓縮流體，恒定流ρ=常數(shù)p=p(x,y,z)則3）恒定流，流線與跡線重合dx=uxdt,dy=uydt,dz=uzdt則將三個(gè)限定條件代入前式，積分得：或也可以寫成將流體重度γ=ρg代入上式，得上述積分稱為伯努利積分，所得結(jié)果稱為伯努利方程，以紀(jì)念1738年瑞士物理學(xué)家伯努利根據(jù)動能原理提出的與上述結(jié)果相同的公式。4.2.2理想流體元流伯努利方程的物理意義和幾何意義

物理意義幾何意義Z

單位重量流體的位能（比位能）位置水頭單位重量流體的壓強(qiáng)勢能（比壓能）壓強(qiáng)水頭單位重量流體的動能（比動能）速度水頭單位重量流體的總勢能（比勢能）測壓管水頭單位重量流體的總能量（總比能）總水頭總水頭線測壓管水頭線位置水頭線1、水管直徑d=50mm，末端閥門關(guān)閉時(shí)，壓力表讀值為PM1=21kPa，閥門打開后讀值為PM2=5.5kPa，不計(jì)水頭損失，求通過閥門的流量。2、油在管道中流動，直徑dA=0.15m，dB=0.1m，VA=2m/s，水頭損失不計(jì)，求B點(diǎn)處測壓管高度hC。3、水在變直徑豎管中流動，已知粗管直徑d1=300mm，流速V1=6m/s。裝有壓力表的兩斷面相距h=3m，為使壓力表讀值相同，試求細(xì)管直徑（水頭損失不計(jì)）。4、變直徑管段AB，dA=0.2m，dB=0.4m，高差h=1.5m測得PA=30kPa，PB=40kPa，Ｂ點(diǎn)斷面平均流速VB=1.5m/s，試求兩點(diǎn)間的水頭損失hAB。5、管道流動，管徑d=150mm、噴嘴出口直徑dD=50mm，各點(diǎn)高差h1=2m、h2=4m、h3=3m，不計(jì)水頭損失，求A、B、C、D壓強(qiáng)。4.2.3實(shí)際流體元流的伯努利方程

式中：——單位重量流體的能量（水頭）損失。水力坡度：4.3.1總流的伯努利方程

4.3實(shí)際流體總流的伯努利方程1）漸變流及其性質(zhì)均勻流：流線平行非均勻流漸變流：流線近于平行急變流均勻流過流斷面的壓強(qiáng)分布——服從流體靜力學(xué)規(guī)律例2）總流的伯努利方程元流的伯努利方程兩邊同乘以ρgdQ，積分（1）勢能積分（2）動能積分——?jiǎng)幽苄拚禂?shù)層流α=2

紊流α=1.05~1.1≈1（3）水頭損失積分——總流的伯努利方程總流的伯努利方程與元流的伯努利方程關(guān)系：（1）z1、z2——總流過流斷面上同一流線上的兩個(gè)計(jì)算點(diǎn)相對于基準(zhǔn)面的高程；（2）p1、p2——對應(yīng)z1、z2點(diǎn)的壓強(qiáng)（同為絕對壓強(qiáng)或同為相對壓強(qiáng)）；（3）v1、v2——斷面的平均流速。4.3.2總流伯努利方程的應(yīng)用條件和應(yīng)用方法應(yīng)用條件:恒定流、質(zhì)量力只有重力、不可壓縮流體、過流斷面為均勻流（漸變流）、兩斷面之間無分流或匯流。應(yīng)用步驟和方法:分析流動選取基準(zhǔn)面：一般選在較低斷面形心。選取計(jì)算斷面：應(yīng)選在漸變流處，盡量使已知條件最多，如自由液面、管道出口等。選擇計(jì)算點(diǎn)：有壓管流一般選在管道中心，明渠自由流一般選在自由液面上。方程兩邊壓強(qiáng)基準(zhǔn)要相同，一般用相對壓強(qiáng)。全面分析兩計(jì)算斷面之間的能量損失。例用直徑d=100mm的水管從水箱引水，水管水面與管道出口斷面中心高差H=4m，水位保持恒定，水頭損失hw=3m水柱，試求水管流量，并作出水頭線。解：以0-0為基準(zhǔn)面，列1-1、2-2斷面的伯努利方程作水頭線例已知離心泵抽水量Q=5.56L/s，泵的安裝高度Hs=5m，吸水管直徑d=100mm，吸水管的水頭損失hw=0.25m，試求水泵進(jìn)口斷面2-2的真空度。解：選基準(zhǔn)面0-0與水池液面1-1重合，列1-1、2-2斷面的伯努利方程式中：Z1=0，Z2=Hs=5m，p1=0，v1=0，v2=Q/A=0.708m/s，代入0=5+p2+0.7082/(2×9.807)+0.25p2=-51740Pa即p2v=51740Pa4.3.3有能量輸入或輸出的伯努利方程

HiHo4.3.4兩斷面間有合流或分流的伯努利方程

1）用絕對壓強(qiáng)計(jì)算用壓強(qiáng)單位（Pa）表示4.3.5恒定氣體總流的伯努利方程2）用相對壓強(qiáng)計(jì)算——用相對壓強(qiáng)計(jì)算的氣體伯努利方程

p——靜壓ρv2/2——?jiǎng)訅?ρa(bǔ)-ρ)g(z2-z1)——位壓注意：z2-z1——下游斷面高度減上游斷面高度（±）；ρa(bǔ)-ρ——外界大氣密度減管內(nèi)氣體密度（±）；z2=z1或ρa(bǔ)=ρ——位壓為零3）壓力線靜壓+動壓=全壓靜壓+動壓+位壓=總壓例：氣體由壓強(qiáng)為12mmH2O的靜壓箱A經(jīng)過直徑為10cm、長為100m的管子流出大氣中，高差為40m，沿管子均勻作用的壓強(qiáng)損失為pw=9ρv2/2，大氣密度ρa(bǔ)=1.2kg/m3，（a）當(dāng)管內(nèi)氣體為與大氣溫度相同的空氣時(shí)；（b）當(dāng)管內(nèi)為ρ=0.8kg/m3燃?xì)鈺r(shí)，分別求管中流量，作出壓力線，標(biāo)出管中點(diǎn)B的壓強(qiáng)。（a）管內(nèi)為空氣時(shí)，取A、C斷面列能量方程解：作壓力線（b）管內(nèi)為燃?xì)鈺r(shí)，取A、C斷面列能量方程作壓力線例：空氣由爐口a流入，通過燃燒，經(jīng)b、c、d后流出煙囪，空氣ρa(bǔ)=1.2kg/m3，煙氣ρ=0.6kg/m3，損失壓強(qiáng)pw=29ρv2/2，求出口流速，作出壓力線，并標(biāo)出c處的各種壓強(qiáng)。解：取a、d斷面列能量方程作壓力線c點(diǎn)：總壓勢壓靜壓全壓pcc2pcc1pc3c1pc3c2↑↑↓↓4.4總流的動量方程和動量矩方程

在許多工程實(shí)際問題中，可以不必考慮流體內(nèi)部的詳細(xì)流動過程，而只需求解流體邊界上流體與固體的相互作用，這時(shí)常常應(yīng)用動量定理直接求解顯得十分方便。例如求彎管中流動的流體對彎管的作用力，以及計(jì)算射流沖擊力等。由于不需要了解流體內(nèi)部的流動型式，所以不論對理想流體還是實(shí)際流體，可壓縮流體還是不可壓縮流體，動量定理都能適用。4.4.1總流的動量方程

根據(jù)動量定理，流體系統(tǒng)動量的時(shí)間變化率等于作用在系統(tǒng)上的外力矢量和，即設(shè)不可壓縮流體在管中作定常流動，如圖所示。取有效截面1-1和2-2之間的流段作為研究對象，經(jīng)過dt時(shí)間后從位置1-2流到1’-2’。與此同時(shí)，流段的動量發(fā)生了變化，其變化等于流段在1’-2’和1-2位置時(shí)的動量之差。由于定常流動中流管內(nèi)各空間點(diǎn)的流速不隨時(shí)間變化，因此1’-2這部分流體（圖中陰影部分）的動量沒有改變。于是在dt時(shí)間內(nèi)流段的動量變化就等于2-2’段的動量和1-1’段的動量之差。由于按平均流速計(jì)算得到的動量變化量和以實(shí)際流速計(jì)算的動量變化量是不同的，故引入一個(gè)動量修正系數(shù)β加以修正。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測定值約為1.02～1.05，近似于l，所以為計(jì)算方便，在工程計(jì)算中通常取β＝1。于是上式可改寫成即此式為不可壓縮流體定常流動的動量方程。寫成分量形式為例水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩端與等直徑管相連接處的斷面1-1上壓力表讀數(shù)p1=17.6×104Pa，管中流量Q=0.1m3/s，若直徑d1=300㎜，d2=200㎜，轉(zhuǎn)角θ=60°，求水對彎管作用力F的大小。解水流經(jīng)彎管，動量發(fā)生變化，必然產(chǎn)生作用力F。而F與管壁對水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，將R分解成Rx和Ry兩個(gè)分力。取管道進(jìn)、出兩個(gè)截面和管內(nèi)壁為控制面，坐標(biāo)按圖示方向設(shè)置。根據(jù)連續(xù)性方程可求得：m/sm/s列1-1、2-2斷面的伯努利方程：得Pa進(jìn)、出口控制面上的總壓力：KN壁面對控制體內(nèi)水的反力Rx、Ry方向假定如圖所示。寫出動量方程沿x軸方向沿y軸方向管壁對水的反作用力水流對彎管的作用力F與R大小相等，方向相反。例水平分岔管路，干管直徑d1=600mm，支管直徑d2=d3=400mm，分岔角α=30°。分岔前斷面的壓力表讀數(shù)pM=70KN/M2，干管流量Q=0.6m3/s，不計(jì)水頭損失。求水流對分岔管的作用力。解作用在控制體上的力包括：過流斷面上的壓力P1、P2、P3；分岔管對水流的作用力列ox方向的動量方程其中列1-1、2-2斷面的伯努利方程：將各量代入動量方程，得水流對分岔管的作用力與大小相同，方向相反，即沿ox軸正方向。例水平方向的水流射流，流量Q1，出口流速v1，在大氣中沖擊在斜置的光滑平板上，不計(jì)水流在平板上的阻力，求沿平板的流量Q2、Q3和射流對平板的作用力。解大氣中射流，各點(diǎn)壓強(qiáng)均為大氣壓，因?yàn)椴挥?jì)阻力，平板對水流的作用力與平板垂直。分別列1-1與2-2及1-1與3-3斷面伯努利方程，得v1=v2=v3列ox方向動量方程，作用在控制體內(nèi)總流上的外力為零，即ρQ2v2+(-ρQ3v3)-ρQ1v1cosθ=0由連續(xù)性方程Q2+Q3=Q1聯(lián)立求解，得Q2-Q3=Q1cosθ列oy方向動量方程射流對平板的作用力與大小相等，方向相反，即指向平板。4.4.2總流的動量矩方程

動量矩定理：物體的動量對某軸的動量矩對時(shí)間的變化率，等于作用于此物體上所有外力對同一軸的力矩之和。利用恒定元流的動量方程對某固定點(diǎn)取矩，得恒定元流的動量矩方程。單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)