第三章第六節(jié)邊際與彈性

第六節(jié)邊際與彈性案例研究案例1哪家公司更精明：從杭州開往南京的長途車即將出發(fā).無論哪個公司的車，票價均為75元.1個匆匆趕來的乘客見一家國營公司的車上尚有空位，要求以50元上車，被拒絕了.他又找到一家也有空位的私人公司的車，售票員二話沒說，收了50元允許他上車了.哪家公司的行為更理性呢？分析邊際分析法.“邊際”——“增加的”“邊際量”——“增量”自變量的增量為1單位時，因變量的增量就是邊際量.例：生產(chǎn)要素(自變量)增加一單位，產(chǎn)量(因變量)的增量為2個單位，這因變量改變的2個單位就是邊際產(chǎn)量.邊際分析法就是分析自變量變動1單位時，因變量會變動多少的方法.在本案例中，當我們考慮是否讓這名乘客以50元的票價上車時，實際上我們應(yīng)該考慮的是邊際成本和邊際收益這兩個概念.邊際成本是增加1名乘客(自變量)所增加的成本(因變量).在我們這個例子中，增加這1名乘客，所需磨損的汽車、汽油費、工作人員工資和過路費等都無需增加，對汽車來說多拉1個人少拉1個人都一樣，所增加的成本僅僅是發(fā)給這個乘客的食物和飲料，假設(shè)這些東西值10元，邊際成本也就是10元.邊際收益是增加1名乘客(自變量)所增加的收益(因變量).在這個例子中，增加這一名乘客增加收益50元，邊際收益就是50元.因為邊際收益大于邊際成本，所以讓這名乘客上車是合適的.案例2哪種產(chǎn)品對價格更有彈性：在日常生活中，我們發(fā)現(xiàn)生活必需品和奢侈品對價格變化的靈敏度是不同的.生活必需品因為是日常所需的，即使價格上升需求量也不會減少多少.例如，你一頓吃1個饅頭，過去2角錢你吃1個，后來3角錢你吃1個，現(xiàn)在4角錢你還是吃1個；相反，如果饅頭從4角下降到2角，你也不會一頓從吃1個增加到吃兩個.看病也一樣，當看病的醫(yī)療、檢測、藥品等價格上升時，盡管人們會比平時減少一些看病，但不會大幅度地減少看病的次數(shù).但水果則不同，不是必需品，便宜的時候可以多吃，隨著季節(jié)的變化，價格上升了也可以適當少吃一點，因此水果是對價格的變化比較敏感的東西.商品對價格的靈敏度叫做該商品的彈性.因此，水果比饅頭對價格更有彈性.抽象歸納邊際分析問：怎樣用數(shù)學方法來描述邊際呢？分析

設(shè)函數(shù)

可導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有因此，當

很小時，有

于是特別地，當

時，有

這就是說，當自變量增加1單位時，函數(shù)的增量近似地等于其導(dǎo)數(shù)值.定義

我們把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

稱為邊際

函數(shù).例

函數(shù)

在點

處的邊際函數(shù)值為它表示當

時，

x改變1個單位，y改變12個單位．

1．邊際成本總成本函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱為產(chǎn)量為x單位時的邊際成本．

邊際成本

表示當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)1個單

位產(chǎn)品時總成本將改變

個單位．

2．邊際需求需求函數(shù)

（p為價格）的導(dǎo)數(shù)

稱

為價格為p單位時的邊際需求．邊際需求

表示當價格為p時，價格再上漲1

個單位,需求量將改變

個單位．

3．邊際收益總收益函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱為產(chǎn)量為x單位時的邊際收益．邊際收益

表示當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)1個單

位產(chǎn)品，總收益將改變

個單位．

4．邊際利潤總利潤函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱

為產(chǎn)量為x單位時的邊際利潤．邊際利潤

表示當產(chǎn)量為x時，再生產(chǎn)1個單位

產(chǎn)品，總利潤將改變

單位．

例1

某公司某產(chǎn)品的總利潤Ｌ（元）與日產(chǎn)量x(噸)

的關(guān)系為

試求日產(chǎn)量分別為20噸、

25噸及30噸時的邊際利潤．解

因為

所以，所求邊際利潤為分別為

（元／噸），（元／噸），（元／噸）.例2

設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本為總收益為

試求：

（1）邊際成本、邊際收益和邊際利潤.（2）當產(chǎn)量為600及700個單位時的邊際利潤,并

說明其經(jīng)濟意義.

（3）當邊際成本與邊際收益具有何種關(guān)系時，利潤

最大？

解

（1）（2）

思考：它們的經(jīng)濟意義是什么？（3）令

這時，有即當邊際成本等于邊際收益時利潤最大.問：本例說明了什么問題？結(jié)論

當邊際收益大于邊際成本時，應(yīng)該

增加

行動；

當邊際收益小于邊際成本時，應(yīng)該

減少

行動；當邊際成

本

等于

邊際收益時，利潤達到最大.即

最大化原則.函數(shù)的彈性問：怎樣用數(shù)學方法來描述彈性呢？分析

絕對變化率

問：用絕對變化率能否描述商品對價格的靈敏度的？例

商品A的單價為10元，漲價1元；商品B的

單價為1000元，也漲價1元.雖然兩種商品的單價的絕對改變量相同，但是兩種商品漲價的百分比相差很大.商品A為

商品B為

A是B的100倍.因此，彈性必須用相對變化率來描述.定義

設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)

在點x處的

增量為

自變量的增量為

則比

值

分別稱為在點x處函數(shù)y的相對改變量及自變量x的相對改變量.兩個相對改變量之

比的極限表示在點x處函數(shù)y的相對變化率，稱為函數(shù)

在點x處的彈性，記作

即

彈性可解釋為：當自變量變化1%時，函數(shù)變化的百

分數(shù)為注意

彈性研究的是相對變化率．因此，彈性沒有單位．例3

求函數(shù)的彈性及解因為所以1．成本彈性思考設(shè)總成本函數(shù)為（x為產(chǎn)量），則成本彈性為它表示在產(chǎn)量為x的水平上，當產(chǎn)量增加1%時，總成本Ｃ變化的百分數(shù)．2．需求彈性設(shè)需求函數(shù)為（p為價格），則需求彈性為它表示在價格為p的水平上，當價格改變1%時，需求量Ｑ變化的百分數(shù)．⑵=1，則稱該商品的需求具有單位彈性，⑶＜1，則稱該商品的需求缺乏彈性.⑴＞1，則稱該商品的需求富有彈性，若函數(shù)為需求函數(shù)，則需求彈性為若商品的需求彈性滿足：3．收益彈性思考設(shè)總收益函數(shù)為（x為產(chǎn)量），則收益彈性為它表示在產(chǎn)量為x的水平上，當產(chǎn)量增加1%時，總收益R變化的百分數(shù)．例4某商品的需求函數(shù)為求⑴需求價格彈性函數(shù)，⑵當=5時的需求價格彈性并說明其經(jīng)濟意義，⑶當=10時的需求價格彈性并說明其經(jīng)濟意義，⑷當=15時的需求價格彈性并說明其經(jīng)濟意義.解

⑴按彈性定義：由于＜1，所以當時，該商品的需求缺乏彈性，此時價格上漲1%，需求量下降%.

⑶由于所以當該商品具有單位彈性，此時價格上漲1%，將引起需求量下降1%.

⑷

由于所以當