變量分布特征的描述

第三章變量分布特征的描述

第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述第三節(jié)分布形狀的描述一、集中趨勢(shì)與平均指標(biāo)集中趨勢(shì)又稱趨中性，是指變量分布以某一數(shù)值為中心和傾向。作為中心的數(shù)值就稱為中心值，它反映變量分布中心點(diǎn)的位置所在。第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述對(duì)集中趨勢(shì)的描述，就是要尋找變量分布的中心值或代表值，以反映某變量數(shù)值的一般水平。變量分布的集中趨勢(shì)要用平均指標(biāo)來(lái)反映。平均指標(biāo)是將變量的各變量值差異抽象化，以反映變量值一般水平或平均水平的指標(biāo)，即反映變量分布中心或代表值的指標(biāo)。（一）概述平均指標(biāo)的具體表現(xiàn)稱為平均數(shù)，平均數(shù)計(jì)算方法不同可以分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)。數(shù)值平均數(shù)主要有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)；位置平均數(shù)主要有眾數(shù)和中位數(shù)。第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)簡(jiǎn)單平均數(shù)：未分組資料加權(quán)平均數(shù)：分組資料數(shù)據(jù)集中區(qū)變量x平均指標(biāo)在統(tǒng)計(jì)研究中應(yīng)用很廣，其作用主要表現(xiàn)為五個(gè)方面：（詳見(jiàn)教材P59）（二）作用第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述（一）算術(shù)平均數(shù)1、基本公式2、算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)的區(qū)別

1）總體范圍不一致：算術(shù)平均數(shù)分子分母總體范圍一致，兩者存在從屬關(guān)系；而強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)不存在標(biāo)志值與各單位的對(duì)應(yīng)問(wèn)題；

2）強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)分子分母可互換，算術(shù)平均數(shù)則不可。以后各種計(jì)算公式都是在基本公式上變形而得出的。平均指標(biāo)總體標(biāo)志總量總體單位總量＝二、數(shù)值平均數(shù)第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述3、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：應(yīng)用于未分組資料例4、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：應(yīng)用于分組資料權(quán)對(duì)于組距數(shù)列，變量值應(yīng)采用組中值。第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述權(quán)數(shù)：次數(shù)、頻數(shù)等，絕對(duì)數(shù)表示。權(quán)重：比重、比率、頻率等，用相對(duì)數(shù)表示。例6、算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1)可以利用算術(shù)平均數(shù)來(lái)推算總體標(biāo)志總量；2)在數(shù)理上具有無(wú)偏性現(xiàn)有效性；3)具有良好的代數(shù)運(yùn)算功能。缺點(diǎn)：1）易受極端值影響，代表性降低，并且受極大值影響大于受極小值影響。2）組中值具有假定性，計(jì)算結(jié)果只是一個(gè)近似值，尤其是開(kāi)口組，平均數(shù)準(zhǔn)確性會(huì)更差。5、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)——P62第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述或1、簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：（應(yīng)用于未分組資料）2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：（應(yīng)用于分組資料）（二）調(diào)和平均數(shù)（H）例第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述3、算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別1）凡是掌握被平均指標(biāo)的分母資料時(shí)，用算術(shù)平均法。2）凡是掌握被平均指標(biāo)的分子資料時(shí)，用調(diào)和平均法?，F(xiàn)實(shí)中，有時(shí)由于掌握資料的限制，往往用調(diào)和平均數(shù)作為算術(shù)平均數(shù)的變形來(lái)使用，此時(shí)，二者計(jì)算的結(jié)果是相等的。式中，m=xf,f=m/x調(diào)和平均數(shù)運(yùn)用于計(jì)算相對(duì)數(shù)或平均數(shù)的平均數(shù)：例第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述4、調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn)1）如果數(shù)列中存在等于0的標(biāo)志值，則無(wú)法計(jì)算；2）會(huì)受到極端值的影響，受極小值的影響大于受極大值的影響；但影響程度小于算術(shù)平均值。思考題第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述（三）幾何平均數(shù)（G）適用于變量值的連乘積等于總比率或總速度的變量數(shù)列。1、簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)：（應(yīng)用于未分組資料）2、加權(quán)幾何平均數(shù)：（應(yīng)用于分組資料）例第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述3、幾何平均數(shù)的特點(diǎn)幾何平均數(shù)的應(yīng)用范圍比較窄。1）數(shù)列中存在0值或負(fù)值，無(wú)法計(jì)算；2）受極端值的影響較算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均小，較穩(wěn)健。3）適用于反映總體標(biāo)志總量是總體各單位標(biāo)志值連乘積的現(xiàn)象。第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述（一）眾數(shù)1、概念眾數(shù)是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。出現(xiàn)兩個(gè)以上次數(shù)最多的標(biāo)志值，稱為復(fù)眾數(shù)。2、存在條件總體中單位數(shù)較多，各標(biāo)志的次數(shù)分配有明顯的集中趨勢(shì)。3、計(jì)算方式分為單項(xiàng)數(shù)列和組距數(shù)列，單項(xiàng)數(shù)列可直接觀察出眾數(shù)（），組距數(shù)列需要采用插值法計(jì)算出眾數(shù)。例第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述三、位置平均數(shù)組距數(shù)列計(jì)算步驟：1）觀察：眾數(shù)組2）運(yùn)用插值法推算眾數(shù)的近似值上限公式：下限公式：兩個(gè)公式等同，建議采用下限公式。4、眾數(shù)的特點(diǎn)1）不受極端值和開(kāi)口組的影響，增強(qiáng)了代表性；2）分布數(shù)列沒(méi)有明顯的集中趨勢(shì)以及對(duì)于異距數(shù)列時(shí)，不容易確定眾數(shù)。例第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述（二）中位數(shù)1、概念總體中各標(biāo)志值排序后，處于中間位置的標(biāo)志值。2、計(jì)算方式（未分組資料、單項(xiàng)數(shù)列和組距數(shù)列）1）未分組資料A、排序B、計(jì)算中位數(shù)位置C、確定中位數(shù)例第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述2）單項(xiàng)數(shù)列A、計(jì)算中位數(shù)累計(jì)位置：B、計(jì)算向上累計(jì)次數(shù)或向下累計(jì)次數(shù)（推薦使用向上累計(jì)）C、累計(jì)次數(shù)剛剛大于中位數(shù)累計(jì)次數(shù)的組就是中位數(shù)。3）組距數(shù)列A、計(jì)算中位數(shù)累計(jì)位置：B、計(jì)算向上累計(jì)次數(shù)或向下累計(jì)次數(shù)（推薦使用向上累計(jì)）C、累計(jì)次數(shù)剛剛大于中位數(shù)累計(jì)次數(shù)的組就是中位數(shù)組。D、插值法計(jì)算中位數(shù)近似值，公式：例第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述下限公式：上限公式：一般采用升序，兩個(gè)公式計(jì)算結(jié)果一致，建議使用下限公式。例第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述3、中位數(shù)特點(diǎn)1）不受極端值和開(kāi)口組影響，具有穩(wěn)健性；2）與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和在所有平均指標(biāo)中為最??；3）運(yùn)用于不具有數(shù)字特點(diǎn)或不能用數(shù)字測(cè)定的現(xiàn)象。第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述（三）眾數(shù)、中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系XfXf對(duì)稱分布右偏分布左偏分布當(dāng)偏斜不大時(shí)：Xf第一節(jié)集中趨勢(shì)的描述一、離中趨勢(shì)和離散指標(biāo)1、概念：離中趨勢(shì)就是變量分布中各變量值背離中心值的傾向。如果說(shuō)集中趨勢(shì)是總體或變量分布同質(zhì)性的體現(xiàn)，那么離中趨勢(shì)就是總體或變量分布變異性的體現(xiàn)。對(duì)離中趨勢(shì)的描述，就是要反映變量分布中各變量值遠(yuǎn)離中心值或代表值的狀況，以更客觀地反映變量分布的特征。變量分布的離中趨勢(shì)要用離散指標(biāo)來(lái)反映。離散指標(biāo)就是反映變量值變動(dòng)范圍和差異程度的指標(biāo)，即反映變量分布中各變量值遠(yuǎn)離中心值或代表值程度的指標(biāo)，也稱為變異指標(biāo)或標(biāo)志變動(dòng)度指標(biāo)。第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述常用的離散指標(biāo)主要有：全距（也稱極差）、四分位差、異眾比率、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。2、作用：利用離散指標(biāo)，不僅可以看出變量分布的離中程度。而且與平均指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用，可以更正確地認(rèn)識(shí)總體現(xiàn)象或變量分布的數(shù)量特征，對(duì)于科學(xué)管理與決策具有重要的意義。具體作用表現(xiàn)為以下三點(diǎn)：（1）可以用來(lái)衡量和比較平均數(shù)的代表性；（2）可以用來(lái)反映各種現(xiàn)象活動(dòng)過(guò)程的均衡性、節(jié)奏性或穩(wěn)定性；（3）為統(tǒng)計(jì)推斷提供依據(jù)。二、離散指標(biāo)的測(cè)度（1）概念：（2）特點(diǎn)又稱“極差”，它是變量的最大值和最小值之差，表明變量的最大變動(dòng)范圍或絕對(duì)幅度，通常用R表示，即計(jì)算方便，易理解；只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，不反映中間數(shù)值的差異情況，故不能全面反映總體各單位標(biāo)志的差異程度。由于全距只隨兩個(gè)極端值的變化而變化，缺乏穩(wěn)定性，有時(shí)我們可以將變量的最高5%（或10%）數(shù)值的平均數(shù)與最低5%（或10%）數(shù)值的平均數(shù)之差作為全距。1、全距第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述2、四分位差將一個(gè)分布數(shù)列分為四等分，形成三個(gè)分割點(diǎn)（QL,QM,QU）,這三個(gè)分割點(diǎn)的數(shù)值就稱為四分位數(shù)。其中QU與QL之差就是四分位差，通常用Qd表示，即QLQUQMMinMax第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述四分位差通常與中位數(shù)相結(jié)合，用以表明變量分布中間50%數(shù)值的離散程度，其值越?。ù螅?，表明變量中間數(shù)值的分布越集中（越離散），中位數(shù)的代表性越好（越差）。第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述3、異眾比率異眾比率是分布數(shù)列中非眾數(shù)組的頻數(shù)與總頻數(shù)之比，通常用Vr將來(lái)表示，即異眾比率通常與眾數(shù)相結(jié)合，用以表明眾數(shù)代表性的高低。異眾比率越大（越?。f(shuō)明數(shù)列的分布越分散（越集中），眾數(shù)的代表性就越差（越好）。4、平均差

概念特點(diǎn)：平均差是變量的各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，通常用A.D.表示，即根據(jù)全部變量值計(jì)算，較前述指標(biāo)的代表性更大；由于人為采用絕對(duì)值消除離差，不適合代數(shù)運(yùn)算規(guī)則，故其應(yīng)用受到限制。未分組資料分組資料例第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述5、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

（1）概念：標(biāo)準(zhǔn)差是各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，又稱“均方差”，以s表示。標(biāo)準(zhǔn)差的平方即為方差，用s2表示。未分組資料分組資料

（2）計(jì)算方法：例第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述（3）方差和標(biāo)準(zhǔn)差的三個(gè)性質(zhì)

1）常數(shù)的方差為零。

設(shè)常數(shù)為a，常數(shù)的方差為，則

3）標(biāo)準(zhǔn)差s是計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化值的依據(jù)。

假設(shè)變量的標(biāo)準(zhǔn)化統(tǒng)計(jì)量用Z表示，標(biāo)準(zhǔn)化值用Zi表示，則

6、離散系數(shù)

1）意義：相對(duì)離散指標(biāo)也叫離散系數(shù)、變異系數(shù)或標(biāo)志變動(dòng)系數(shù)，用以反映變量中的各變量值的離散程度；離散系數(shù)可消除不同計(jì)量單位或不同水平數(shù)列之間的差異程度；2）離散系數(shù)的形式：最常用的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述3）離散系數(shù)的應(yīng)用：離散系數(shù)能用來(lái)比較因標(biāo)志值大小、計(jì)量單位不同等引起的不可比現(xiàn)象之間的平均指標(biāo)代表水平的高低。離散系數(shù)越大表示現(xiàn)象的離散程度越大，則現(xiàn)象的均衡性或協(xié)調(diào)性或平均指標(biāo)的代表性越小。全距、四分位差、平均差以及標(biāo)準(zhǔn)差都具有與標(biāo)志值一樣的計(jì)量單位，都是絕對(duì)指標(biāo)，不僅受到離散程度的影響，還受到標(biāo)志值大小的影響。例第二節(jié)離中趨勢(shì)的描述3.3.1分布形狀和形狀指標(biāo)分布形狀各種各樣：有J型、U型和鐘型等。就鐘型而言有完全對(duì)稱、有左偏、右偏，有扁平、適中和尖陡。變量分布的形狀要用形狀指標(biāo)來(lái)反映。一般地，變量分布的形狀從對(duì)稱性和陡峭性兩方面來(lái)反映，因此形狀指標(biāo)也有兩個(gè)方面：偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。3.3.2偏度系數(shù)——利用算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)或中位數(shù)的離差；利用四分位數(shù)；利用動(dòng)差法求得偏度系數(shù)。3.3.3峰度系數(shù)——通常是鐘型分布的頂峰與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比偏扁平或偏尖陡的程度。返回總目錄第三節(jié)分布形狀的描述例1：某企業(yè)計(jì)劃本年度產(chǎn)值為150萬(wàn)元，實(shí)際產(chǎn)值為120萬(wàn)元，則計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)為：表示該企業(yè)差20%未完成計(jì)劃，與計(jì)劃相比差30萬(wàn)元。例2：某企業(yè)計(jì)劃本年度銷售額達(dá)到2000萬(wàn)元，實(shí)際銷售額為2500萬(wàn)元，則：表示該企業(yè)超額25%完成計(jì)劃，超過(guò)計(jì)劃500萬(wàn)元。例3：某企業(yè)計(jì)劃本年度利潤(rùn)增長(zhǎng)20％，實(shí)際增長(zhǎng)50％，則利潤(rùn)增長(zhǎng)的計(jì)劃完成程度為：表明該企業(yè)利潤(rùn)比計(jì)劃多完成25%，而單位成本差3.33%未完成計(jì)劃。返回若計(jì)劃本年度產(chǎn)品單位成本減少10％，實(shí)際減少7％，則：例4計(jì)算簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)考研小組共6人，英語(yǔ)成績(jī)分別為55分、63分、51分、69分、65分、45分，求此考研小組的英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)。返回－5565758595組中值x110325600510380xf合計(jì)60以下60-7070-8080-9090以上成績(jī)2525864人數(shù)f例5計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)1925返回算術(shù)平均：例6求某種商品三種零售價(jià)格的平均價(jià)格價(jià)格（元）4.02.52.0合計(jì)銷售量（斤）34512調(diào)和平均：價(jià)格（元）4.02.52.0合計(jì)銷售額（元）12101032返回工人日產(chǎn)量（件／人）總產(chǎn)量（件）５０－６０６０－７０７０－８０８０－９０９０以上８２５０６５００５２５０２５５０１５２０合計(jì)24070根據(jù)資料計(jì)算工人平均日產(chǎn)量。（件／人）366－1501007030165565758595m/x組中值xm例7某企業(yè)資料如下：返回某企業(yè)為了測(cè)定生產(chǎn)定額，將工人某天加工某種零件有關(guān)資料整理如下：每加工一個(gè)零件所需時(shí)間（分）工人數(shù)（人）581010228根據(jù)上述資料，試計(jì)算該企業(yè)工人平均加工某種零件所需的時(shí)間。返回返回例8某企業(yè)2011－2014年產(chǎn)值發(fā)展速度分別為：109.6%、105.3%、110.2%和101.8％，求年平均發(fā)展速度。該企業(yè)2011－2014年產(chǎn)值年平均發(fā)展速度為106.7％，即每年平均遞增6.7％。返回合計(jì)12345成績(jī)52256281人數(shù)f例9單項(xiàng)式數(shù)列的眾數(shù)可直接觀察出眾數(shù)為4分返回成績(jī)（分）人數(shù)（人）60以下60-7070-8080-9090以上25864合計(jì)25人數(shù)最多為第三組，所以眾數(shù)組為70－80例10組距數(shù)列計(jì)算眾數(shù)：返回例11未分組資料計(jì)算中位數(shù)工人日產(chǎn)量（件／人）總產(chǎn)量（件）50607080901005060708090n=6n=5返回單臺(tái)設(shè)備日產(chǎn)量設(shè)備臺(tái)數(shù)5060708090100546742合計(jì)28例12單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算中位數(shù)－向上累計(jì)5915222628返回成績(jī)（分）人數(shù)（人）60以下60-7070-8080-9090以上25864合計(jì)25

中位數(shù)組為70－80例12組距數(shù)列計(jì)算中位數(shù)：－27152125向上累計(jì)返回考試成績(jī)學(xué)生人數(shù)60分以下60－7070－8080－9090—10021322185合計(jì)60475.62953.11819.3473.681201.481650.74xf1108451650153047546106050549251237501300504512535990043.66153.7940.26147.0690.855698.34返回1返回2例15甲、乙兩地農(nóng)戶年人均純收入資料如下：地區(qū)甲地乙地人均純收入（元）標(biāo)準(zhǔn)差（元）184001160028002300試比較兩地農(nóng)戶年人均收入代表性的大小。∵vs甲<vs乙，故甲地農(nóng)戶年人均收入代表性更大。返回練習(xí)題1、某商店2012年實(shí)際銷售額為1500萬(wàn)元，超額完成計(jì)劃10%，計(jì)算2012年計(jì)劃銷售額。2、某企業(yè)2012年計(jì)劃產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)10%，實(shí)際比計(jì)劃少完成5%，計(jì)算實(shí)際產(chǎn)量比上一年則增長(zhǎng)多少？耐用時(shí)間（千小時(shí)）燈泡數(shù)（個(gè)）0.8以下0.8~0.90.9~1.01.0~1.11.1以上20703404030合計(jì)500474－1559.53234234.50.750.850.951.051.15xf組中值x3、根據(jù)資料計(jì)算燈泡的平均耐用時(shí)間：資本利潤(rùn)率利潤(rùn)總額（萬(wàn)元）0.1以下0.1－0.20.2－0.30.3以上1000300055002000合計(jì)11500根據(jù)資料計(jì)算集團(tuán)平均資本利潤(rùn)率。67714.29－2000020000220005714.290.050.150.250.35資本總額m/x組中值xm4、某集團(tuán)公司下屬企業(yè)的資本利潤(rùn)率資料如下：5、某人將1萬(wàn)元在某銀行存了5年，銀行這5年的存款年利率分別為：5.6%、4.8%、3.2%、2.5％和2.0％，假設(shè)按復(fù)利方法計(jì)算存款利息，求此人獲得的平均存款年利率。即此人平均每年獲得的存款利率為3.6％工人年齡（歲）人數(shù)（人）20以下20－3030－4040－5050以上141581224323合計(jì)360計(jì)算工人年齡的眾數(shù)6