2023年大一高數(shù)知識點(diǎn)與例題講解

大一高數(shù)函數(shù)與極限函數(shù)○函數(shù)基礎(chǔ)(高中函數(shù)部分相關(guān)知識）（★★★)○鄰域（去心鄰域）（★)數(shù)列的極限○數(shù)列極限的證明(★）【題型示例】已知數(shù)列,證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2.即對，，當(dāng)時(shí),始終有不等式成立，∴函數(shù)的極限○時(shí)函數(shù)極限的證明（★）【題型示例】已知函數(shù)，證明【證明示例】語言１．由化簡得,∴2.即對，,當(dāng)時(shí),始終有不等式成立,∴○時(shí)函數(shù)極限的證明(★）【題型示例】已知函數(shù),證明【證明示例】語言1.由化簡得,∴2．即對,，當(dāng)時(shí)，始終有不等式成立，∴無窮小與無窮大○無窮小與無窮大的本質(zhì)（★)函數(shù)無窮小函數(shù)無窮大○無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論(★★)（定理三）假設(shè)為有界函數(shù),為無窮小,則(定理四)在自變量的某個(gè)變化過程中,若為無窮大，則為無窮小;反之，若為無窮小，且,則為無窮大【題型示例】計(jì)算：(或）1.∵≤∴函數(shù)在的任一去心鄰域內(nèi)是有界的;（∵≤,∴函數(shù)在上有界；）２.即函數(shù)是時(shí)的無窮小;(即函數(shù)是時(shí)的無窮小;）3.由定理可知(）極限運(yùn)算法則○極限的四則運(yùn)算法則(★★)(定理一)加減法則（定理二)乘除法則關(guān)于多項(xiàng)式、商式的極限運(yùn)算設(shè):則有(特別地，當(dāng)（不定型）時(shí),通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點(diǎn)便可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解）【題型示例】求值【求解示例】解:由于,從而可得,所以原式其中為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解(詳見第三章第二節(jié)）:解：○連續(xù)函數(shù)穿越定理（復(fù)合函數(shù)的極限求解)（★★)（定理五）若函數(shù)是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，【題型示例】求值:【求解示例】極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限○夾迫準(zhǔn)則(P５3）（★★★）第一個(gè)重要極限：∵，∴(特別地，）○單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（P57)(★★★）第二個(gè)重要極限：(一般地,,其中）【題型示例】求值:【求解示例】無窮小量的階（無窮小的比較）○等價(jià)無窮?。ā铩?1.２.（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：【求解示例】函數(shù)的連續(xù)性○函數(shù)連續(xù)的定義(★)○間斷點(diǎn)的分類(P67)（★)（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去相應(yīng)公因式)【題型示例】設(shè)函數(shù),應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù),使得成為在上的連續(xù)函數(shù)？【求解示例】1.∵2.由連續(xù)函數(shù)定義∴閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)○零點(diǎn)定理（★)【題型示例】證明:方程至少有一個(gè)根介于與之間【證明示例】1．（建立輔助函數(shù)）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù);２．∵(端點(diǎn)異號）３.∴由零點(diǎn)定理，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn),使得，即（）４.這等式說明方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)概念○高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義（P83）(★★）【題型示例】已知函數(shù),在處可導(dǎo)，求,【求解示例】1.∵，2．由函數(shù)可導(dǎo)定義∴【題型示例】求在處的切線與法線方程（或:過圖像上點(diǎn)處的切線與法線方程)【求解示例】1．，２．切線方程:法線方程：函數(shù)的和（差)、積與商的求導(dǎo)法則○函數(shù)和(差)、積與商的求導(dǎo)法則(★★★)１．線性組合（定理一):特別地，當(dāng)時(shí),有2．函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二):3．函數(shù)商的求導(dǎo)法則(定理三):反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則○反函數(shù)的求導(dǎo)法則(★)【題型示例】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【求解示例】由題可得為直接函數(shù),其在定于域上單調(diào)、可導(dǎo)，且；∴○復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(★★★)【題型示例】設(shè),求【求解示例】高階導(dǎo)數(shù)○(或)(★）【題型示例】求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)【求解示例】，，……隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)○隱函數(shù)的求導(dǎo)(等式兩邊對求導(dǎo))（★★★）【題型示例】試求:方程所給定的曲線：在點(diǎn)的切線方程與法線方程【求解示例】由兩邊對求導(dǎo)即化簡得∴∴切線方程:法線方程：○參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)【題型示例】設(shè)參數(shù)方程,求【求解示例】1.2．變化率問題舉例及相關(guān)變化率(不作規(guī)定）函數(shù)的微分○基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則(★★★)中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理○引理(費(fèi)馬引理）（★)○羅爾定理（★★★)【題型示例】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo),試證明:，使得成立【證明示例】１．（建立輔助函數(shù))令顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo);2．又∵即３.∴由羅爾定理知，使得成立○拉格朗日中值定理（★)【題型示例】證明不等式:當(dāng)時(shí)，【證明示例】１.（建立輔助函數(shù)）令函數(shù),則對,顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又∵,∴，化簡得，即證得:當(dāng)時(shí),【題型示例】證明不等式:當(dāng)時(shí),【證明示例】1.（建立輔助函數(shù))令函數(shù)，則對，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且；２．由拉格朗日中值定理可得,使得等式成立，化簡得,又∵，∴，∴,即證得:當(dāng)時(shí),羅比達(dá)法則○運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本環(huán)節(jié)（★★)1.☆等價(jià)無窮小的替換（以簡化運(yùn)算)2.判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個(gè)前提條件Ａ.屬于兩大基本不定型(）且滿足條件，則進(jìn)行運(yùn)算:（再進(jìn)行1、２環(huán)節(jié)，反復(fù)直到結(jié)果得出)B．☆不屬于兩大基本不定型(轉(zhuǎn)化為基本不定型）⑴型(轉(zhuǎn)乘為除,構(gòu)造分式）【題型示例】求值：【求解示例】（一般地，，其中)⑵型（通分構(gòu)造分式，觀測分母）【題型示例】求值：【求解示例】⑶型(對數(shù)求極限法)【題型示例】求值：【求解示例】⑷型(對數(shù)求極限法)【題型示例】求值:【求解示例】⑸型(對數(shù)求極限法)【題型示例】求值：【求解示例】○運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思緒（★★）⑴通分獲得分式（通常伴有等價(jià)無窮小的替換）⑵取倒數(shù)獲得分式(將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式)⑶取對數(shù)獲得乘積式（通過對數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前)泰勒中值定理（不作規(guī)定）函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性○連續(xù)函數(shù)單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)(★★★）【題型示例】試擬定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【求解示例】1.∵函數(shù)在其定義域上連續(xù),且可導(dǎo)∴2.令，解得：３.(三行表）極大值極小值4.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為【題型示例】證明：當(dāng)時(shí),【證明示例】1．(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè)，()2.,（）∴3.既證:當(dāng)時(shí),【題型示例】證明：當(dāng)時(shí),【證明示例】1．（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè),（)２.,(）∴3.既證:當(dāng)時(shí),○連續(xù)函數(shù)凹凸性(★★★）【題型示例】試討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點(diǎn)【證明示例】1．2．令解得:３．（四行表)ＳHＡPE＼*MERＧEＦOＲMAT4.⑴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,；⑵函數(shù)的極小值在時(shí)取到，為，極大值在時(shí)取到，為;⑶函數(shù)在區(qū)間,上凹,在區(qū)間,上凸;⑷函數(shù)的拐點(diǎn)坐標(biāo)為函數(shù)的極值和最大、最小值○函數(shù)的極值與最值的關(guān)系(★★★)⑴設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，假如的某個(gè)鄰域,使得對,都適合不等式，我們則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極大值；令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值滿足:；⑵設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?假如的某個(gè)鄰域,使得對,都適合不等式,我們則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極小值;令則函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值滿足：;【題型示例】求函數(shù)在上的最值【求解示例】1.∵函數(shù)在其定義域上連續(xù)，且可導(dǎo)∴2．令，解得：3．（三行表）極小值極大值4.又∵∴函數(shù)圖形的描繪(不作規(guī)定）曲率(不作規(guī)定）方程的近似解(不作規(guī)定）不定積分不定積分的概念與性質(zhì)○原函數(shù)與不定積分的概念(★★)⑴原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間上,可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,即當(dāng)自變量時(shí),有或成立，則稱為的一個(gè)原函數(shù)⑵原函數(shù)存在定理：（★★)假如函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，則在上必存在可導(dǎo)函數(shù)使得，也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)（可導(dǎo)必連續(xù)）⑶不定積分的概念(★★)在定義區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為在定義區(qū)間上的不定積分,即表達(dá)為：(稱為積分號,稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式,則稱為積分變量)○基本積分表(★★★）○不定積分的線性性質(zhì)（分項(xiàng)積分公式)(★★★）換元積分法○第一類換元法（湊微分)（★★★）(的逆向應(yīng)用)【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】○第二類換元法（去根式)（★★)（的正向應(yīng)用）⑴對于一次根式（）：：令，于是,則原式可化為⑵對于根號下平方和的形式(）:：令（），于是,則原式可化為;⑶對于根號下平方差的形式(）：a.：令(）,于是，則原式可化為;ｂ．：令（），于是,則原式可化為;【題型示例】求(一次根式）【求解示例】【題型示例】求(三角換元)【求解示例】分部積分法○分部積分法（★★)⑴設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則其分部積分公式可表達(dá)為：⑵分部積分法函數(shù)排序順序：“反、對、冪、三、指”○運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積分的基本環(huán)節(jié):⑴遵照分部積分法函數(shù)排序順序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；⑵就近湊微分:(）⑶使用分部積分公式:⑷展開尾項(xiàng),判斷a.若是容易求解的不定積分，則直接計(jì)算出答案(容易表達(dá)使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以容易求解出結(jié)果);b．若依舊是相稱復(fù)雜,無法通過a中方法求解的不定積分,則反復(fù)⑵、⑶,直至出現(xiàn)容易求解的不定積分;若反復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解,但是最后要注意添上常數(shù)【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】∴有理函數(shù)的不定積分○有理函數(shù)(★）設(shè):對于有理函數(shù),當(dāng)?shù)拇螖?shù)小于的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是真分式;當(dāng)?shù)拇螖?shù)大于的次數(shù)時(shí),有理函數(shù)是假分式○有理函數(shù)(真分式）不定積分的求解思緒（★）⑴將有理函數(shù)的分母分拆成兩個(gè)沒有公因式的多項(xiàng)式的乘積:其中一個(gè)多項(xiàng)式可以表達(dá)為一次因式;而另一個(gè)多項(xiàng)式可以表達(dá)為二次質(zhì)因式，();即:一般地:，則參數(shù)則參數(shù)⑵則設(shè)有理函數(shù)的分拆和式為:其中參數(shù)由待定系數(shù)法（比較法)求出⑶得到分拆式后分項(xiàng)積分即可求解【題型示例】求（構(gòu)造法)【求解示例】積分表的使用（不作規(guī)定)定積分極其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)○定積分的定義(★）(稱為被積函數(shù),稱為被積表達(dá)式，則稱為積分變量,稱為積分下限,稱為積分上限,稱為積分區(qū)間）○定積分的性質(zhì)(★★★）⑴⑵⑶⑷(線性性質(zhì))⑸（積分區(qū)間的可加性)⑹若函數(shù)在積分區(qū)間上滿足,則;(推論一)若函數(shù)、函數(shù)在積分區(qū)間上滿足,則;（推論二）○積分中值定理(不作規(guī)定）微積分基本公式○牛頓-萊布尼茲公式(★★★）（定理三)若果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù),則○變限積分的導(dǎo)數(shù)公式(★★★)(上上導(dǎo)―下下導(dǎo)）【題型示例】