統(tǒng)計(jì)學(xué)第四章

第四章綜合指標(biāo)一、綜合指標(biāo)概述二、總量指標(biāo)（絕對(duì)數(shù)指標(biāo)）三、相對(duì)數(shù)指標(biāo)（相對(duì)數(shù)）四、平均數(shù)指標(biāo)（平均數(shù)）五、標(biāo)志變異指標(biāo)主要內(nèi)容一、學(xué)習(xí)提要及目標(biāo)綜合指標(biāo)是說(shuō)明現(xiàn)象總體數(shù)量特征的基本指標(biāo)，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的前提。包括總量指標(biāo)、相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)三種形式。以分別反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的規(guī)模、結(jié)構(gòu)比例、水平、集中、分散等數(shù)量特征。

學(xué)習(xí)本章的基本要求是：1.掌握總量指標(biāo)的概念、意義和種類；2.相對(duì)指標(biāo)的概念、作用以及幾種相對(duì)指標(biāo)的性質(zhì)、特點(diǎn)和計(jì)算方法；3.平均指標(biāo)的概念、作用及幾種平均指標(biāo)的特點(diǎn)和計(jì)算方法；4.變異指標(biāo)的概念、作用和計(jì)算。重點(diǎn)是在理解綜合指標(biāo)概念的基礎(chǔ)上，熟練掌握各指標(biāo)的特點(diǎn)和計(jì)算方法。

一、統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的概念統(tǒng)計(jì)指標(biāo)是綜合反映統(tǒng)計(jì)總體數(shù)量特征的概念和數(shù)值。二、統(tǒng)計(jì)指標(biāo)構(gòu)成一個(gè)完整的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)有以下兩個(gè)主要部分組成：如下圖示：

第一節(jié)綜合指標(biāo)概述

統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的組成反映總體某一方面的質(zhì)的規(guī)定性,是對(duì)總體本質(zhì)特征的一種概括。是總體量的規(guī)定性在一定時(shí)間、地點(diǎn)、條件下的具體表現(xiàn)。指標(biāo)名稱指標(biāo)數(shù)值三、統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的特點(diǎn)：具體性數(shù)量性綜合性

描述指標(biāo)評(píng)價(jià)指標(biāo)監(jiān)測(cè)指標(biāo)數(shù)量指標(biāo)質(zhì)量指標(biāo)總量指標(biāo)相對(duì)數(shù)指標(biāo)平均數(shù)指標(biāo)

四、統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的分類總量指標(biāo)是用以反映現(xiàn)象的總規(guī)模、總水平?？偭恐笜?biāo)可以不同的標(biāo)志進(jìn)行分類。

相對(duì)指標(biāo)是兩個(gè)相互聯(lián)系的指標(biāo)的比率。用以反映現(xiàn)象的相對(duì)水平或工作質(zhì)量。相對(duì)指標(biāo)有不同的種類。

平均指標(biāo)是反映現(xiàn)象的一般水平。平均指標(biāo)有不同的計(jì)算形式。

第二節(jié)總量指標(biāo)（絕對(duì)數(shù)指標(biāo)）一、總量指標(biāo)的意義和作用概念：

總量指標(biāo)是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總規(guī)模、總水平的總和指標(biāo)。（1）反映國(guó)情、國(guó)力和企事業(yè)單位人、財(cái)、物的狀況；（3）是計(jì)算相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)的基礎(chǔ)。（2）是國(guó)民經(jīng)濟(jì)宏觀管理和企業(yè)經(jīng)濟(jì)核算的基礎(chǔ)性指標(biāo)，是實(shí)行目標(biāo)管理的工具；意義和作用：按反映總體的內(nèi)容分按反映的時(shí)間狀態(tài)分按計(jì)量單位分總體單位總數(shù)時(shí)期總量指標(biāo)時(shí)點(diǎn)總量指標(biāo)實(shí)物量指標(biāo)勞動(dòng)量指標(biāo)價(jià)值量指標(biāo)二、總量指標(biāo)的分類總體標(biāo)志總量具體理解：1.總體單位總量。即構(gòu)成總體的單位數(shù)之和。2.總體標(biāo)志總量。即總體中各單位標(biāo)志值（或變量值）的總和。例如，某地區(qū)國(guó)有工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)情況統(tǒng)計(jì)表如下：年份企業(yè)數(shù)工人數(shù)總產(chǎn)值實(shí)現(xiàn)利稅年末固定資產(chǎn)原值（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）199716473900204510638502237519981607580019758559780223931999161756702013486237522516

（單位總量）（標(biāo)志總量）

3.時(shí)期總量指標(biāo)。指反映某種社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)展變化結(jié)果的總量指標(biāo)。例如:2006年中國(guó)GDP210871億元某企業(yè)2007年4月銷售額870萬(wàn)元

理解：①現(xiàn)象的發(fā)展有一個(gè)開(kāi)始到結(jié)束的過(guò)程；②是一段時(shí)間內(nèi)連續(xù)發(fā)生變化的過(guò)程；③時(shí)期指標(biāo)具有以下方面的特點(diǎn)。第一，在一段時(shí)期內(nèi)不同時(shí)間上的數(shù)值可以相加；第二，一定時(shí)期內(nèi)指標(biāo)數(shù)值的大小與這段時(shí)間的長(zhǎng)短有直接關(guān)系，通常,時(shí)期愈長(zhǎng)，指標(biāo)數(shù)值就愈大；第三，一段時(shí)期的指標(biāo)數(shù)值是一段時(shí)期內(nèi)現(xiàn)象連續(xù)發(fā)生登記的結(jié)果。

4.時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在某一時(shí)間（或某一瞬間、某一時(shí)刻、某一個(gè)時(shí)點(diǎn)）狀況上的總量指標(biāo)。

例如：某企業(yè)5月末甲產(chǎn)品庫(kù)存量1000件理解：①現(xiàn)象發(fā)生沒(méi)有一個(gè)開(kāi)始與結(jié)束的過(guò)程；②與現(xiàn)象發(fā)展過(guò)程的時(shí)間連續(xù)性不存在關(guān)系。③時(shí)點(diǎn)指標(biāo)具有以下方面的特點(diǎn)：第一，在一段時(shí)間內(nèi)不同時(shí)間上的數(shù)值不能相加第二，其指標(biāo)數(shù)值的大小與這一指標(biāo)所包含的時(shí)間長(zhǎng)短無(wú)直接關(guān)系第三，其指標(biāo)數(shù)值不需要在一段時(shí)間內(nèi)連續(xù)登記5.實(shí)物指標(biāo):反映現(xiàn)象的自然屬性和外部特征的計(jì)量單位，反映的是使用價(jià)值量

6.價(jià)值指標(biāo):以貨幣為計(jì)量單位，反映的是價(jià)值量

7.勞動(dòng)指標(biāo):以時(shí)間為計(jì)量單位，反映的是勞動(dòng)量

第三節(jié)相對(duì)指標(biāo)

一、相對(duì)指標(biāo)的概念、意義及種類

概念：相對(duì)指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)相對(duì)數(shù)，它是兩個(gè)有聯(lián)系的現(xiàn)象數(shù)量的比率，主要用以反映現(xiàn)象的發(fā)展程度、結(jié)構(gòu)、強(qiáng)度、普遍程度或比例關(guān)系。

意義：通過(guò)相對(duì)指標(biāo)的計(jì)算，將總體內(nèi)各單位的具體數(shù)值抽象化，使其對(duì)現(xiàn)象之間存在的固有聯(lián)系有一個(gè)較為深刻的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，借助于相對(duì)指標(biāo)，可以對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行對(duì)比分析，是統(tǒng)計(jì)分析的基本方法。相對(duì)指標(biāo)的種類結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)比例相對(duì)數(shù)比較相對(duì)數(shù)強(qiáng)度相對(duì)數(shù)動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)二、相對(duì)指標(biāo)的種類及計(jì)算方法

1.結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)。是以總體總量為比較指標(biāo)，計(jì)算各組總量占總體總量的比重，來(lái)反映總體內(nèi)部組成情況的綜合指標(biāo)。它是總體單位和總體標(biāo)志值的結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)=各組（或各部分）總量總體總量例1，某地區(qū)2003年工業(yè)總產(chǎn)值為50億元，其中輕工業(yè)總產(chǎn)值為32億元，則：32輕工業(yè)產(chǎn)值占比重（%）=X100%=64%50計(jì)算結(jié)果表示輕工業(yè)在工業(yè)總體中的地位和作用。理解：（1）結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)是在統(tǒng)計(jì)分組的基礎(chǔ)上進(jìn)行的計(jì)算；（2）一般用百分?jǐn)?shù)或成數(shù)表示；（3）分子、分母不能調(diào)換；（4）各組的比重之和為100%或1。

2.比例相對(duì)數(shù)。是總體不同部分之間數(shù)量對(duì)比的相對(duì)數(shù)，以分析總體范圍內(nèi)各個(gè)組成局部之間比例關(guān)系和協(xié)調(diào)平衡狀況。通常以總體各組總量指標(biāo)對(duì)比，也可運(yùn)用總體各部分的平均數(shù)或相對(duì)數(shù)對(duì)比。比例相對(duì)數(shù)=總體中某一部分?jǐn)?shù)值總體中另一部分?jǐn)?shù)值

例2，某地區(qū)第四次人口普查結(jié)果為，男性為519萬(wàn)人，女性為488萬(wàn)人，則：性別比為：519男女性別比例（%）==1.063：1488理解：（1）可運(yùn)用現(xiàn)象各部分的相對(duì)數(shù)或平均數(shù)進(jìn)行對(duì)比；（2）強(qiáng)調(diào)的是同一總體內(nèi)的部分與部分?jǐn)?shù)值的比較；（3）分子、分母可以調(diào)換；（4）對(duì)比的結(jié)果表示所研究總體中的一部分與另一部分的比例關(guān)系，用以研究現(xiàn)象的比例是否合理、協(xié)調(diào)。

3.比較相對(duì)數(shù)。是不同總體的同類指標(biāo)對(duì)比而確定的相對(duì)數(shù)，借以說(shuō)明同類現(xiàn)象在同一時(shí)期內(nèi)各總體發(fā)展的不平衡性。其計(jì)算公式為：某總體指標(biāo)值另一總體同類指標(biāo)值比較相對(duì)數(shù)=

例3，我國(guó)面積為960萬(wàn)平方公里，日本為37.8萬(wàn)平方公里，則：960我國(guó)為日本==25.4（倍）37.8理解：（1）比較相對(duì)數(shù)強(qiáng)調(diào)的是不同總體（或不同空間）同類現(xiàn)象數(shù)值的比較；（2）分子、分母可以調(diào)換；（3）計(jì)算結(jié)果可說(shuō)明某一同類現(xiàn)象在同一時(shí)間內(nèi)各總體發(fā)展的不平衡程度，以表明同類事物在不同條件下的數(shù)量對(duì)比關(guān)系。

4.強(qiáng)度相對(duì)數(shù)。是兩種性質(zhì)不同而又有聯(lián)系的屬于不同總體的總量指標(biāo)之間的對(duì)比，用以表明某現(xiàn)象在另一現(xiàn)象中發(fā)展的強(qiáng)度、密度和普遍程度。強(qiáng)度相對(duì)數(shù)=某種現(xiàn)象總量指標(biāo)另一有聯(lián)系而性質(zhì)不同的現(xiàn)象總量指標(biāo)

例4，某年我國(guó)國(guó)民收入為5485億元，年平均人口為103049.5萬(wàn)人，則：5485人均國(guó)民收入==532.3（元/人）103049.5商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)、金融機(jī)構(gòu)、醫(yī)療單位、人口等密度資金利稅率商品流通費(fèi)用率人口出生、死亡率人均國(guó)民收入理解：（1）是不同類現(xiàn)象的對(duì)比；（2）對(duì)比的結(jié)果表示現(xiàn)象的強(qiáng)度、密度或普遍程度，可以說(shuō)明一個(gè)國(guó)家、地區(qū)或部門的經(jīng)濟(jì)實(shí)力或?yàn)樯鐣?huì)服務(wù)的能力，同時(shí)，借助于該指標(biāo)進(jìn)行國(guó)家、地區(qū)之間的比較，確定發(fā)展不平衡和發(fā)展的差距；（3）有正指標(biāo)和逆指標(biāo)之分，一般來(lái)說(shuō)，正指標(biāo)越大越好，逆指標(biāo)則越小越好；（4）該指標(biāo)的數(shù)值一般用復(fù)合計(jì)量單位表示或?yàn)闊o(wú)名數(shù)。醫(yī)療床位數(shù)/千人；人口死亡率5.動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)。一般指發(fā)展速度指標(biāo)。是同類指標(biāo)在不同時(shí)間上的對(duì)比，借以反映同一現(xiàn)象在不同時(shí)間上的發(fā)展變化情況。動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)=某現(xiàn)象報(bào)告期數(shù)值同一現(xiàn)象基期數(shù)值例5，某企業(yè)2003年產(chǎn)值為500萬(wàn)元，2002年為450萬(wàn)元，則：

5002003年為2002年（%）=×100%=111%450

理解：（1）動(dòng)態(tài)是時(shí)間上的發(fā)展，動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)是同一現(xiàn)象不同時(shí)間同一指標(biāo)的對(duì)比，又稱發(fā)展速度；（2）計(jì)算結(jié)果表示同類事物的水平報(bào)告期為基期的發(fā)展變化程度。

6.計(jì)劃完成程度相對(duì)數(shù)。是現(xiàn)象在某一段時(shí)間內(nèi)的實(shí)際完成數(shù)與計(jì)劃任務(wù)數(shù)對(duì)比，借以檢查計(jì)劃完成的程度。其基本計(jì)算公式為：

計(jì)劃完成程度=實(shí)際完成數(shù)計(jì)劃數(shù)理解：（1）該指標(biāo)的計(jì)算其分子、分母的數(shù)據(jù)，可以為絕對(duì)數(shù)，也可以是相對(duì)數(shù)；（2）對(duì)于短期內(nèi)計(jì)劃完成情況的檢查，其具體形式有以下幾種：

第一種情況：計(jì)劃數(shù)為絕對(duì)數(shù)時(shí)，在計(jì)算該指標(biāo)時(shí)，可采用基本公式，即：本期實(shí)際完成數(shù)計(jì)劃完成程度=本期計(jì)劃數(shù)

例6，某工業(yè)企業(yè)2003年計(jì)劃生產(chǎn)甲產(chǎn)品4000件，實(shí)際生產(chǎn)了4200件，則：4200甲產(chǎn)品計(jì)劃完成（%）=×100%=105%4000第二種情況：相對(duì)數(shù)為合格率或達(dá)標(biāo)率時(shí)，應(yīng)直接計(jì)算：本期實(shí)際完成合格率或達(dá)標(biāo)率計(jì)劃完成程度=本期計(jì)劃合格率或達(dá)標(biāo)率例7：某企業(yè)產(chǎn)品計(jì)劃合格率為98%，實(shí)際達(dá)到99%99%計(jì)劃完成程度==101.2%98%解釋：該企業(yè)產(chǎn)品合格率實(shí)際比計(jì)劃提高1.2%

第三種情況：相對(duì)數(shù)為提高率或降低率時(shí)，應(yīng)根據(jù)以下兩種情況處理：

⊙以提高率相對(duì)數(shù)形式出現(xiàn)時(shí)：1+實(shí)際提高率計(jì)劃完成程度=1+計(jì)劃提高率

例8，某工業(yè)企業(yè)2003年度計(jì)劃勞動(dòng)生產(chǎn)率比上年提高10%，實(shí)際提高了15%，則：100%+15%勞動(dòng)生產(chǎn)率計(jì)劃完成程度==104.5%100%+10%解釋：實(shí)際勞動(dòng)生產(chǎn)率比計(jì)劃提高4.5%

⊙

以降低率相對(duì)數(shù)形式出現(xiàn)時(shí)：

1—實(shí)際降低率計(jì)劃完成程度=1—計(jì)劃降低率

例9，某企業(yè)2003年度計(jì)劃產(chǎn)品成本降低6%，實(shí)際降低8%產(chǎn)品成本100%—8%計(jì)劃完成程度=×

100%=97.9%100%—6%解釋：該企業(yè)產(chǎn)品成本實(shí)際比計(jì)劃超額完成2.1%

（3）在對(duì)長(zhǎng)期計(jì)劃完成情況進(jìn)行檢查時(shí)，需要運(yùn)用以下兩種方法：

⊙計(jì)劃數(shù)為計(jì)劃期內(nèi)應(yīng)完成的累計(jì)總?cè)蝿?wù)時(shí)，計(jì)算計(jì)劃完成程度指標(biāo)時(shí)，可運(yùn)用“累計(jì)法”進(jìn)行，即：計(jì)劃期內(nèi)實(shí)際完成的累計(jì)數(shù)計(jì)劃完成程度=

計(jì)劃期內(nèi)計(jì)劃完成的累計(jì)數(shù)

例9，某地區(qū)某五年計(jì)劃規(guī)定的固定資產(chǎn)投資額為3850萬(wàn)元，各年實(shí)際完成情況如下表：年份19961997199819992000固定資產(chǎn)投資80090095010101025額（萬(wàn)元）4685則五年計(jì)劃完成情況=*100%=121.70%3850

⊙計(jì)劃數(shù)為計(jì)劃期末期應(yīng)達(dá)到的水平規(guī)定時(shí)，計(jì)劃執(zhí)行情況表述為提前完成時(shí)間：提前完成時(shí)間=連續(xù)一年的完成數(shù)達(dá)到計(jì)劃任務(wù)時(shí)的剩余時(shí)間

例10，某企業(yè)五年計(jì)劃規(guī)定年產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到300萬(wàn)噸，實(shí)際執(zhí)行情況如下表：

第一年第二年第三年第四年第五年一二三四一二三四產(chǎn)量2002302606565707575858085提前半年完成五年計(jì)劃六種相對(duì)數(shù)指標(biāo)的比較不同時(shí)期比較動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)強(qiáng)度相對(duì)數(shù)不同現(xiàn)象比較不同總體比較比較相對(duì)數(shù)同一總體中部分與部分比較部分與總體比較實(shí)際與計(jì)劃比較比例相對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)同一時(shí)期比較同類現(xiàn)象比較平均指標(biāo)反映同類現(xiàn)象的一般水平，是總體內(nèi)各單位參差不齊的標(biāo)志值的代表值，也是對(duì)變量分布集中趨勢(shì)的測(cè)定。數(shù)據(jù)集中區(qū)變量x第四節(jié)平均指標(biāo)（平均數(shù)）概念：數(shù)據(jù)集中區(qū)變量xx

意義：平均指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，用以反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平。平均指標(biāo)的特點(diǎn)在于它把總體各單位標(biāo)志值的差異抽象化了，計(jì)算結(jié)果，可能與各單位的所有標(biāo)志值都不相同，但又可作為代表值來(lái)反映這些單位某一標(biāo)志的一般水平。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中，平均指標(biāo)具有以下作用：

1.反映總體各單位變量分布的集中趨勢(shì)；

2.比較同類現(xiàn)象在不同單位的發(fā)展水平，以說(shuō)明生產(chǎn)水平、經(jīng)濟(jì)效益或工作質(zhì)量的差距；分析現(xiàn)象的依存關(guān)系。應(yīng)用平均指標(biāo)的基本要求：只能對(duì)同質(zhì)總體計(jì)算平均指標(biāo)。二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算平均指標(biāo)有以下幾種（教材P77）：算術(shù)平均數(shù)（簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)）調(diào)和平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)變形）幾何平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

這些平均指標(biāo)均用來(lái)反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的一般水平。數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)

簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：例：抽樣調(diào)查某地200個(gè)3口之家的居民戶，得其生活費(fèi)用支出資料如下表：月生活費(fèi)支出(元)組中值Xi戶數(shù)(戶)fiXifi400以下300267800400-6005003517500600-8007005941300800-1200100040400001200-1800150026390001800以上21001429400合計(jì)—200175000加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式的變形某車間生產(chǎn)三批產(chǎn)品的廢品率分別是2%、1%、4%，三批產(chǎn)量占全部產(chǎn)量的比重分別是45%、30%、25%，試求該車間三批產(chǎn)品的平均廢品率。解：平均廢品率某小販以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)120千克蘋果，以3元/千克的價(jià)格賣出60千克，以2.6元/千克的價(jià)格賣出40千克，剩余的20千克以購(gòu)進(jìn)價(jià)賣出，平均名義賣價(jià)是多少？實(shí)際差價(jià)是多少？平均名義價(jià)格實(shí)際價(jià)差調(diào)和平均數(shù)的概念和計(jì)算調(diào)和平均數(shù)又稱“倒數(shù)平均數(shù)”，它是各個(gè)變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。通常用H表示。變量值的調(diào)和平均數(shù)本身無(wú)實(shí)際意義，但在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中，有時(shí)由于資料的原因不能直接計(jì)算出算術(shù)平均數(shù)，而采用調(diào)和平均數(shù)的形式。因此，可以把調(diào)和平均數(shù)看作是算術(shù)平均數(shù)的變形。

2.調(diào)和平均數(shù)H調(diào)和平均數(shù)是標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱倒數(shù)平均數(shù)。例如，有4個(gè)標(biāo)志值分別為：4、6、8、10，計(jì)算其調(diào)和平均值。按照調(diào)和平均數(shù)的概念，其計(jì)算為：（1）四個(gè)標(biāo)志的倒數(shù)分別為：1/4、1/6、1/8、1/10；

（2）計(jì)算倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，即：

1/4+1/6+1/8+1/10算術(shù)平均指標(biāo)==0.1605；

4

（3）計(jì)算算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)=1/0.1605=6.234即：調(diào)和平均數(shù)==6.231/4+1/6+1/8+1/10

這種平均數(shù)是在已經(jīng)掌握的資料中，不能運(yùn)用算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行直接計(jì)算，而采用的一種計(jì)算方法。簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算公式是：式中：(X—變量值；n—總體單位總量。)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)令Xifi＝Mi則有fi=Mi/Xi

于是上式變?yōu)榧訖?quán)調(diào)和平均數(shù)購(gòu)一批教材：在圖書城用去420元，單價(jià)為14元；在一小書店用去425元，單價(jià)為15元；在新華書店用去80元，單價(jià)為14元。平均每本書多少錢？解：平均價(jià)格3.幾何平均數(shù)G

幾何平均數(shù)是n個(gè)變量值連乘積的n次方根。幾何平均數(shù)適合于計(jì)算現(xiàn)象比率或速度的平均值幾何平均數(shù)根據(jù)資料情況，可分為簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種。前者適用于未分組資料，后者適用于分組后的變量數(shù)列。簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)是n個(gè)變量值連乘積的n次方根。式中：(Xi—數(shù)列中第i個(gè)變量值(i=1，2，…，n)n—變量值個(gè)數(shù)∏—連乘符號(hào))

例如，生產(chǎn)某產(chǎn)品需連續(xù)經(jīng)過(guò)4道工序，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，各道工序的合格率分別為98%、95%、92%、90%，求該產(chǎn)品四道工序的平均合格率加權(quán)幾何平均數(shù)當(dāng)各個(gè)變量值的次數(shù)(權(quán)數(shù))不相同時(shí)，應(yīng)采用加權(quán)幾何平均數(shù)。式中，fi為變量值Xi出現(xiàn)的次數(shù)，又稱權(quán)數(shù)。

例如，投資銀行某筆投資的年利率是按復(fù)利計(jì)算的，10年的年利率分配是：第1年至第2年為5%；第3年至第5年為8%；第6年至第8年為10%；第9年至第10年為12%，則平均年利率：考慮：如果不按復(fù)利計(jì)算，平均年利率是多少？解：設(shè)本金為C，則平均年利率算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)三者間存在如下數(shù)量關(guān)系：H≤G≤X并且只有當(dāng)所有變量值都相等時(shí)，這三種平均數(shù)才相等眾數(shù)眾數(shù)是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。如果總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值不是一個(gè)，而是兩個(gè)，那么就存在復(fù)眾數(shù)。眾數(shù)可以有一個(gè)或多個(gè)，這是與數(shù)值平均數(shù)所不同的。當(dāng)總體的單位數(shù)較多，各標(biāo)志值的次數(shù)分配又有明顯的集中趨勢(shì)時(shí)計(jì)算眾數(shù)才有意義；如果總體單位數(shù)很少，盡管次數(shù)分配較集中，那么計(jì)算出來(lái)的眾數(shù)意義不大；如果總體單位數(shù)較多，但次數(shù)分配不集中，即各單位的標(biāo)志值在總體中的分布比較均勻，那么也無(wú)所謂眾數(shù)。眾數(shù)的計(jì)算方法1.單項(xiàng)式變量數(shù)列由單項(xiàng)式變量數(shù)列確定眾數(shù)，可直接觀察次數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。2.組距數(shù)列由組距數(shù)列確定眾數(shù)，首先要由最多次數(shù)來(lái)確定眾數(shù)所在組，然后再用比例插值法計(jì)算眾數(shù)。由組距數(shù)列確定眾數(shù)下限公式：

上限公式：

式中：M0—眾數(shù)；L—眾數(shù)組的下限；U—眾數(shù)組的上限；△1—眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差；△2—眾數(shù)組次數(shù)與后一組次數(shù)之差；d—眾數(shù)組組距。從眾數(shù)的計(jì)算公式可看到眾數(shù)的特點(diǎn)：①眾數(shù)不受極端值的影響，組距數(shù)列中出現(xiàn)開(kāi)口組時(shí)，對(duì)眾數(shù)也無(wú)影響；②眾數(shù)的計(jì)算公式只適用于等距數(shù)列，如果是不等距數(shù)列，則應(yīng)先將其換算為等距數(shù)列，然后再利用上、下限公式求眾數(shù)。中位數(shù)中位數(shù)的概念將現(xiàn)象總體中各單位的標(biāo)志值按大小順序排列，位于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值就是中位數(shù)。通常用Me表示。由中位數(shù)的定義可知：中位數(shù)把全部標(biāo)志值分為兩個(gè)部分，一半的標(biāo)志值不高于中位數(shù)，另一半的標(biāo)志值不低于中位數(shù)，中位數(shù)位置前后的總體單位個(gè)數(shù)相等。中位數(shù)和眾數(shù)一樣，有時(shí)可代替算術(shù)平均數(shù)來(lái)反映現(xiàn)象的一般水平。由未分組資料確定中位數(shù)在數(shù)據(jù)量不大的情況下，確定中位數(shù)的步驟是：①先對(duì)變量值由小到大順序排列；②根據(jù)項(xiàng)數(shù)n確定中位數(shù)的位置，中位數(shù)位置=(n+1)/2，n代表總體單位數(shù)；③根據(jù)中位數(shù)位置找出中位數(shù)。當(dāng)項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，則居于中間位置的那個(gè)變量值就是中位數(shù)；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，即(n+1/)2為非整數(shù)時(shí)，位于中間位置的第(n/2)項(xiàng)和第(n/2)+1項(xiàng)的兩個(gè)變量值的算術(shù)平均數(shù)就是中位數(shù)。由單項(xiàng)式變量數(shù)列確定中位數(shù)當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，資料常以分組數(shù)列的形式出現(xiàn)，如果是單項(xiàng)式變量數(shù)列，則確定中位數(shù)的步驟是：計(jì)算累計(jì)次數(shù)，累計(jì)次數(shù)第一次超過(guò)(∑f/2)的那一組即為中位數(shù)所在組；與該組對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù)。其中∑f為總次數(shù)。

由組距式數(shù)列確定中位數(shù)由組距數(shù)列確定中位數(shù)，應(yīng)先找出中位數(shù)所在組，累計(jì)次數(shù)第一次超過(guò)(∑f/2)的那一組即為中位數(shù)所在組，然后再用比例插值法計(jì)算中位數(shù)的值。用比例插值法計(jì)算中位數(shù)下限公式：

上限公式：

式中：(Me—中位數(shù)；L—中位數(shù)組的下限；U—中位數(shù)組的上限；fm—中位數(shù)組的次數(shù)；∑f—總次數(shù)即總體單位數(shù)；Sm-1—中位數(shù)組前各組的次數(shù)之和；Sm+1—中位數(shù)組后各組的次數(shù)之和；d—中位數(shù)組的組距。)算術(shù)平均數(shù):AVERAGE調(diào)和平均數(shù):HARMEAN幾何平均數(shù):GEOMEAN眾數(shù):MODE中位數(shù):MEDIAN平均指標(biāo)的Excell應(yīng)用1.算術(shù)平均數(shù)

簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)：插入\函數(shù)\或選擇類別:統(tǒng)計(jì);選擇函數(shù):AVERAGE\選定數(shù)據(jù)域\確定加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：成績(jī)頻數(shù)f組中值xxf60分以下25511060—7086552070—801675120080—90108585090—100495380合計(jì)40—3060或者，用ＳＵＭＰＲＯＤＵＣＴ直接求得∑xf，再用ＳＵＭ求得∑f，然后計(jì)算∑xf／∑f或者，在空白單元格或編輯欄輸入：＝ＳＵＭＰＲＯＤＵＣＴ（Ｂ２：Ｂ５，Ｃ２：Ｃ５）／ＳＵＭ（Ｂ２：Ｂ５）

2.調(diào)和平均數(shù)簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)插入\函數(shù)\或選擇類別:統(tǒng)計(jì);選擇函數(shù):HARMEAN\選定數(shù)據(jù)域\確定蔬菜單價(jià)(元/千克)購(gòu)買額(元)A0.671B0.51C0.41所選定的數(shù)據(jù)域加權(quán)調(diào)和平均數(shù)蔬菜單價(jià)(元/千克)Xi購(gòu)買額(元)Mi購(gòu)買量(千克)Mi/XiA0.6711.5B0.524C0.437.5合計(jì)——613簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)3.幾何平均數(shù)插入\函數(shù)\或選擇類別:統(tǒng)計(jì);選擇函數(shù):GEOMEAN\選定數(shù)據(jù)域\確定車間合格率195%290%398%十一.某產(chǎn)品需三個(gè)車間連續(xù)加工,制品合格率資料如下,用簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)計(jì)算平均合格率所選定的數(shù)據(jù)域4.眾數(shù)

工人序號(hào)日產(chǎn)量1117212231244129513961077117813091221012511108121311312514117151221613317126181221911820108數(shù)據(jù)域插入\函數(shù)\或選擇類別:統(tǒng)計(jì);選擇函數(shù):MODE\選定數(shù)據(jù)域\確定5.中位數(shù)

工人序號(hào)日產(chǎn)量1117212231244129513961077117813091221012511108121311312514117151221613317126181221911820108數(shù)據(jù)域插入\函數(shù)\或選擇類別:統(tǒng)計(jì);選擇函數(shù):MEDIAN\選定數(shù)據(jù)域\確定

第四節(jié)標(biāo)志變異指標(biāo)由于平均指標(biāo)將總體各單位之間的差異抽象化了，但實(shí)際上總體各單位的差異仍然是客觀的。因此，為了達(dá)到對(duì)總體的全面認(rèn)識(shí)，必須從另一個(gè)角度，或通過(guò)計(jì)算另外的指標(biāo)，來(lái)反映總體各單位存在的差異，以補(bǔ)充平均指標(biāo)本身存在的不足。概念：標(biāo)志變異指標(biāo)是反映變量分布離散趨勢(shì)、評(píng)價(jià)平均指標(biāo)代表性的指標(biāo)。一、標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和意義意義：所以，標(biāo)志變異指標(biāo)就是用以反映總體各單位標(biāo)志值差異程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。

例如，某企業(yè)有三個(gè)生產(chǎn)小組，各8人，某一天的生產(chǎn)量（計(jì)量單位：件）如下：

第一組：25、30、24、22、22、40、50、27

第二組：30、34、28、30、30、28、30、30

第三組；30、30、30、30、30、30、30、30

從上述各組的生產(chǎn)量來(lái)看，在平均產(chǎn)量上，均為30件，從平均指標(biāo)上不存在差異，但從每一個(gè)生產(chǎn)工人的生產(chǎn)量看，就存在一定的差別。問(wèn):哪一組工人產(chǎn)量差異較小?或者說(shuō)，其平均產(chǎn)量更具代表性?在統(tǒng)計(jì)研究中，標(biāo)志變異指標(biāo)的作用：1.反映總體各單位標(biāo)志值分布的離散(離中)趨勢(shì)；2.說(shuō)明總體平均指標(biāo)的代表性；3.說(shuō)明現(xiàn)象變動(dòng)的均勻性或穩(wěn)定性程度。

二.標(biāo)志變異指標(biāo)的種類據(jù)計(jì)算方法不同可將標(biāo)志變異指標(biāo)分為不同類型。有一類是將總體標(biāo)志值按順序排列之后取特定位置的標(biāo)志值，求其離差，以表明次數(shù)分布的變化范圍，如全距指標(biāo)，四分位數(shù)指標(biāo)等。另一類是求各標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的平均離差來(lái)反映標(biāo)志值相對(duì)于平均數(shù)的離差程度，如平均差、標(biāo)準(zhǔn)差(又稱均方差)或方差等。用上述標(biāo)志變異指標(biāo)還可以計(jì)算各種變異系數(shù)或離散系數(shù)，以表示標(biāo)志值離差的相對(duì)水平。此外還有描述標(biāo)志值分布狀態(tài)的指標(biāo)如偏度系數(shù)指標(biāo)和峰度系數(shù)指標(biāo)，它們說(shuō)明實(shí)際統(tǒng)計(jì)分布偏離正態(tài)分布的程度。標(biāo)志變異指標(biāo)的種類常用的標(biāo)志變異指標(biāo)有：極差（全距）平均差(絕對(duì)平均偏差)標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)(離散系數(shù))平均差系數(shù)定義離中趨勢(shì)反映標(biāo)志變異程度穩(wěn)定性風(fēng)險(xiǎn)種類全距(R)絕對(duì)平均偏差(AD)方差、標(biāo)準(zhǔn)差(б

б)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)(V)2極差（全距）極差又稱全距，是指總體單位中的最大標(biāo)志值與最小標(biāo)志值之差。R=最大標(biāo)志值—最小標(biāo)志值考慮：甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的車間，工人日均產(chǎn)量均為80件產(chǎn)品。其中，R甲=100—55=45R乙=95—65=30能否判定：乙車間日均產(chǎn)量更具代表性？或者說(shuō)，乙車間工人日產(chǎn)量差異較?。咳嗟奶攸c(diǎn)：極差的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)便，直觀，容易理解。不足之處是它只以兩個(gè)極端的標(biāo)志值計(jì)算，而不考慮總體內(nèi)部的分布結(jié)構(gòu)，不能充分利用數(shù)列的全部信息，因此，它無(wú)法準(zhǔn)確反映標(biāo)志值變動(dòng)的一般程度。改進(jìn)方法：計(jì)算四分位差四分位差Q.D把一個(gè)變量數(shù)列由小到大排列，分成四等份，形成三個(gè)分割點(diǎn)Q1、Q2、Q3，這三個(gè)分割點(diǎn)的數(shù)值就稱為四分位數(shù)，Q2也是中位數(shù)，四分位差為Q.D.=Q3－Q12,15,16,17,17,18,18,18,19,19,72,100

Q.D=19-16.5=2.5四分位差越小，則數(shù)列越平穩(wěn)考慮：組距式分組資料，如何計(jì)算四分位差？某校學(xué)生每周自修時(shí)數(shù),抽出70個(gè)樣本,且將資料分組整理得下表自修時(shí)數(shù)6-99-1212-1515-1818-2121-2424-2727-3030-3333-36學(xué)生人數(shù)0181224157201平均差（AVEDEV）平均差是總體各單位標(biāo)志值對(duì)算術(shù)平均數(shù)的絕對(duì)離差的算術(shù)平均數(shù)。意義解釋：平均來(lái)講，各單位標(biāo)志值與其平均值的差異有多大未分組資料：分組資料：平均差說(shuō)明每個(gè)標(biāo)志值對(duì)平均值的平均偏離程度，平均差越大，各標(biāo)志值間的差異越大，平均數(shù)的代表性就越小，反之，平均數(shù)的代表性就越大。例如：假定某車間兩個(gè)小組工人的月工資（元）資料如下。

甲：800，900，1000，1100，1200。

乙：900，950，1000，1050，1100。判定：乙車間的平均工資更具代表性，或者說(shuō)，乙車間工人工資變動(dòng)幅度小于甲車間平均差的應(yīng)用條件：被比較對(duì)象的計(jì)量單位一致且平均數(shù)相等。判定具有較小平均差的平均數(shù)更具代表性，或者，具有較小平均差的變量變動(dòng)幅度相對(duì)較小。考慮：為什么平均差公式要用絕對(duì)值？考慮：平均差相等時(shí)，如何判斷？∑（X—X）=0某校學(xué)生每周自修時(shí)數(shù),抽出70個(gè)樣本,且將資料分組整理得下表自修時(shí)數(shù)6-99-1212-1515-1818-2121-2424-2727-3030-3333-36學(xué)生人數(shù)0181224157201根據(jù)該資料試計(jì)算學(xué)生自修時(shí)數(shù)的平均差A(yù)D平均差系數(shù)平均差系數(shù)公式：考慮：平均差相等時(shí)，如何判斷？例：假定某車間兩個(gè)小組工人的月工資（元）資料如下

甲：800，900，1000，1100，1200丙：1800，1900，2000，2100，2200判定：丙組的平均工資更具代表性即，丙組的工人工資之間差異相對(duì)較小兩個(gè)小組內(nèi)部工人的工資差異是一樣的嗎?方差（）和標(biāo)準(zhǔn)差（）計(jì)算方法：將平均差公式中的絕對(duì)值符號(hào)換成平方，得到方差的公式，將方差開(kāi)方根為標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于分組資料：對(duì)于未分組資料：考慮：比較同類現(xiàn)象時(shí)候，不同總體中，方差或標(biāo)準(zhǔn)差大，意味著什么？標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)捷計(jì)算公式未分組：分組：方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算過(guò)程樣本編號(hào)（n）標(biāo)志值（x)(x-X)(x-X)1162-8.267.2421743.814.4431787.860.844164-6.238.44518110.8116.646152-18.2331.247167-3.210.2481732.87.8491798.877.44101721.83.24SUM17020727.6X170.272.768.532標(biāo)準(zhǔn)差與方差是反映數(shù)據(jù)或數(shù)列平穩(wěn)性、波動(dòng)性的重要工具；也是評(píng)價(jià)平均指標(biāo)代表性的重要標(biāo)尺；是統(tǒng)計(jì)分析的重要工具。方差、標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.每個(gè)變量值加上一個(gè)常數(shù)，方差、標(biāo)準(zhǔn)差不變

對(duì)于任意常數(shù)

若

那么：2.每個(gè)變量值擴(kuò)大一個(gè)常數(shù)倍，標(biāo)準(zhǔn)差同倍絕對(duì)值擴(kuò)大，方差以常數(shù)平方倍擴(kuò)大

對(duì)于任意常數(shù)

若

那么3.方差等于各變量值平方的算術(shù)平均數(shù)減去各變量值算術(shù)平均數(shù)的平方

對(duì)于X1，X2，....Xn，算術(shù)平均數(shù)X=∑Xi/n

對(duì)于X12，X22，Xn2，算術(shù)平均數(shù)X2=∑Xi2/n

那么4.在分組條件下，總方差由組內(nèi)方差平均數(shù)和組間方差兩部分構(gòu)成

fi—各組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；xij—第i組第j個(gè)數(shù)據(jù)

組內(nèi)方差平均數(shù)

組間方差

那么例題：某車間兩個(gè)班組各7名工人，日完成生產(chǎn)量班組日裝配數(shù)量（件）甲2040607080100120乙606869707172100乙班組日裝配量的平均數(shù)比甲班組代表性強(qiáng)某企業(yè)工人日產(chǎn)量分組資料如下日產(chǎn)量組中值工人數(shù)xf20—302510030—403535040—504540050—6055150合計(jì)——1000離差離差平方加權(quán)離差方X-X（X-X）2（