2023年對數(shù)函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1．對數(shù)的概念:一般地，假如,那么數(shù)叫做認(rèn)為底的對數(shù),記作：(—底數(shù)，—真數(shù),—對數(shù)式）說明：eｑ＼o\ａc(○,1）注意底數(shù)的限制，且;eｑ＼ｏ＼ac(○,２)；eq\o\ac(○,3)注意對數(shù)的書寫格式．兩個重要對數(shù)：eq\o\aｃ(○,1）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù);ｅq\ｏ\aｃ(○，２）自然對數(shù):以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù).(二)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)假如,且，，，那么：ｅq＼o\ac(○，1)·+；eq\o\ac（○,2）-；eq\o\ac（○,3)．注意：換底公式 （,且;，且；）．運(yùn)用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（１）;（2)．(二)對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù),且叫做對數(shù)函數(shù),其中是自變量，函數(shù)的定義域是（０,＋∞).注意：ｅq\o\ac(○，１)對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義，注意辨別。如：,都不是對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．eq\ｏ＼ac(○,２)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：,且．2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):ａ>10<a＜１定義域x＞０定義域ｘ＞0值域為R值域為Ｒ在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（１,0）函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）對數(shù)函數(shù)·例題解析例1.求下列函數(shù)的定義域：；（2)；(3).解:（１)由>０得,∴函數(shù)的定義域是；(2)由得,∴函數(shù)的定義域是;（3）由９－得－３，∴函數(shù)的定義域是．例２.求函數(shù)和函數(shù)的反函數(shù)。解:（1)∴；（2）∴.例4.比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海ǎ保?;(2)，;(３)，.解：（１）對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是；（2）對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù),于是;(３)當(dāng)時,對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是,當(dāng)時,對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是.例５.比較下列比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?1)，;(2),；(3)，,；(4）,，.解：（１）∵，，∴；（２）∵,,∴.(３)∵，，,∴.（4)∵,∴．例7.求下列函數(shù)的值域:;(2）;(3)(且)．解:(1)令，則，∵，∴,即函數(shù)值域為.（2)令，則,∴,即函數(shù)值域為.（3）令,當(dāng)時,，即值域為,當(dāng)時，，即值域為．例8．判斷函數(shù)的奇偶性。解:∵恒成立,故的定義域為，，所以,為奇函數(shù)。例９.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：令在上遞增，在上遞減，又∵,∴或，故在上遞增,在上遞減，又∵為減函數(shù)，所以,函數(shù)在上遞增,在上遞減。例10.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),的取值范圍。解:令,∵函數(shù)為減函數(shù),∴在區(qū)間上遞減,且滿足,∴，解得,所以,的取值范圍為．解(2）∵１-ｌoga（x+ａ）＞0,∴l(xiāng)oga(x+a)＜1．當(dāng)a＞1時,0<x+a＜ａ,∴函數(shù)的定義域為（－a，0）．當(dāng)０<a＜1時,x＋a>a,∴函數(shù)的定義域為（０，＋∞)．域和值域.反函數(shù)的定義域為(0，1),值域為y∈Ｒ.【例3】作出下列函數(shù)的圖像，并指出其單調(diào)區(qū)間.(1)ｙ=ｌg(-x)(2）y=lｏg2|ｘ+1｜解(1）y=lg(-x)的圖像與y=lgx的圖像關(guān)于y軸對稱,如圖2．8-3所示,單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0).解(2)先作出函數(shù)y=log２|ｘ|的圖像，再把它的圖像向左平移1個單位就得y＝loｇ2|x＋1|的圖像如圖2.8-４所示．單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-１).單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞)．的圖像,保存其在ｘ軸及ｘ軸上方部分不變，把x軸下方的圖像以x軸為所示單調(diào)減區(qū)間是(－1，2].單調(diào)增區(qū)間是[2,＋∞)．解(4）∵函數(shù)y=loｇ2(－ｘ）的圖像與函數(shù)ｙ＝loｇ2x的圖像關(guān)于y軸對稱,故可先作y=log2(-x）的圖像,再把ｙ＝log2(－x)的圖像向右平移1個單位得到y(tǒng)=log2（1－ｘ)的圖像．如圖2.8－６所示.單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1).【例４】圖2．8-７分別是四個對數(shù)函數(shù),①ｙ＝ｌｏgaｘ②y＝lｏｇbx③ｙ＝logcｘ④y=ｌogｄx的圖像,那么a、b、c、d的大小關(guān)系是[]A.d＞c>b>a B.ａ＞ｂ>c＞ｄC.b>ａ＞d>c D.b＞c＞a＞d解選C，根據(jù)同類函數(shù)圖像的比較，任取一個x>１的值，易得b＞a>１＞ｄ＞c．【例5】已知ｌoｇa3>logb３，試擬定ａ和b的大小關(guān)系．解法一令y1=logax，y2=logbｘ，∵logax＞lｏgb3，即取x＝3時,y1＞ｙ2,所以它們的圖像,也許有如下三種情況：（１)當(dāng)ｌogａ3＞ｌogb3>0時，由圖像2.８－８,取x=3,可得b>ａ＞1.（2)當(dāng)0＞ｌoga３>logb３時,由圖像2.８－9，得0<ａ<ｂ<１.（３）當(dāng)lｏgａ３＞0>logｂ３時,由圖像2．8－10，得a>１>b＞0.順序是：_____.奇偶性．解法一已知函數(shù)的定義域為R，則－x∈R∴ｆ(ｘ)是奇函數(shù).解法二已知函數(shù)的定義域為R=ｌogａ１=０∴f(x)=－f(ｘ),即f(x）為奇函數(shù)．單元測試一、選擇題（每小題5分，共5０分）.１．對數(shù)式中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?（）A．?Ｂ.（2,5) Ｃ.?D.２．假如ｌｇx＝ｌga+3lgb-5lgc,那么 ()Ａ．ｘ=a+3ｂ-c?Ｂ. Ｃ． D．x＝a＋b3－c３3．設(shè)函數(shù)ｙ=ｌｇ(ｘ2－5x)的定義域為M,函數(shù)y=lg(ｘ-5)+ｌgx的定義域為N,則?()A.M∪N=R B．Ｍ＝Ｎ?C．MN?D.MN４.若ａ＞0，b>0，ａｂ＞1，＝lｎ２，則ｌoｇab與的關(guān)系是?（)A．loｇaｂ＜ B．logab=C．loｇab>? D.ｌoｇab≤5.若函數(shù)log2(kx２+4kｘ＋3)的定義域為Ｒ,則ｋ的取值范圍是??(）Ａ. B． C. D.6.下列函數(shù)圖象對的的是? （）AＢＣD7．已知函數(shù),其中l(wèi)og2ｆ（x)=2x，xR，則ｇ(x) （）A．是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．是偶函數(shù)又是增函數(shù)Ｃ.是奇函數(shù)又是增函數(shù)?D.是偶函數(shù)又是減函數(shù)９．假如y=ｌog2a－1x在(０,+∞）內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是? ()Ａ．｜a|＞1?B.｜a|<２ C．a(chǎn) D.１0．下列關(guān)系式中，成立的是? ?（)A．?B.C. D.二、填空題：（每小題6分,共２4分）．11．函數(shù)的定義域是，值域是.12．方程lｏg2(２x+１）loｇ2（2ｘ+1+2)=2的解為．1３．將函數(shù)的圖象向左平移一個單位,得到圖象C1,再將C１向上平移一個單位得到圖象C2,作出C2關(guān)于直線ｙ=x對稱的圖象C3，則Ｃ3的解析式為.14.函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是．三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié)(共76分）.１５.(12分)已知函數(shù)．(１)求函數(shù)f（x)的定義域;（2)求函數(shù)f(x)的值域.(1２分）設(shè)x，y,z∈Ｒ＋,且3x=4y＝6z．（1)求證：;(2)比較３x，4y,６z的大小.１7.（1２分）設(shè)函數(shù).(1）擬定函數(shù)f(x）的定義域;(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(３)證明函數(shù)ｆ(ｘ)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù);(4)求函數(shù)f(ｘ)的反函數(shù).１8．現(xiàn)有某種細(xì)胞1０0個，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時分裂一次，即由1個細(xì)胞分裂成２個細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，通過多少小時，細(xì)胞總數(shù)可以超過個?（參考數(shù)據(jù)：)．20.(1４分）已求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.必修１數(shù)學(xué)章節(jié)測試(７）—第二單元(對數(shù)函數(shù))一、DＣCABＢDBＤA二、１1．,;１2.0；1３.；１4.;三、１5．解：(1)函數(shù)的定義域為(1，p)．(2)當(dāng)p>3時,ｆ(ｘ)的值域為（－∞，2ｌoｇ2(p+1)－２)；當(dāng)1<p3時，f（ｘ)的值域為(－，1+loｇ2(p+1)）.16.解：(1)設(shè)3ｘ=4y=6z=t．∵x＞０,y>0,z>0，∴ｔ＞1,lgｔ＞0，∴.(2)3x＜４y＜6z.１７．解:(1)由得x∈R，定義域為R.(2)是奇函數(shù).(3）設(shè)x1,x2∈R，且ｘ1<x２,則.令，則．＝＝=∵x1-ｘ2＜0，，,，∴t１-t2<0，∴0＜t１<t２,∴，∴f(x1)-ｆ(x２）＜lg1=０,即ｆ(x1)＜f（x２),∴函數(shù)f(ｘ)在R上是單調(diào)增函數(shù).(４）反函數(shù)為(xR).18.解：現(xiàn)有細(xì)胞1００個,先考慮通過1、2、3、4個小時后的細(xì)胞總數(shù),1小時后，細(xì)胞總數(shù)為;2小時后,細(xì)胞總數(shù)為；3小時后,細(xì)胞總數(shù)為；4小時后,細(xì)胞總數(shù)為;可見,細(xì)胞總數(shù)與時間(小時）之間的函數(shù)關(guān)系為:，由,得,兩邊取以1０為底的對數(shù)，得，∴，∵，∴．答：通過4６小時,細(xì)胞總數(shù)超過個.19.解:(1）過A，Ｂ,C，分別作AA１,BB１，ＣC1垂直于ｘ軸，垂足為A１,B1,C1,則S=Ｓ梯形ＡA1Ｂ1B+S梯形BB１C1C－S