高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 全市獲獎

等差數(shù)列前n項(xiàng)和同步檢測一、選擇題1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,,，則（）A. B. C. D.答案：C解析：解答：由已知得，當(dāng)m≥2時，,，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又，解?故選C.分析：利用當(dāng)n≥2時，求出及的值，從而確定等差數(shù)列的公差，再利用前項(xiàng)和公式求出的值.2．已知{an}是等差數(shù)列，a1+a2=4，a7+a8=28，則該數(shù)列前10項(xiàng)和S10等于（）A、64 B、100C、110 D、120答案：B解析：解答：設(shè)公差為d，由a1+a2=4，a7+a8=28得故選B．分析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，求出a1和d，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可．3．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為Sn，若a2＋a6＋a7＝18，則S9的值是()A．64 B．72C．54 D．以上都不對答案：C解析：解答：設(shè)公差為d，由a2＋a6＋a7＝3a1＋12d＝3a5＝18，得a5＝6.所以S9＝＝9a5＝54，故選C分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+q，am+an=ap+aq，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可．4．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2=3，a6=11，則S7等于（）A、13 B、35C、49 D、63答案：C解析：解答：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a2=3，a6=11，得故選C．分析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，求出a1和d，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可．5．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣49，則當(dāng)Sn取最小值時，項(xiàng)數(shù)n（）A、1 B、23C、24 D、25答案：C解析：解答：由an=2n﹣49,當(dāng)n=1時，a1=-47數(shù)列，則{an}為等差數(shù)列（n﹣24）2﹣242結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)n=24時和有最小值故選：C分析：由an=2n﹣49可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.6.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a7＞0，a8＜0，則下列結(jié)論正確的是()A．S7＜S8 B．S15＜S16C．S13＞0 D．S15＞0答案：C解析：解答：根據(jù)數(shù)列的增減性，由已知可知該等差數(shù)列{an}是遞減的，且S7最大即Sn≤S7對一切n∈N*恒成立．可見選項(xiàng)A錯誤；易知a16＜a15＜0，S16＝S15＋a16＜S15，選項(xiàng)B錯誤；S15＝(a1＋a15)＝15a8＜0，選項(xiàng)D錯誤；S13＝(a1＋a13)＝13a7＞0.分析：因?yàn)楣罘橇愕牡炔顢?shù)列具有單調(diào)性(遞增數(shù)列或遞減數(shù)列)，根據(jù)數(shù)列的增減性，即可.7．在等差數(shù)列{an}中，a9＝a12＋6，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11＝()A．24C．66答案：D解析：解答：由a9＝a12＋6，得2a9－a12＝12.由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a6＋a12－a12＝12，a6＝12，S11＝＝＝132，故選D.分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+q，am+an=ap+aq，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可．8、數(shù)列{an}中，a1=﹣60，且an+1=an+3，則這個數(shù)列的前30項(xiàng)的絕對值之和為（）A、495 B、765C、3105 D、120答案：B解析：解答：∵an+1﹣an=3，∴an=3n﹣63，知數(shù)列的前20項(xiàng)為負(fù)值，∴數(shù)列的前30項(xiàng)的絕對值之和為：﹣a1﹣a2﹣…﹣a20+a21+…+a30=﹣s20+（s30﹣s20）=765故選B.分析：在理解概念的基礎(chǔ)上，由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，歸納出數(shù)學(xué)表達(dá)式，對于絕對值的應(yīng)用，若記不住它的前幾項(xiàng)的絕對值和的表示，可以自己推導(dǎo)出來，但以后要記?。?、已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是（）A、21 B、20C、19 D、18答案：B解析：解答：設(shè){an}的公差為d，由題意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②聯(lián)立得a1=39，d=﹣2，∴sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故當(dāng)n=20時，Sn達(dá)到最大值400．故選B．分析：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題可以轉(zhuǎn)化為利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題，但注意n取正整數(shù)這一條件．10．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－3，ak＋1＝eq\f(3,2)，Sk＝－12，則正整數(shù)k的值為（）.A．12答案：B解析：解答：根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)，可得Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝，又Sk＋1＝＝＝，解得k＝13.分析：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的合理運(yùn)用即可．11．已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為（）A、5 B、4C、3 D、2答案：C解析：解答：因?yàn)榈炔顢?shù)列共有10項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之和為a1+a3+a5+a7+a9=15①，偶數(shù)項(xiàng)之和為a2+a4+a6+a8+a10=30②，則②-①得5d=15，故d=3，故選C．分析：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和和偶數(shù)項(xiàng)和的問題也可以這樣解，讓每一個偶數(shù)項(xiàng)減去前一奇數(shù)項(xiàng)，有幾對得到幾個公差，讓偶數(shù)項(xiàng)和減去奇數(shù)項(xiàng)和的差除以公差的系數(shù)．12．如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么S7＝()A．14B．21C．28D．35答案：C解析：解答：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12?a4＝4，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+q，am+an=ap+aq，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可．13．等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，a1＝－2023，＝2，則S2023的值為()A．－8064B．8065C．8064D．8062答案：C解析：解答：，∴{}為以a1為首項(xiàng)，以eq\f(d,2)為公差的等差數(shù)列．∴＝2×eq\f(d,2)＝2.∴d＝2.∴S2023＝2023×(－2023)＋8064.分析：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，認(rèn)真審題即可。14.已知Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若對任意的n∈N*滿足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，則S2023＝()A．1006×2023B．1006×2023C．1008×2023D．1007×2023答案：C解析：解答：在an+1=an+a2中，令n=1，得a2=a1+a2，a1=0，令n=2，得a3=2=2a2，a2=1，于是an＋1-an=1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，∴S2023==1008×2023．故選：C．分析：由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{an}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出S2023．15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2﹣8n，第k項(xiàng)滿足4＜ak＜7，則k=（）A、6 B、7C、8 D、9答案：B解析：解答：由an=，得，當(dāng)n=1時適合，故，因?yàn)?＜ak＜7，所以4＜2k-1＜7，所以＜k＜8，又因?yàn)樗詋=7.分析：先利用公式an=求出an，再由第k項(xiàng)滿足4＜ak＜7，建立不等式，求出k的值．二、填空題16.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a1＝4，則公差d等于答案：－2解析：解答：由題意，得6＝3×4＋d，解得d＝－2.分析：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，認(rèn)真審題即可。17.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為QUOTE，且記，如果存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，≤M都成立，則M的最小值是.答案：2解析：解答：∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，首項(xiàng)為a1，因?yàn)椋獾胊1=1，d=4，可解得，∴.若≤M對一切正整數(shù)n恒成立，則只需的最大值≤M即可.又<2，∴只需2≤M，故M的最小值是2.分析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，求出a1和d，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，代入求解即可．18、已知f（n）=1+3+5+…+（2n﹣5），且n是大于2的正整數(shù)，則f（10）=．答案：64解析：解答：由題意得，f（10）=1+3+5+…+（2×10﹣5）=1+3+5+…+15=1+3+5+7+9+11+13+15=64，故答案為：64．分析：由題意知f（n）是求大于等于1的奇數(shù)和，令n=10代入求出f（10）中最后一項(xiàng)，再求出所有的奇數(shù)和．19．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，則S10的值為__________．答案：110解析：解答：∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，首項(xiàng)為a1，因?yàn)閍3＝16，S20＝20，解得a1=20，d=-2，∴S10＝10×20＋.分析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，求出a1和d，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求解即可．20．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若－1＜a3＜1，0＜a6＜3，則S9的取值范圍是__________．答案：(－3,21)解析：解答：∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，首項(xiàng)為a1，因?yàn)镾9＝9a1＋36d＝x(a1＋2d)＋y(a1＋5d)，由待定系數(shù)法得x＝3，y＝6.因?yàn)椋?＜3a3＜3,0＜6a6＜18，兩式相加即得－3＜S9＜21.分析：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及“待定系數(shù)法”求解即可．三、解答題21、已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=﹣3．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；答案：設(shè)出等差數(shù)列{an}的公差為d，由，因?yàn)閍1=1，a3=﹣3，所以=1+2d=-3，解得d=-2，故=3-2n。（2）若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=﹣35，求k的值．答案：由（1）可得=3-2n，所以所以Sk=﹣35，故2k-2k2=35，解得k=7或k=-5，又因?yàn)榻馕觯悍治觯海?）設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)首項(xiàng)為1和第3項(xiàng)等于﹣3，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到關(guān)于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由首項(xiàng)和公差表示出等差數(shù)列的前k項(xiàng)和的公式，當(dāng)其等于﹣35得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據(jù)k為正整數(shù)得到滿足題意的k的值．22．等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＝－38，a12＝0，求Sn的最小值以及相對應(yīng)的n值．答案：(單調(diào)性法)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則有，解得∴當(dāng)即時，Sn有最小值，解得11≤n≤12，∴當(dāng)n＝11或12時，Sn取得最小值，最小值為S11＝S12＝－132.(配方法)由解法一得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－22,d＝2))，∴Sn＝－22n＋×2＝n2－23n＝－，∴當(dāng)n＝11或12時，Sn取得最小值，最小值為S11＝S12＝－132.解析：分析：可由已知條件，求出a1，d，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))求解，亦可用Sn利用二次函數(shù)求最值．23.已知函數(shù)f（x）=-2x2+22x，數(shù)列{QUOTEan}的前n項(xiàng)和為QUOTE，點(diǎn)（n，）（n∈QUOTE）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上.（1）求數(shù)列{QUOTEan}的通項(xiàng)公式QUOTEan及前n項(xiàng)和；答案：因?yàn)辄c(diǎn)QUOTE（n，QUOTE）（n∈QUOTE）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，所以QUOTE=-2QUOTE+22n.當(dāng)n=1時，QUOTE=QUOTE=20;當(dāng)n≥2時，QUOTEan=QUOTE-QUOTE=-4n+24.所以an=-4n+24（n∈QUOTE）.（2）存在k∈N*，使得QUOTE++…+QUOTE<k對任意n∈N*恒成立，求出k的最小值；答案：存在k∈QUOTE，使得QUOTE++…+QUOTE<k對任意n∈QUOTE恒成立，只需k>（QUOTE++…+QUOTE）maxQUOTE，由（1）知=-2+22n，所以＝-2n+22=2（11-n）.當(dāng)n<11時，QUOTE>0；當(dāng)n=11時，QUOTE=0；當(dāng)n>11時，QUOTE<0.所以當(dāng)n=10或n=11時，QUOTE\*MER