第1章條件概率,全概率公式(二)

第一章隨機事件與概率（二）本章要點了解概率論中的一些基本概念:隨機試驗,樣本點,樣本空間.事件的關(guān)系和運算.了解概率的統(tǒng)計定義和古典概型.了解概率的公理化定義及相關(guān)性質(zhì),掌握古典概型中概率的計算方法.五、條件概率與事件的獨立性1.條件概率引例某家電商店庫存有甲、乙兩聯(lián)營廠生產(chǎn)的相同牌號的冰箱臺,甲廠生產(chǎn)的臺中有臺次品.乙廠生產(chǎn)的臺中有臺是次品.今工商質(zhì)檢隊隨機地從庫存的冰箱中抽檢一臺,那么抽檢到的臺是次品（記為事件）的概率有多大？轉(zhuǎn)變?yōu)樵谑录l(fā)生的前提下（增加了一個附帶條件）,由古典概率的計算,知若商店有意讓質(zhì)檢隊從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽檢臺,那么這臺是次品的概率又是多少？容易得到,此時的概率為注意到這兩個概率是不同的,想想為什么?從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取臺（記為事件）,則問題即在“抽到的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)”的條件下,求事件發(fā)生注意到,的概率.如此概率稱為條件概率,記為從而有關(guān)系:⑴下面就幾何概率,驗證上式的正確性.設(shè)樣本空間是某個區(qū)域,每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同,則由幾何概率的計算公式得:在事件發(fā)生的前提下（樣本空間從縮小到）,事件發(fā)生的概率為由此得到定義給定一個隨機試驗,是相應(yīng)的樣本空間,對于任意兩個事件其中稱為在已知事件發(fā)生的條件下,事件的條件概率.可以驗證,條件概率滿足概率公理化定義中的條公理.例21某建筑物按設(shè)計要求使用壽命超過年的概率為超過年的概率為該建筑物使用壽命超過年后,它將在年內(nèi)倒塌的概率有多大?解設(shè)事件表示“該建筑物使用壽命超過年”,事件表示“該建筑物使用壽命超過年”.由題意,得又因為故所求的條件概率為例22某袋中有紅球6個,白球4個,取二次球,每次取一解記分別表示第一、第二次取紅球的事件.由條注意到,此時且個.求在第一次取到紅球的條件下,第二次也取到紅球的概率（不放回）.件在第一次取紅球的條件下第二次取紅球的概率為:由⑴得設(shè)為事件,且由條件概率公式變形后有2.乘法公式⑵進一步地有設(shè)為事件,則⑶例23（機遇問題）解以表示第人摸到獎券這一事件,則由乘法公式得四個人摸到的概率.設(shè)有十人摸一張有獎的獎券,求第第四人摸到的事件為例23設(shè)袋中有個紅球和個白球.每次隨機地從袋的球,共取了次,試求次取到的都是紅球的概率.解設(shè)事件表示第次取到的是紅球,則中取球,然后把原球放進,再放進個與取出的球同色所以⑴獨立的意義問題的引出:設(shè)是隨機試驗,是相應(yīng)的樣本空間,是兩個事件.在前面的眾多例子中,我們看到,在一般情況下,事件的發(fā)生都會對事件的發(fā)生產(chǎn)生影響,但某些情況下,事件的發(fā)生與的發(fā)生沒有任何影響.用數(shù)學(xué)公式來反映的話即為:2.隨機事件的獨立性例24一袋中裝有個4白球,2個黑球,從中有放回取兩次,解以表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的又有條件概率公式每次取一個.求在第一次取到的是白球的條件下,第二次取到的也是白球的概率.也是白球,則有即:上式表明:事件的發(fā)生對事件的發(fā)生沒有任何影響.再由條件概率公式:實際上,由于該問題是一個放回抽樣問題,常識告訴我們,事件不應(yīng)該對事件產(chǎn)生影響.由上式:和前式相比較,有為此,我們引入下面概念.定義設(shè)為事件,且滿足則稱事件是獨立的.⑵獨立性⑷定理如果件是則事件獨立的充分必要條定理下列個命題是等價的:⑴事件與相互獨立;⑵事件與相互獨立;⑶事件與相互獨立;⑷事件與相互獨立.注意該定理的意義.定義設(shè)為事件組,且任取有則稱是相互獨立的.當(dāng)時,事件組獨立的含義是:當(dāng)⑸成立,則稱事件組是兩兩獨立的.⑸⑹例25 某項工作交由三個人獨立完成,設(shè)這三人完成的解設(shè)分別表示第一,第二,第三人完成該工再設(shè)事件表示工作被完成,則因又概率分別為求該項工作被完成的概率.作,則所以所以注意求解該類題的一般方法.例26已知每個人的血清中含有肝炎病毒的概率為解事件“混合后的血清中含有肝炎病毒”等價于“100個且他們是否含有肝炎病毒是相互獨立的.今混合100個人的血清,試求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”.設(shè)事件表則所求概率為:示“第個人的血清中含有肝炎病毒”,即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率為0.33.此例說明,小概率事件在多次的重復(fù)試驗中會有較大可能出現(xiàn).3.獨立性在可靠性問題中的應(yīng)用可靠性問題是系統(tǒng)設(shè)計,產(chǎn)品質(zhì)量控制中的一類重要問題.在以下討論中,假設(shè)各元件是否能正常工作是相互獨立的.解設(shè)表示各部件正常,靠度為因此系統(tǒng)的可靠度為例27設(shè)一個系統(tǒng)由個元件串聯(lián)而成,第個元件的可試求這個串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度.表示系統(tǒng)正常,則系統(tǒng)正常等價于每個部件正常.這樣的問題稱為串聯(lián)系統(tǒng)問題.例28設(shè)某臺設(shè)備由六部件組成,已知該設(shè)備出故障解設(shè)表示各部件正常,表示設(shè)備正常,又每個部件都出故障.又,每個部件工作出故障的可能性為求設(shè)備正常工作的概率.則有該問題稱為并聯(lián)系統(tǒng)問題.例29設(shè)一個系統(tǒng)由個元件組成,其連接方式如圖所示,試求這個混合系統(tǒng)的可靠度.解元件組成一個并聯(lián)系統(tǒng),相應(yīng)的可靠度為該系統(tǒng)與元件組成一個串聯(lián)系統(tǒng),此時可靠度為最后與元件構(gòu)成并聯(lián)系統(tǒng),故相應(yīng)的可靠度為⑴貝努利試驗?zāi)繕?biāo)是相互獨立的.則稱這個試驗為貝努利試驗,相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努4.貝努利概型和二項概率甲、乙、丙名射手向同一目標(biāo)射擊,把每個射手的射擊看做是一個試驗,共有個試驗.假定每個射手射中假定個試驗的試驗結(jié)果是相互獨立的,便稱這個試驗相互獨立.如果在次試驗中,我們只關(guān)心某個事件是否發(fā)生,利概型.通常記則如果把貝努利試驗獨立地重復(fù)做次,這個試驗合在一起稱為重貝努利概型.設(shè)事件表示“重貝努利試驗中事件恰好發(fā)生次”在指定的次試驗中發(fā)生而其余的為的概率為:注意到,這樣的指定方式總共有個,所以所求概率為又因為這樣的概率僅和數(shù)有關(guān),因而上式常常簡記為通常又稱上式為二項概率.⑺例30拋起一枚均勻的硬幣次,試求恰出現(xiàn)次正面向上的概率.解此時由公式⑺得例31設(shè)某人開車回家,途經(jīng)6個道口,已知在每個道口解此為的二項概率.由公式⑺得1.2.遇紅燈的概率為0.4,求1.恰好遇到4個紅燈的概率;2.至少遇到二個紅燈的概率.例32某小區(qū)有10部電梯,每部電梯發(fā)生故障的概率為解此問題是的二項概率,以表示在0.2,求在同一時刻有三部電梯發(fā)生故障的概率.同一時刻電梯發(fā)生故障的臺數(shù),則問題為求概率由公式⑺得該問題可以進一步延伸為:某小區(qū)有200部電梯,每部電梯發(fā)生故障的概率為0.02,電梯發(fā)生故障時,物業(yè)管理部門需要派出一名維修工人進行修理.要保證電梯發(fā)生故障時,物業(yè)管理部門一定有維修工人可以派遣,則一個最可靠的方法是,為每一部電梯都安排一個維修人員.但實際上,沒有一個物業(yè)管理部門會這樣做.現(xiàn)在的問題是,如果我們要求以95%的把握保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時,物業(yè)部門有維修人員可以派遣,則應(yīng)該聘用多少名維修人員？若以表示發(fā)生故障的電梯臺數(shù),表示聘用的維修人即要找到適當(dāng)?shù)氖股鲜匠闪?若用公式⑺進行計算,員數(shù),則問題為則問題是比較復(fù)雜的.在下一章中,我們尋找更好的方法來解決該問題.例33甲、乙兩名選手進行比賽,已知甲的實力較強,每盤棋獲勝的概率為假定每盤棋的勝負是相互獨立的,在下列種情況下,試求甲最終獲勝的概率.⑴采用三盤比賽制;⑵采用五盤比賽制;⑶采用九盤比賽制.解每盤比賽只有“甲勝”（記作）與甲負（記作）兩種結(jié)果，此為一個貝努利概型.⑴⑵⑶1.完備事件組六、全概率公式和貝葉斯公式設(shè)為隨機試驗,為相應(yīng)的樣本空間,⑴⑵則稱該事件組為完備事件組.為事件組,若滿足是一個完備事件組.例34設(shè)而注完備事件組實質(zhì)上是樣本空間的一個劃分.2.全概率公式與逆概率公式⑵貝葉斯公式⑴全概率公式定理設(shè)個事件構(gòu)成樣本空間的一個劃分,是一個事件,當(dāng)時,當(dāng)時,⑻⑼公式⑼稱為貝葉斯公式或逆概率公式不合格率分別為機地取了一臺.⑴求該產(chǎn)品為不合格品的概率;⑵顧客開箱測試后發(fā)現(xiàn)冰箱不合格,但這臺冰箱的廠標(biāo)例35某商店有臺相同型號的冰箱待售,其中臺是甲廠生產(chǎn)的,臺是乙廠生產(chǎn)的,臺是丙廠生產(chǎn)的,一位顧客從這批冰箱中隨已經(jīng)脫落,試問這臺冰箱是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的概率各為多少?解以分別表示“顧客買到的冰箱是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的”,由全概率公式⑻得:則是樣本空間的一個劃分,且⑴再設(shè)表示“買到的是不合格品”,則⑵由貝葉斯公式⑼:注意對一個較為復(fù)雜的由多種“原因”形成的概率問題,使用全概率公式是一個很好的選擇.例36甲袋中有紅球6個,白球3個,乙袋中有紅球5個,白解以分別表示從甲袋及乙袋中取到的是紅球,則由全概率公式⑻得球4個,今隨機地從甲袋中取一球放入乙袋,再從乙袋中取一球,求從乙袋中取紅球的概率.注意該概率的具體意義.例37設(shè)有三箱產(chǎn)品,其中甲箱有產(chǎn)品120件,次品率⑴隨機取一箱,再取一件,取到的是次品;⑵開箱后混放,從中取一件,取到的是次品;乙箱有100件,次品率丙箱有200件,次品率求以下概率:⑶在第二種情況下,發(fā)現(xiàn)是次品,該產(chǎn)品是由乙廠生產(chǎn)的.解設(shè)表示從甲、乙、丙三箱中取產(chǎn)品,表⑴由于是隨機取箱,所以示取到的是次品,則由全概率公式⑻又⑵由于第二個問題是開箱后混放產(chǎn)品,故取到各箱產(chǎn)品的概率就不同了,此時產(chǎn)品總數(shù)為420件,所以再由全概率公式得⑶因由貝葉斯公式⑼例37一批產(chǎn)品中,由甲、乙、丙三廠共同生產(chǎn)的,其中解以分別表示從甲、乙、丙三廠取產(chǎn)品,則又設(shè)表示取到的是次品,則甲廠的產(chǎn)品占次品率為乙廠的產(chǎn)品占次品率為丙廠的產(chǎn)品占次品率今隨機地抽取一產(chǎn)品,已知取到的是次品,則該產(chǎn)品是由乙廠生產(chǎn)的概率是多少?及由全概率公式,得再由公式⑼得例38某架飛機有可能飛過三城市上空,飛過甲地的概解設(shè)表示飛機飛過甲、乙、丙三城市的上空,率為0.2;飛過乙地的概率為0.5;飛過丙地的概率為0.3;當(dāng)飛機飛過城市,有可能被擊落,擊落的概率分別為現(xiàn)已知飛機被擊落,問飛機在哪個城市上空被擊落的可能性最大？表示飛機被擊落,則由已知條件得:及則由全概率公式得,再由貝葉斯公式⑼得:所以,在乙城市上空被擊落的可能性最大.例39三人獨立向一飛機射擊,命中率分別為解設(shè)分別表示第一、二、三人擊中飛機,則又設(shè)表示有一人擊中飛機,則已知飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.4,如果被二人擊中,被擊落的概率為0.7,三人擊中,則飛機一定被擊落.求飛機被擊落的概率.上式中的事件是兩兩互不相容的,因而有設(shè)表示飛機被擊落,則由已知條件得及和最后設(shè)表示有三人同理,設(shè)表示有二人擊中飛機,則有擊中飛機,則有及由全概率公式得例40（橋式系統(tǒng)）設(shè)一個系統(tǒng)由個元件組成,連接方式如下圖.每個元件的可靠度都是每個元件是否正常工作是相互獨立的,試求這個橋式系統(tǒng)的可靠度.當(dāng)元件正常時,系統(tǒng)相當(dāng)于下圖所示一個混聯(lián)系統(tǒng):解記表示元件處于正常工作,表示系統(tǒng)正常.因而可靠度為若不發(fā)生時,系統(tǒng)如下圖所示的混聯(lián)系統(tǒng):因而可靠度為由全概率公式得七、部分作業(yè)解答1.2化簡下列各式⑴⑵解⑴⑶⑵⑶1.3某建筑物倒塌（記為事件）的原因有以下三個:1.地震（記為事件）；2.臺風(fēng)（記為事件）;3.暴雨（記為事件）.已知臺風(fēng)時必有暴雨,試用簡明的形式表達下列事件解1.6已知件產(chǎn)品中有是不合格品,今從中隨機地抽件,試求:⑴產(chǎn)品中恰有不合格品的概率;⑵產(chǎn)品中至少有一件不合格的概率.解⑴以表示取到的件產(chǎn)品中恰有件是次品,則取法總數(shù)為而取到的產(chǎn)品中恰有件是次品的取法數(shù)為因而所求的概率為⑵以表示取到的產(chǎn)品中至少有一件是次品,則表示取到的產(chǎn)品都是正品.所以所求概率為所求概率為:中取,相應(yīng)的取法數(shù)是1.7一個口袋里裝了球,編號分別是今隨機地從袋取只球,試求:⑴最小號碼是的概率;⑵最大號碼是的概率.解⑴以表示取到的最小號碼是此意味著另外球從⑵記事件表示“最大號碼是”，則同樣地有1.11設(shè)是兩個事件,已知試求解因所以1.12設(shè)是個事件,已知試求中至少有個發(fā)生的概率和全不發(fā)生的概率.解1.14一盒子中裝有只晶體管,其中有只是不合格品.現(xiàn)在做不放回抽樣,連接取次,每次隨機地取只,試求下面事件的概率:⑴只都是合格品;⑵只是合格品,是不合格品;⑶至少有只是合格品.解連續(xù)兩次取產(chǎn)品的所有可能的取法總數(shù)是⑴以表示取到的都是合格品,則取法總數(shù)是所以⑵以表示取到的產(chǎn)品中有一個是合格品,則取法數(shù)為所以⑶以表示取到的產(chǎn)品中至少有一個是合格品,則表示取到的產(chǎn)品中全部是不合格品.因而所以1.15一商店出售晶體管,每盒裝只.已知每盒中有只為不合格品.商店采用“缺一賠十”的銷售方式.顧客買一盒晶體管,如果隨機地取只,發(fā)現(xiàn)是不合格品,商店要立刻把只合格的晶體管放入盒中.不合格的那只晶體管就不再放回.顧客在一只盒子中隨機地先后取只晶體管進行測試,試求他發(fā)現(xiàn)全是不合格品的概率.解以表示第次取到的是不合格品,則由已知條件得:由乘法公式得1.16設(shè)是兩個相互獨立事件,已知求解由獨立性由此得1.18設(shè)一名情報員能破譯一份密碼的概率是試問,至少要使用多少名情報員才能使破譯一份密碼的概率大于解設(shè)總共使用名情報員破譯密碼.則密碼被破譯的概率為又由已知條件即所以要使用名情報員.1.20有個元件,每個元件的可靠度都是試求下列系統(tǒng)的可靠度:⑴每個元件串聯(lián)成一個子系統(tǒng),再把這兩個子系統(tǒng)并連;⑵每兩個元件并聯(lián)成一個子系統(tǒng),再把這個子系統(tǒng)串連.解⑴個元件串聯(lián)之后的可靠度為:所以兩個子系統(tǒng)并聯(lián)之后的可靠度為⑵兩個元件并聯(lián)后構(gòu)成的子系統(tǒng)的可靠度為因而個這樣的子系統(tǒng)串聯(lián)后所形成的系統(tǒng)的可靠度為1.22名籃球運動員獨立地投籃,每個運動員投籃的命中率都是他們各投籃一次,試求:⑴恰有次投中的概率;⑵至少有次投中的概率;⑶至多有次投中的概率;解該問題是一個的二項概率.⑴⑵所以⑶1.24某廠生產(chǎn)的鋼琴中有可以直接出廠,剩下的經(jīng)調(diào)試后,其中