第1章信號分類2013

第一章信號分析基礎(chǔ)2013.3.2

教師:王成剛本章主要內(nèi)容1、信息與信號的基本知識2、信號定義及分類3、周期信號的特征4、非周期信號的特征信號分析的任務(wù)是從信號中提取各種有用信息.信號是信息的載體．是物質(zhì)、具有能量，工程測試的對象。信息是描述物質(zhì)的狀態(tài)和方式。信息是以信號的形式表現(xiàn)出來的。1.信息與信號的基本知識1.信息與信號的基本知識

烽火臺：

狼煙

——信號信息

——敵人進(jìn)攻了；交通指示燈：信號

——紅綠燈；信息

——停止或前進(jìn)；

超聲波測試裂紋：信號：超聲波

信息

：裂紋

確定性信號和非確定性信號2、第一種分類形式主要介紹三種分類形式。確定性信號與隨機(jī)信號；連續(xù)信號與離散信號；能量信號與功率信號。確定性信號：可以用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表、圖象來描述的信號。例：①周期信號：式中的T0為周期信號的周期②集中參數(shù)的單自由度無阻尼自由振動系統(tǒng)在任意時刻t可以用如下式子來描述其精確位置。質(zhì)量中心的靜態(tài)平衡位置2、確定性信號與隨機(jī)信號對于確定性信號來說又可將之分為周期信號：按一定的時間間隔周而復(fù)始出現(xiàn)，無始無終的信號。用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為：T0——周期常見的周期信號中最為典型的就是諧波信號

諧波信號就是我們常見的正余弦信號，如上圖所示。余弦信號由于僅是在相位上與正弦信號相差90°，因此常將正余弦信號統(tǒng)一稱為——正弦信號或正弦波。除了諧波信號外，常見的周期信號有：①周期方波②周期三角波③周期鋸齒波④正弦波整流x(t)t0AT0/2T0x(t)t0AT0/2T0x(t)t0AT02T0x(t)t0AT0/2T0

復(fù)雜周期信號：x(t)=Asin0.5t+Asint+Asin2tx(t)t0上圖所見到的都是連續(xù)信號，還有周期序列。①周期單位正弦序列③周期鋸齒序列③周期單位脈沖序列（梳狀函數(shù)）在周期信號中有這樣幾個概念要求大家要弄清楚T0

——為周期信號的周期（）

——周期信號的頻率()——周期信號的圓頻率（又稱角頻率）()定義式中:三者之間的關(guān)系為：實際應(yīng)用中，n通常取為正整數(shù)

諧波信號：常用特征參量：均值、絕對均值、均方差值、均方根值（有效值）和均方值(平均功率)

描述。一般周期信號：（如周期方波、周期三角波等）是由多個乃至無窮多個頻率成分（頻率不同的諧波分量）疊加所組成，疊加后存在公共周期。準(zhǔn)周期信號：也由多個頻率成分疊加而成，但不存在公共周期。需要進(jìn)一步深入理解的概念：非周期信號：確定性信號中不具有周期重復(fù)性的信號。分為兩類：準(zhǔn)周期信號：兩種以上的周期信號合成，但分量間沒有公共的周期。（在此不討論）瞬變非周期信號：除了準(zhǔn)周期信號的其它的非周期信號。（重點討論）即能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖形圖表表示，又不具有重復(fù)固定周期的信號。例：①矩形窗函數(shù)②余弦波截斷函數(shù)W(t)t0A-T0/2T0/2x(t)t01-TT-1③指數(shù)衰減振蕩信號④三角波⑤單位階躍信號⑥符號函數(shù)⑦單位脈沖信號x(t)t0A-T0/2T0/2x(t)t01x(t)t01-1d(t)t010t⑧一般性的非周期信號非確定性信號：每次實驗觀測結(jié)果都不相同，無法用數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表描述其關(guān)系。正如其名字“非確定”，具有隨機(jī)性，是沒有規(guī)律可以遵循的，具有不重復(fù)性、不確定性、不可預(yù)估性。它的另外一個名字叫做“隨機(jī)信號”。對于非確定性信號，不能對它準(zhǔn)確預(yù)測，只能用概率統(tǒng)計的方法由過去估計未來。例

①

汽車奔馳所產(chǎn)生的振動；

②

飛機(jī)在大氣中的浮動；

③

樹葉隨風(fēng)飄動；

④環(huán)境噪聲；

……非確定性信號（隨機(jī)信號）又可分為在平穩(wěn)隨機(jī)過程中有一個重要的概念——各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程例：噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異隨機(jī)信號所具有的不確定性確定性信號和非確定性信號第一種分類形式可以總結(jié)如下：

主要介紹三種分類形式。連續(xù)信號與離散信號；確定性信號與隨機(jī)信號；能量信號與功率信號。右圖所示的信號要特別注意一下。（再一次強(qiáng)調(diào)）它的幅值是離散的，但是：時間離散——離散信號；時間連續(xù)——連續(xù)信號。2.2連續(xù)信號與離散信號連續(xù)信號：在連續(xù)的時間范圍內(nèi)有定義的信號。連續(xù)——時間連續(xù)。注意時間連續(xù)并不等于其幅值是連續(xù)的，這一點應(yīng)和后面講的離散信號區(qū)分開。例：x(t)t0x(t)t0A-T0/2T0/2x(t)t0xpx(t)t0A-T0/2T0/2t01sin(w0t)1離散信號：在一些離散的瞬間才有定義的信號。離散——時間離散。也就是說時間上只能取某些規(guī)定的值，在其它時間信號是沒有定義的。例：★連續(xù)信號的幅值可以是連續(xù)的，也可以是離散的。模擬信號：時間和幅值均為連續(xù)的信號常稱為模擬信號。數(shù)字信號：對于離散信號，幅值為離散的量化了的信號，稱為數(shù)字信號。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)在實際應(yīng)用中，連續(xù)信號與模擬信號兩個名詞常常不予區(qū)分，離散信號與數(shù)字信號兩個名詞也?；ハ嗤ㄓ?。一般，在研究理論問題時常用“連續(xù)”、“離散”二詞，而討論具體的實際問題時常用“模擬”、“數(shù)字”二詞。離散信號通常是對連續(xù)信號等距采樣的結(jié)果。下面幾個圖表示的是典型的離散信號。單位脈沖函數(shù)（信號）單位階躍序列單位斜坡序列正弦序列實指數(shù)（下降）序列第一種分類形式可以總結(jié)如下

連續(xù)信號和離散信號對于機(jī)械量來說，測量時常將機(jī)械量轉(zhuǎn)化為電量進(jìn)行測量，其它量的測試也亦如此。所轉(zhuǎn)化的電量以電壓量U及電流量I為多。壓降U(t)電流I(t)阻值R當(dāng)阻值R為單位阻值時即，上式為或若以代表電壓或電流信號，則信號平方就代表信號的瞬時功率即：那么：當(dāng)然為信號的能量將上述概念搞清楚后，能量信號和功率信號的概念就很好理解了。（不考慮量綱）3能量信號和功率信號能量信號：滿足式子的信號稱為能量有限信號，簡稱為能量信號。x(t)t01T-1x(t)t0A-T0/2T0/2W(t)t0A-T0/2T0/2功率信號：

若信號在區(qū)間內(nèi)的能量是無限的即：但是在區(qū)間滿足如下關(guān)系：我們稱這樣的信號為功率有限信號，簡稱為功率信號。瞬時功率信號能量平均功率例大家在前面見到的周期信號均為功率（有限）信號準(zhǔn)周期信號與隨機(jī)信號也是功率（有限）信號，不里不再畫圖。x(t)t0AT0/2T0x(t)t0AT02T0x(t)t0AT0/2T0x(t)t0AT0/2T0

以上幾種分類方式較為常用，但對信號的分類不僅僅有這三種形式，還有如我們書上介紹的

實信號與復(fù)信號；物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號；等等，請大家自閱。物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號物理可實現(xiàn)信號：又稱為單邊信號，滿足條件：t＜0時，x(t)=0，即在時刻小于零的一側(cè)全為零。b)物理不可實現(xiàn)信號：在事件發(fā)生前(t<0)就預(yù)知信號。(1)任何周期信號都由頻率不同，但成整倍數(shù)比的離散的諧波疊加而成。(2)非周期性變化的信號就是隨機(jī)信號。(3)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程。(4)平穩(wěn)隨機(jī)過程的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計持征。(5)所有隨機(jī)信號都是非周期信號。(6)所有周期信號都是功率信號。(7)所有非周期信號都是能量信號。(8)模擬信號的幅值一定是連續(xù)的。(9)離散信號即就是數(shù)字信號。答案：(1)-(4)××√√(5)-(9)×√×××信號的時域描述信號的頻域描述◆信號的時域描述：定義：我們直接觀測或記錄的信號一般是隨時間變化的物理量，也就是以時間t為獨立變量，描述信號隨時間的變化特征，反映信號幅值隨時間變化的關(guān)系。這種以時間t做為獨立變量的信號的描述方法，稱為時域法。4、信號的描述描述方法：波形圖：時間為橫坐標(biāo)的幅值變化圖優(yōu)點：形象、直觀缺點：不能明顯揭示信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)（頻率組成及各種頻率成分的幅值大小和相位大?。r域表達(dá)式……0tx(t)◆信號的頻域描述定義：應(yīng)用傅里葉級數(shù)或者傅里葉變換，對信號進(jìn)行變換（分解），以頻率為獨立變量建立信號幅值、相位與頻率之

間的函數(shù)關(guān)系。描述方法：頻譜圖：以頻率為橫坐標(biāo)的幅值、相位變化圖幅值譜：幅值—頻率圖，簡稱為幅頻圖；相位譜：相位—頻率圖，簡稱為相頻圖。優(yōu)點：頻域描述揭示了信號內(nèi)在的頻率組成及其幅值和相角的大小，描述更簡練、深刻、方便。由于在時域中對信號進(jìn)行描述不能揭示信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)（頻率組成及各種頻率成分的幅值大小和相位大?。?，因此有必要探求其它的對信號的描述方法。頻域描述就能夠揭示信號的頻率結(jié)構(gòu)?！?/p>

信號時域與頻域描述的關(guān)系時域描述與頻域描述是等價的，可以相互轉(zhuǎn)換，兩者蘊(yùn)涵的信息完全相同；時域描述與頻域描述各有用武之地，不能單純地說哪一個更好；將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域稱為頻譜分析，屬于信號的變換域分析；采用頻譜圖描述信號，需要同時給出幅值譜和相位譜；第二節(jié)周期信號與離散頻譜

三角函數(shù)展開式復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式一、周期信號的分解二、周期信號的強(qiáng)度表述峰值絕對均值有效值平均功率1、傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式在有限區(qū)間上，任何周期信號（函數(shù)），只要滿足狄里赫利條件（Dirichet）,都可以展開為傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式：余弦分量的幅值正弦分量的幅值式中：常值分量一、周期信號的分解在一周期內(nèi)，函數(shù)如果滿足：狄里赫利（Dirichet）條件連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；只有有限個極值點。我們稱這樣的信號滿足狄里赫利（Dirichet）條件。只有滿足狄里赫利（Dirichet）條件的信號才可以應(yīng)用上述傅里葉級數(shù)展開式。一般的周期信號均滿足上述條件，較為典型的不滿足狄氏條件的信號我們還將以例題的形式進(jìn)行講解。前面所得到的傅里葉級數(shù)展開式可以寫成另外的形式。其中：這是傅里葉級數(shù)三角函數(shù)展開式的另外一種寫法，與前述公式完全相同。前面所得到的傅里葉級數(shù)展開式可以寫成另外的形式。其中：……0tx(t)

例

方波信號的頻譜描述在時域中該周期方波的表達(dá)式為解由圖可見，這是一個周期信號，滿足狄氏條件（不證）可以應(yīng)用傅里葉級數(shù)展開。只需應(yīng)用前面講過的公式計算各系數(shù)即可?！?tx(t)將所求得的各系數(shù)代回到傅里葉級數(shù)展開式中。（第二種寫法）在工程中為了更加形象地描述信號，常采用繪圖的方式。幅頻譜相頻譜相位譜003050

()/24A

4A34A50A()03050幅值譜①只包括基波及各奇次諧波，偶次諧波為0；②諧波的幅值以的規(guī)律衰減。由表達(dá)式可以看出，不會出現(xiàn)負(fù)值。x(t)0tT0n=1n=3n=5圖2-5周期方波信號的時、頻域描述

例

周期性三角波的傅氏級數(shù)。x(t)0T0/2-T0/2At解該三角波在時域中表達(dá)式為：x(t)0T0/2-T0/2At將所求得的各系數(shù)代回到傅里葉級數(shù)展開式中。2003050

()A()4A

24A92

4A252003050

A2幅頻譜相頻譜4A

4A34A50A()03050方波幅值譜4A

24A92

4A252003050

A2三角波幅頻譜A()分析：若x(t)為奇函數(shù)，則有若x(t)為偶函數(shù)，則有可見這些系數(shù)并不需要都去求，如果不掌握可能出差錯的。這里分部積分法應(yīng)用得較多，請多做練習(xí)。應(yīng)用傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式得到的是周期信號的單邊頻譜。2、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式利用歐拉公式可推導(dǎo)出如下兩式：實際是兩式：代入：整理，周期信號可以寫為：按實頻譜和虛頻譜形式幅頻譜和相頻譜形式利用它們與頻率間的關(guān)系做圖：幅頻譜圖實頻譜圖虛頻譜圖相頻譜圖雙邊頻譜其中：……0tx(t)例方波信號應(yīng)用傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式進(jìn)行頻譜描述在時域中該周期方波的表達(dá)式為解

=0幅值譜2A

2A32A50A()030502A

2A32A5-0-30-50我們只畫了幅頻譜圖，沒有畫相頻譜圖。原因？0f()03050-0-30-50AA/20-00Re-負(fù)頻率的說明Im負(fù)頻率“負(fù)頻率”是運(yùn)算的需要。實際中，只有把負(fù)頻率項與相應(yīng)的正頻率項成對合并起來，才是實際的頻譜函數(shù)；從向量旋轉(zhuǎn)的角度：一個向量的實部可以看成兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量在其實軸上的投影之和，虛部為其在虛軸上的投影之差。在傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)表達(dá)式中的頻率范圍為也就是出現(xiàn)了“負(fù)頻率”。我們來看一下負(fù)頻率是什么含義。

所以負(fù)頻率僅是向量的旋轉(zhuǎn)方向不同而已，沒有其它的特殊含義。例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。解：由歐拉公式將正弦函數(shù)寫為正弦波余弦波由歐拉公式將余弦函數(shù)寫為：1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0cnR00-01/21/2cnR00-000-01/2-1/2cnIcnI00-000-01/21/200-01/21/2An001An001單邊幅頻譜單邊幅頻譜雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜幾點結(jié)論

復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（從-到+）兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關(guān)系：雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù)一般周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)傅氏展開式的實頻譜總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。通過以上分析及舉例，可以得出以下幾點結(jié)論：周期信號的頻譜是離散譜；（離散性）每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)；（諧波性）綜上所述，周期信號頻譜的特點如下：4A

24A92

4A2520A()03050

A2幅頻譜4A

4A34A50A()03050三角波方波一般周期信號展開成傅氏級數(shù)后，在頻域上是無限的，但從總體上看，工程上常見的周期信號，其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小。因此，在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高的諧波分量。（衰減性）4A

24A92

4A2520A()03050

A2幅頻譜4A

4A34A50A()03050三角波方波二、周期信號強(qiáng)度的表述峰值絕對均值有效值平均功率1、峰值一個周期內(nèi)信號出現(xiàn)的最大瞬時值的絕對值。峰—峰值一個周期內(nèi)信號出現(xiàn)的最大瞬時值與最小瞬時值的差值。作用：正確估計測試系統(tǒng)的動態(tài)工作范圍。均值：——信號的常值分量2、均值與絕對均值絕對均值：——信號全波整流后的均值3、有效值4、平均功率第三節(jié)瞬變非周期信號及其連續(xù)頻譜

頻率之比為有理數(shù)的多個諧波分量，其疊加后由于有公共周期，

→周期信號

一般非周期信號是指瞬變非周期信號→簡稱為瞬變信號當(dāng)信號中各個頻率比不是有理數(shù)時，則信號疊加后是準(zhǔn)周期信號

右圖就是一個典型的瞬變信號。前面已給大家舉了很多有關(guān)瞬變信號的例子。非周期信號

準(zhǔn)周期信號

信號中各簡諧成分

的頻率比為無理數(shù)晑

具有離散頻譜

瞬變信號在一定時間區(qū)間內(nèi)

存在或隨時間的增

長衰減至零x(t)0t準(zhǔn)周期信號x(t)=Asin9t+Asin[sqrt(31)t]x(t)0t瞬變信號Ix(t)=exp(-t)*sinw

t0tx(t)瞬變信號II一、瞬變非周期信號的譜密度與傅里葉變換

如前所述，對于周期為T的信號x(t),其頻譜是離散的。其相鄰兩條譜線間隔為。當(dāng)周期信號的周期時，周期信號就變成了非周期信號了，則頻率間隔，譜線無限靠近，最后成為一條連續(xù)曲線。所以非周期信號的頻譜是連續(xù)的。以前述的方波為例。4A

4A34A50A()03050若把非周期信號可以看成是周期T0

趨于無窮大的周期信號三個變化這就是傅里葉積分表達(dá)式。傅里葉變換(FT)傅里葉反（逆）變換(IFT)稱為二者互為傅里葉級數(shù)對，記作：※以代入得記為：這兩組式子分別以和為變量，后一組式子由于消除了這個因子，應(yīng)用起來更為方便，建議大家多使用后一組?！ㄟ^傅里葉變換得到的，一般來說是實變量的復(fù)函數(shù)，可以寫成實、虛部的形式，也可寫成幅值與相角的形式。傅里葉變換——信號的連續(xù)幅值譜——信號的連續(xù)相位譜用周期信號時來推導(dǎo)非周期信號的傅里葉變換對，這種推導(dǎo)并不嚴(yán)格。因為傅里葉變換的存在條件除了滿足狄里赫利條件外，還應(yīng)滿足在無限區(qū)間上絕對可積的條件，即因此并不是所有的瞬變非周期信號都能夠進(jìn)行傅里葉變換，有關(guān)這一點將在后面以例題的形式說明。頻譜反映信號的頻率構(gòu)成成分。對于周期信號，傅里葉級數(shù)的系數(shù)組成了離散頻譜，其幅值是各次諧波的振幅。而對于非周期信號，其幅值頻譜是連續(xù)的，幅值譜實際上是幅值譜密度（振幅/頻率），所以非周期信號的頻譜應(yīng)該稱為譜密度函數(shù)；相應(yīng)的非周期信號的頻譜圖實際上應(yīng)該稱為譜密度圖。但一般文獻(xiàn)把離散頻譜和連續(xù)頻譜統(tǒng)統(tǒng)稱為頻譜，而無嚴(yán)格區(qū)分，工程測試中為方便，也仍稱為頻譜。

在此我們也沿用這種說法。再次強(qiáng)調(diào)，非周期信號的幅值譜和周期信號的幅值很相似，但是兩者是有差別的，其別突出表現(xiàn)在的量綱為幅值量綱，而的量綱不是幅值量綱，而是振幅/頻率，即單位頻帶上的幅值。周期信號———幅值量綱非周期信號——幅值/頻率例

求矩形窗函數(shù)的頻譜

W(f)中T稱為窗寬

1-T/2T/2tw(t)0解定義應(yīng)用歐拉公式

這個函數(shù)在信號分析中有很大的作用，將之稱為抽樣信號，它以2為周期并隨的增加作衰減振蕩。

的圖象以為周期，隨的增加做衰減振蕩；函數(shù)是偶函數(shù)，在處的值是零W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函數(shù)只有實部，沒有虛部。W(f)中T

稱為窗寬。抽樣信號：W(f)以為周期并隨的增加作衰減振蕩。W(f)是偶函數(shù)，在f=n/T（n=1,2,……）處其值為0。其幅頻譜與相位譜如圖示。周期信號的離散譜非周期信號的連續(xù)譜非周期信號頻譜的特點

基頻無限小，包含了從0?的所有頻率分量；頻譜連續(xù)。當(dāng)非周期信號為時限信號，可開拓成一周期信號（T2t0），使連續(xù)譜離散化，所得離散譜的包絡(luò)線與連續(xù)譜的形狀相同；（如前面所舉的周期方波→矩形窗的變化，圖形在下一頁）

|X()|與|cn|量綱不同。|cn|具有與原信號幅值相同的量綱，|X()|是單位頻寬上的幅值非周期信號頻域描述的基礎(chǔ)（數(shù)學(xué)工具）是傅里葉變換。

T2t0是滿足采樣定理的要求，在后面第7章中介紹。二、傅里葉變換的主要性質(zhì)

前面已經(jīng)講過，一個信號可以有時域描述和頻域描述兩種描述方法。時域描述：以時間t做為獨立變量的信號的描述方法。頻域描述：以頻率f(或)做為獨立變量的信號的描述方法。頻域描述能夠揭示信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值與相位的大小。這兩種描述方法彼此建立一一對應(yīng)關(guān)系就是通過傅里葉變換來實現(xiàn)的，即傅里葉變換起到了橋梁的作用。在信號分析中，傅里葉變換有著舉足輕重的地位，它是FFT（快速傅里葉變換）的基礎(chǔ)。因此要求我們掌握傅里葉變換的主要性質(zhì)，有助于了解信號在某個域中的變化和運(yùn)算會對另一個域有何影響，產(chǎn)生何種的變化。傅里葉變換的性質(zhì)較多，我們主要要求大家掌握以下幾點：1、奇偶虛實性

若x(t)為實偶函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實偶函數(shù)若x(t)為實奇函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數(shù)若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數(shù)若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實奇函數(shù)若x(t)為實函數(shù)，則：ReX(f)=ReX(-f)

ImX(f)=-ImX(-f)余弦函數(shù)是偶函數(shù)正弦函數(shù)是奇函數(shù)2、線性疊加性

如果那么其中證明：3、對稱性

如果則有IFT定義互換t和f用-t代t這是傅里葉變換的定義，因此上述結(jié)論得到驗證即對稱性舉例作用根據(jù)已知的傅里葉變換對推出未知的傅里葉變換對。4、時間尺度改變特性

如果則有得證證明尺度改變性質(zhì)舉例

時間尺度改變特性舉例又稱為時間展縮原理a)k=1b)k=0.5幅值增大頻帶變窄c)k=2幅值減小頻帶變寬5、時移和頻移性質(zhì)如果則有時移性質(zhì)

頻移性質(zhì)證明此性質(zhì)表明，在時域中信號沿時間軸平移一個常值時，頻譜函數(shù)將乘因子，即只改變相頻譜，不會改變幅頻譜。與t無關(guān)a)時域矩形窗b)圖a）對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線c)時移的時域矩形窗d)圖c）對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線時移性質(zhì)舉例產(chǎn)生相移6、卷積性質(zhì)（又稱為褶積）兩個信號卷積定義為：卷積性質(zhì)可表述為：（這個性質(zhì)很重要）

卷積一般難于計算，應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)，可以將之化為乘積，然后再做反變換。卷積性質(zhì)舉例拉氏變換傅里葉變換變換7、微分與積分性質(zhì)同理若則證明即微分性質(zhì)積分性質(zhì)傅里葉變換的主要性質(zhì)

積分時移頻域微分尺度變換時域微分對稱性x1(t)x2(t)頻域卷積線性疊加x1(t)x2(t)時域卷積實奇函數(shù)虛奇函數(shù)共軛虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)翻轉(zhuǎn)虛奇函數(shù)實奇函數(shù)頻移實偶函數(shù)實偶函數(shù)函數(shù)的奇偶虛實性頻域時域性質(zhì)頻域時域性質(zhì)三、幾種典型信號的頻譜1、單位脈沖函數(shù)((t)函數(shù))的頻譜

①δ函數(shù)定義其面積（強(qiáng)度）：0t(t)/201/s(t)t②函數(shù)的采樣性質(zhì)

函數(shù)的采樣性質(zhì)與任一連續(xù)信號相乘，其乘積僅在脈沖發(fā)生的位置有值。

函數(shù)的采樣性質(zhì)是連續(xù)信號離散化的依據(jù)。采樣后將連續(xù)信號離散化，才能夠進(jìn)一步處理成為數(shù)字信號。采樣性又稱為篩選性篩選結(jié)果為x(t)在發(fā)生δ函數(shù)位置的函數(shù)值(又稱為采樣值)上述采樣信號的幅值為無窮大，但其強(qiáng)度是有限值（積分）。函數(shù)值③卷積性

函數(shù)與其它信號的卷積是卷積中最為簡單的一類形式。把函數(shù)的卷積性質(zhì)描述為：卷積性質(zhì)可用下圖示意。函數(shù)與其它函數(shù)的卷積示例

④δ函數(shù)的頻譜

對δ(t)取傅里葉變換頻譜特點：

有無限寬廣的頻譜；在所有的頻段上都是等強(qiáng)度的。均勻譜白噪聲δ函數(shù)是偶函數(shù)利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對記住更好，記不住用的時候現(xiàn)推導(dǎo)。對稱性頻移性質(zhì)時移性質(zhì)（各頻率成分分別移相2ft0）(tt0)(f)（單位脈沖譜線）1（幅值為1的直流量）1（均勻頻譜密度函數(shù)）(t)（單位瞬時脈沖）頻域

時域常用的(t)函數(shù)的性質(zhì)2、矩形窗函數(shù)的頻譜1-T/2T/2tw(t)0tw(t)1T不改變幅頻譜a)時域矩形窗b)圖a）對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線c)時移的時域矩形窗d)圖c）對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線

時移性質(zhì)舉例產(chǎn)生相移我們將矩形窗函數(shù)進(jìn)行拓展——常值函數(shù)的頻譜

直流量對稱性幅值為1的常值函數(shù)的頻譜為f

=0處的δ函數(shù)實際上，利用傅里葉變換時間尺度改變性質(zhì)，也可以得出同樣的結(jié)論：當(dāng)矩形窗函數(shù)的窗寬→∞時，矩形窗函數(shù)就成為常值函數(shù)，其對應(yīng)的頻域δ函數(shù)。直流量與單位階躍信號不同3、指數(shù)函數(shù)的頻譜其傅里葉變換為：雙邊指數(shù)衰減函數(shù)其傅里葉變換為：較為常用的是單邊指數(shù)衰減函數(shù)單邊指數(shù)衰減函數(shù)及其頻譜

單位階躍信號符號函數(shù)4、符號函數(shù)和單位階躍函數(shù)的頻譜

符號函數(shù)的頻譜符號函數(shù)可以看作是雙邊指數(shù)衰減函數(shù)當(dāng)a→0時的極限形式，即：單位階躍函數(shù)可以看作是單邊指數(shù)衰減函數(shù)a→0時的極限形式。單位階躍函數(shù)及其頻譜

前面所述的符號函數(shù)據(jù)的頻譜如何？單位階躍函數(shù)的頻譜5、正余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)

正余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，不能直接對之進(jìn)行傅氏變換。由歐拉公式知：00ttsin2f0tcos2f0t1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f06、等間隔周期單位脈沖序列（梳狀函數(shù)）的頻譜

其中Ts為周期；n為整數(shù)。周期單位脈沖序列（梳狀函數(shù)）為周期函數(shù)。因此可以表示成傅氏級數(shù)（fs=1/Ts）因為在（-Ts/2，Ts/2）區(qū)間內(nèi)只有一個函數(shù)(t)，故上述展開式中從而

所以

①時域周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列；②時域周期為Ts，則頻域周期為1/Ts；③時域脈沖強(qiáng)度為1，頻域中的脈沖強(qiáng)度為為1/Ts。

......comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts......COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts1Ts2Ts第四節(jié)隨機(jī)信號隨機(jī)信號是非確定性信號，不能用確定的關(guān)系式來描述；隨機(jī)信號具有不重復(fù)性（在相同條件下，每次觀測的結(jié)果都不一樣）、不確定性、不可預(yù)估性；隨機(jī)信號必須采用概率和統(tǒng)計的方法進(jìn)行描述一、概述

隨機(jī)現(xiàn)象：產(chǎn)生隨機(jī)信號的物理現(xiàn)象

樣本函數(shù)：隨機(jī)現(xiàn)象的單個時間歷程，即對隨機(jī)信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記作xi(t)，i表示第i次觀測。

樣本記錄：在有限時間區(qū)間上觀測得到的樣本函數(shù)相關(guān)概念

00000x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)t1t2ttttt隨機(jī)過程：在相同試驗條件下，隨機(jī)現(xiàn)象可能產(chǎn)生的全體樣本函數(shù)的集合（總體）。記作{x(t)}，即：

{x(t)}={x1(t)，x2(t)，……，xi(t)，……}隨機(jī)變量：隨機(jī)過程在某一時刻t1之取值x(t1)是一個隨機(jī)變量，隨機(jī)變量一般定義在樣本空間上。集合平均：一般而言，任何一個樣本函數(shù)都無法恰當(dāng)?shù)卮黼S機(jī)過程{

x(t)}，隨機(jī)過程在任何時刻的統(tǒng)計特性須用其樣本函數(shù)的集合平均來描述。時間平均：按單個樣本函數(shù)的時間歷程進(jìn)行平均計算。如第i個樣本函數(shù)的時間平均值為：其中，T為樣本函數(shù)的時間歷程。平穩(wěn)與非平穩(wěn)隨機(jī)過程：平穩(wěn)隨機(jī)過程指其統(tǒng)計特性不隨時間而變化，或者說，不隨時間坐標(biāo)原點的選取而變化。否則，則為非平穩(wěn)隨機(jī)過程。各態(tài)歷經(jīng)過程※※※這是一個最為重要的概念①

若平穩(wěn)隨機(jī)過程任一樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計特性等于該過程的集合平均統(tǒng)計特性，則稱該隨機(jī)過程是各態(tài)歷經(jīng)的（遍歷性）。②

各態(tài)歷經(jīng)過程的物理含義：任一樣本函數(shù)在足夠長的時間區(qū)間內(nèi)，包含了各個樣本函數(shù)所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)。③

對于各態(tài)歷經(jīng)過程，其時間平均等于集合平均，因此，各態(tài)歷經(jīng)過程的所有特性都可以用單個樣本函數(shù)上的時間平均來描述。工程中絕大多數(shù)隨機(jī)過程都是各態(tài)歷經(jīng)的或可以近似為各態(tài)歷經(jīng)過程進(jìn)行處理。④

一般，隨機(jī)過程需足夠多（理論上為無限個）的樣本函數(shù)才能描述，即使是各態(tài)歷經(jīng)過程，理論上也需要無限長的時間記錄。00000x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)t1t2ttttt二、隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)描述各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)有：幅值域：均值、方差、均方值概率密度函數(shù)等時間域：自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)頻率域：自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)等1、均值x、方差、均方值對于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程：樣本函數(shù)觀測時間均值表示信號的常值分量方差表示信號的波動分量方差的正平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差。均方值描述隨機(jī)信號的強(qiáng)度，均方值的正平方根稱為均方根值。當(dāng)x=0時可以推導(dǎo)出均值、方差與均方值間的關(guān)系為：實際測量時，信號的取樣時間T是有限的，上述值均是估計值。2、概率密度函數(shù)

PDF定義：概率密度函數(shù)表示信號幅值落在指定區(qū)間內(nèi)的概率。對長度為T的隨機(jī)信號樣本記錄，x(t)瞬時幅值落在(x,x+x)區(qū)間內(nèi)的總時間為：當(dāng)樣本記錄長度T趨于無窮時，將趨于x(t)的幅值落在區(qū)間(x,x+x)的概率。即：當(dāng)x0時，可定義概率密度函數(shù)為：對于確定性信號概率密度函數(shù)提供了隨機(jī)信號的幅值分布信息，是隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)之一。不同的隨機(jī)信號有不同的概率密度函數(shù)圖形，可以借此來識別信號的性質(zhì)。（參見下頁圖）在實際應(yīng)用中，當(dāng)不知道所處理的隨機(jī)數(shù)據(jù)服從何種分布時，可以用統(tǒng)計概率分布圖和直方圖來估計p(x)。如果知道信號的概率密度函數(shù)，則：

常見典型信號的概率密度函數(shù)圖形寬帶隨機(jī)信號(正態(tài)分布)正弦信號正弦信號加隨機(jī)噪聲（馬鞍型）窄帶隨機(jī)信號(正態(tài)分布)例：求正弦信號的概率密度函數(shù)。-AA概率密度函數(shù)的作用：概率密度函數(shù)提供了信號幅值分布信息，是隨機(jī)信號的主要特征參數(shù)之一。不同的隨機(jī)信號有不同的概率密度函數(shù)圖形，可以借此來識別信號的性質(zhì)。第四節(jié)幾種常用的處理方法

隨機(jī)信號廣泛存在于工程技術(shù)的各個領(lǐng)域中。確定性信號一般是在一定條件下出現(xiàn)的特殊情況，或者是忽略了次要的隨機(jī)因素后抽象出來的模型。也就是說，測試信號總是受到環(huán)境噪聲污染的，對隨機(jī)信號的分析更有普遍、現(xiàn)實的意義。隨機(jī)信號平穩(wěn)隨機(jī)過程→各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程非平穩(wěn)隨機(jī)過程｛隨機(jī)信號所具有的不確定性x5(t)x4(t)x3(t)x2(t)x1(t)t1t2①均值、方差和均方值；②概率密度函數(shù)（PDF）；③相關(guān)函數(shù)（RF）；④功率譜密度函數(shù)（PSD）。③

相關(guān)函數(shù)（RF）；④

功率譜密度函數(shù)（PSD）。各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的主要特征參數(shù)有：一、相關(guān)分析(時延域分析)及其應(yīng)用

相關(guān)分析用來研究兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系或分析兩個信號或者是一個信號在一定時移前后之間的關(guān)系（相似程度）。深入揭示信號的波形結(jié)構(gòu)。石油相關(guān)分析例：機(jī)器上某個部件失衡（動不平衡），引起機(jī)器的振動。但是測量的振動信號中，除了不平衡振動信號外，還會有齒輪嚙合振動，滾動軸承振動，地基振動等信號。各振動信號的頻率是不相同的。不平衡振動信號的頻率與轉(zhuǎn)動頻率相同，齒輪嚙合頻率是齒數(shù)與旋轉(zhuǎn)頻率的乘積，滾動軸承振動頻率一般較高，地基振動頻率一般較低。根據(jù)同頻相關(guān)不同頻不相關(guān)的原理，因此和旋轉(zhuǎn)頻率不一致的頻率與失衡無關(guān)，分析振動信號與旋轉(zhuǎn)頻率相關(guān)的成分，可以獲得失衡狀態(tài)的信息。相關(guān)系數(shù)；信號的自相關(guān)函數(shù)；信號的互相關(guān)函數(shù)。１、相關(guān)系數(shù)對于確定性信號來說，兩變量間的關(guān)系可以用數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述。但是對于隨機(jī)信號，卻無法用數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系來描述，只能采用概率統(tǒng)計的方法。在下面這幅圖中：········································xy0xy0xy0(a)(b)(c)圖7-6兩隨機(jī)變量x與y的相關(guān)性······································································································································xy0xy0xy0··············(a)(b)(c)圖7-6兩隨機(jī)變量x與y的相關(guān)性(a)x與y完全線性無關(guān)；(b)x與y完全線性相關(guān)；(c)x與y存在某種程度的線性關(guān)系；由概率論可知，相關(guān)是表示兩個隨機(jī)變量x和y的線性關(guān)聯(lián)程度的量，常用相關(guān)系數(shù)表示：由柯西-許瓦茲不等式

相關(guān)系數(shù)(a)x與y完全線性無關(guān)；(b)x與y完全線性相關(guān)；

(c)x與y存在某種程度的線性關(guān)系；················································································xy0xy0xy0··············(a)(b)(c)

(注意此時x與y卻可能還有其它的函數(shù)關(guān)系)2、信號的自相關(guān)函數(shù)x(t)是各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù)，觀測時間為T.x(t+τ)是時移之后的樣本函數(shù)。這兩個樣本函數(shù)具有相同的均值mx和標(biāo)準(zhǔn)差sx。x(t)x(t+τ)0tit0ttiTττ下面求相關(guān)系數(shù)，應(yīng)用前述公式：則有：(1)自相關(guān)函數(shù)定義

注意：各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(推廣)：

能量有限信號：

則有：周期信號T——周期(2)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(5條)

τ0原因：

τ0均方值x(t)x(t+τ)0t0tTτ

τ足夠大或τ→∞時，隨機(jī)變量x(t)與x(t+t)就不存在內(nèi)在的聯(lián)系了，彼此無關(guān)。x(t)x(t+τ)0t0tTτττ自相關(guān)函數(shù)為實偶函數(shù)

τ0證明：

周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)，其幅值與原周期信號的幅值有關(guān)，但丟失了原信號的相位信息。

例

求正弦函數(shù)

的自相關(guān)函數(shù)

解：周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)；在自相關(guān)函數(shù)中包含的原信號的幅值信息與頻率信息，但是卻丟失了其初始相位信息。τ0tx(t)0正弦函數(shù)及自相關(guān)函數(shù)x0(x02)/2初始相位f的信息丟失了典型信號的自相關(guān)函數(shù)正弦信號正弦信號+隨機(jī)噪聲窄帶隨機(jī)信號寬帶隨機(jī)信號(3)自相關(guān)函數(shù)的作用

主要是用來區(qū)別信號的類型。由圖可見：只要信號中含有周期成分，其自相關(guān)函數(shù)在τ很大時都不衰減，并具有明顯的周期性；信號中不包含周期成分則在τ稍大時自相關(guān)函數(shù)就衰減為零。寬帶隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)相對于窄帶隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)衰減快。例：

①機(jī)加工表面粗糙度（用輪廓儀測）成因分析。自相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用舉例：金鋼石觸針工件相關(guān)分析電感式傳感器系統(tǒng)構(gòu)成：10mm5mmRx(t)00.51t可能成因：①沿工件軸向走刀運(yùn)動的周期性；②工件切向，則可能是由于主軸回轉(zhuǎn)振動的周期性。例：②在水域中探索有無潛艇通過。潛水艇的發(fā)動機(jī)在工作時發(fā)出周期性信號，而海浪是隨機(jī)的，如果經(jīng)過相關(guān)分析發(fā)現(xiàn)有周期性峰值，就可以知道，可能有潛艇通過。

自相關(guān)函數(shù)在電子、機(jī)械等工程中有一定的使用價值，但是利用它的傅里葉變換（自功率譜，下面的內(nèi)容）來分析噪聲中的周期信號更加實用一些。另外，從前面的分析中我們知道，自相關(guān)函數(shù)中丟失了相位信息，使其應(yīng)用受到一定的限制。3信號的互相關(guān)函數(shù)

(1)互相關(guān)函數(shù)定義

研究兩個隨機(jī)信號間的相關(guān)性。定義：各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號定義：互相關(guān)函數(shù)圖形：圖7-11

互相關(guān)函數(shù)

τ0τ0(2)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(主要講4條)

互相關(guān)函數(shù)的限制范圍為：

τ0τ0同頻相關(guān)不同頻不相關(guān)

例

求下列兩正弦信號

的互相關(guān)函數(shù)。

討論如下兩種情形：①

②結(jié)論：同頻相關(guān)不同頻不相關(guān)結(jié)論：同頻相關(guān)不同頻不相關(guān)解：

因為信號是周期信號，可以用一個共同周期內(nèi)的平均值代替其整個歷程的平均值，故

①(應(yīng)用三角函數(shù)的正交性)②保留了①幅值②頻率③相位信息互相關(guān)函數(shù)非偶函數(shù)、亦非奇函數(shù)，具有關(guān)系因為：τ0τ0

的峰值不在

處，其峰值偏離原點的位置反映了兩信號時移的大小，相關(guān)程度最高。圖7-11

互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

τ0τ0(3)互相關(guān)的應(yīng)用

在噪聲背景下提取有用信息。例1：線性定常系統(tǒng)對之施加振動激勵→x(t)

檢測振動信號→y(t)，(含有大量的干擾噪聲)

對x(t)和y(t)進(jìn)行相關(guān)分析，根據(jù)同頻相關(guān)不同頻不相關(guān)的理論，只有和激振頻率相同的成分才可能是由激振而引起的響應(yīng)，其它成分均是干擾噪聲，這樣便可得知激勵引起的響應(yīng)的幅值及相位差的大小，完全消除了干擾噪聲的影響。這種處理方法稱為相關(guān)濾波。

石油例2：相關(guān)分析在輸油管測漏中的應(yīng)用

τ0τm中心線相關(guān)分析y(t)12sx(t)例3：相關(guān)測速

圖7-12鋼帶運(yùn)動速度的非接觸測量

鋼帶可調(diào)延遲相關(guān)器光電池冷軋6~40m/s熱軋8~30m/s例4：相關(guān)分析的聲學(xué)應(yīng)用

相關(guān)分析在聲學(xué)測量中應(yīng)用很多。它可以區(qū)分不同時間到達(dá)的聲音，測定物體的吸聲系數(shù)和衰減系數(shù)，從多個獨立聲源或振動源中測出某一聲源到一定地點的聲功率等。

注意：各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(推廣)：

能量有限信號：

周期信號二、功率譜分析及其應(yīng)用

信號的時域描述反映了信號幅值隨時間變化的特征；相關(guān)分析從時域為在噪聲背景下提取有用信息提供了手段；信號的頻域的描述反映了信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值大??；功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)、倒譜分析則從頻域為研究平穩(wěn)隨機(jī)過程提供了重要方法。

1、自功率譜密度函數(shù)定義及其物理意義

巴塞伐爾（Parseval）定理

功率譜的估計自功率譜的應(yīng)用功率譜PSDPowerSpectrumDensity

定義及其物理意義定義隨機(jī)信號的自功率譜密度函數(shù)（自譜）為：其逆變換為

記作：的自功率譜密度函數(shù)，簡稱為自譜或自功率譜。為什么稱為自功率譜呢？瞬時功率總能量平均功率由于：則二者所蘊(yùn)含的信息是等價的，自功率譜密度函數(shù)必然是偶函數(shù)，如上圖所示。f0f0圖7-14單邊譜與雙邊譜因為經(jīng)常應(yīng)用的頻率段為f=(0,∞)，所以功率譜也常用單邊的形式來表示之。巴塞伐爾（Parseval）定理（能量等式）

定義：信號在時域中的總能量等于其在頻域中的總能量。由卷積定理即令令證明下面根據(jù)Paseval定理推導(dǎo)一下自功率譜密度函數(shù)