2023年等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題答案

等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題1、等比數(shù)列的定義：，稱為公比2、通項(xiàng)公式：，首項(xiàng)：;公比：推廣:3、等比中項(xiàng)：（1)假如成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng),即:或注意:同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng),并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(（２)數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式:(1)當(dāng)時(shí),(2)當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）５、等比數(shù)列的鑒定方法:(1)用定義:對(duì)任意的，都有為等比數(shù)列（2）等比中項(xiàng)：為等比數(shù)列（３)通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義:若或?yàn)榈缺葦?shù)列7、等比數(shù)列的性質(zhì)：（２)對(duì)任何，在等比數(shù)列中，有。（３）若，則。特別的，當(dāng)時(shí)，得注：等差和等比數(shù)列比較:等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式;；通項(xiàng)公式（)中項(xiàng)（)()前項(xiàng)和重要性質(zhì)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 例１．等比數(shù)列中，,，求.思緒點(diǎn)撥:由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過已知條件可列出關(guān)于和的二元方程組,解出和，可得;或注意到下標(biāo),可以運(yùn)用性質(zhì)可求出、,再求.總結(jié)升華：①列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法,同時(shí)運(yùn)用性質(zhì)可以減少計(jì)算量;②解題過程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，經(jīng)常整體代入以達(dá)降次目的,故較多變形要用除法（除式不為零）．舉一反三：【變式１】｛an}為等比數(shù)列,ａ1=3,a9=768，求a6?！咀兪?】｛aｎ}為等比數(shù)列,an＞0,且a1a89=１６，求a４４a45a4６的值?！咀兪?】已知等比數(shù)列，若，,求。類型二:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例２．設(shè)等比數(shù)列{ａn}的前n項(xiàng)和為Sｎ,若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.舉一反三：【變式１】求等比數(shù)列的前6項(xiàng)和?！咀兪?】已知:{ａn}為等比數(shù)列，a1ａ2ａ3=27，S3=13,求S5．【變式3】在等比數(shù)列中，，，,求和。類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例3.等比數(shù)列中，若,求.舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列中,若ａ1·a１00＝100;則lｇa1+lgａ２+……+lｇa100=____＿_(dá)_____＿_(dá).【變式2】在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為＿_(dá)_＿_(dá)___。類型四：等比數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式的性質(zhì)例４．在等比數(shù)列中，已知,，求。思緒點(diǎn)撥:等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法,即等比數(shù)列中前k項(xiàng)和,第2個(gè)k項(xiàng)和，第３個(gè)k項(xiàng)和，……,第n個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。舉一反三:【變式1】等比數(shù)列中,公比q=２,S4=1,則Ｓ8=_＿＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)___.【變式2】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Ｓn,且S10=10,S２0=４0,求:S3０＝？【變式3】等比數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù),若Ｓn=80,Ｓ2n=65６0,前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54,求ｎ.【變式4】等比數(shù)列中,若a１＋a2=32４,a3+a４＝3６,則a5＋ａ6=____＿_(dá)__＿_(dá)＿_(dá)_.【變式5】等比數(shù)列中,若a１+ａ２＋ａ3＝7，a4+a5＋a6=5６,求ａ７+a8+a9的值。類型五:等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,若前兩項(xiàng)不變,第三項(xiàng)減去32,則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去４，則又成等比數(shù)列.求本來的三個(gè)數(shù).思緒點(diǎn)撥:恰本地設(shè)元是順利解方程組的前提．考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù),并將其設(shè)為整式形式.總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡(jiǎn)樸易解。一般地,三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-ｄ,a,a+d;若三數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)此三數(shù)為,x,xy。但還要就問題而言,這里解法二中采用首項(xiàng)a，公比q來解決問題反而簡(jiǎn)便。舉一反三：【變式1】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，假如把第二項(xiàng)加上4,,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，假如再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32,那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列,求本來的等比數(shù)列.【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,它們的積為27,它們的平方和為９1,求這三個(gè)數(shù)?！咀兪剑场坑兴膫€(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是１６,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求這四個(gè)數(shù)．類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例６.已知數(shù)列｛ａn｝的前n項(xiàng)和Sｎ滿足:log5（Ｓｎ+１)＝n(n∈N+),求出數(shù)列{ａn}的通項(xiàng)公式，并判斷{ａｎ}是何種數(shù)列?思緒點(diǎn)撥：由數(shù)列{an}的前ｎ項(xiàng)和Ｓn可求數(shù)列的通項(xiàng)公式,通過通項(xiàng)公式判斷｛an}類型.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列｛Ｃｎ},其中Ｃｎ=2n+3n，且數(shù)列{Cn+1-pCｎ}為等比數(shù)列，求常數(shù)p?！敬鸢浮縫＝２或p＝3；【證明】設(shè)數(shù)列{an}、{bn}的公比分別為p，ｑ，且ｐ≠q【變式3】判斷正誤：（１）｛an}為等比數(shù)列a7=a3a４；(2)若b2=ac，則a，b，c為等比數(shù)列；(３){an},{ｂn｝均為等比數(shù)列，則｛aｎbｎ}為等比數(shù)列；（4){ａn}是公比為ｑ的等比數(shù)列,則、仍為等比數(shù)列；(５)若a,b,ｃ成等比，則logma,logｍb，logmc成等差.類型七:Ｓn與aｎ的關(guān)系例7．已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝,其前n項(xiàng)和Sn滿足,且a１,ａ3,ａ１5成等比數(shù)列，求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)an．總結(jié)升華:等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，它們是,特別注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系.舉一反三:【變式】命題1:若數(shù)列｛aｎ}的前n項(xiàng)和Sn=ａn+b(a≠1)，則數(shù)列{ａｎ}是等比數(shù)列；命題2:若數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和Sn=nａ-n,則數(shù)列{ａn}既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列。上述兩個(gè)命題中,真命題為個(gè).經(jīng)典例題透析類型一:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?例1．等比數(shù)列中,,,求.思緒點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,通過已知條件可列出關(guān)于和的二元方程組，解出和,可得；或注意到下標(biāo),可以運(yùn)用性質(zhì)可求出、，再求.解析:法一:設(shè)此數(shù)列公比為,則由(２）得:...．......(３)∴.由(1)得：,∴..．...(４)(3)÷(４）得:,∴,解得或當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，,．法二:∵,又，∴、為方程的兩實(shí)數(shù)根，∴或∵,∴或．總結(jié)升華:①列方程（組)求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)運(yùn)用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；②解題過程中具體求解時(shí),要設(shè)法降次消元，經(jīng)常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法(除式不為零）.舉一反三：【變式1】{aｎ｝為等比數(shù)列,a１=3,a9=76８,求a6。【答案】±9６法一:設(shè)公比為q，則７6８=ａ1q8，q８=２５6，∴ｑ=±２，∴a6=±９6;法二:a52=ａ1a9ａ５=±48q＝±2，∴a６=±96?！咀兪剑病縶ａn}為等比數(shù)列，an＞0，且a１ａ8９=16，求a44a45a46的值。【答案】６4；∵,又an＞0，∴a45＝4∴。【變式3】已知等比數(shù)列，若,，求?！敬鸢浮炕颍环ㄒ唬骸?∴,∴從而解之得，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),。故或。法二:由等比數(shù)列的定義知,代入已知得將代入(１)得，解得或由（2）得或，以下同方法一。類型二:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例2．設(shè)等比數(shù)列{ａn}的前n項(xiàng)和為Ｓn，若S3＋S6=2S9,求數(shù)列的公比q.解析:若q=1,則有S3=3a1,S６＝6a１,Ｓ9=9a1.因a１≠0,得Ｓ３＋S6≠２S9,顯然q＝1與題設(shè)矛盾，故q≠1.由得，，整理得q3(2q6-q3－1）＝0，由q≠0,得2ｑ6-q３-1=0，從而（2ｑ３＋1)(q3-1)=0，因q３≠１，故，所以。舉一反三:【變式1】求等比數(shù)列的前６項(xiàng)和?！敬鸢浮?；∵，,∴。【變式2】已知：{ａn｝為等比數(shù)列,a1a2a3＝2７,S3=1３,求S５．【答案】;∵,,則a1=1或ａ1=９∴.【變式3】在等比數(shù)列中,，，，求和?！敬鸢浮炕?，;∵,∴解方程組,得或①將代入,得,由，解得;②將代入,得,由,解得?！嗷?,。類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例3.等比數(shù)列中，若,求．解析:∵是等比數(shù)列，∴∴舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列中,若a１·ａ１00=１00;則lgａ1+ｌgａ2+……＋lｇa１00=__________＿_(dá)＿．【答案】100;∵lｇａ1+lｇa2+lga3+……＋lga１00＝ｌg（a１·a２·a3·……·ａ１0０)而ａ1·a１0０=ａ2·a９9=a3·a9８=……=a５0·a51∴原式＝lg(a１·ａ１00)５０＝50lg(a1·a100）=50×lg100＝１00?！咀兪?】在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為___＿_(dá)_＿_(dá)?！敬鸢浮?１6;法一：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為，其公比為,∵，，∴,∴。法二:設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為,公比為,則,,加入的三項(xiàng)分別為,,,由題意,,也成等比數(shù)列,∴，故,∴。類型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4．在等比數(shù)列中，已知,,求。思緒點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目,我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前ｋ項(xiàng)和，第２個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，……，第n個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。解析:法一:令ｂ1＝Sn=4８,b2=S2ｎ－Ｓn=６0-48=１2，b3=S3ｎ-Ｓ2n觀測(cè)ｂ1=a１+a2+……＋an，b2＝an+1+ａｎ+2+……＋a2n=ｑn(a1+a2+……＋ａｎ)，ｂ3=a2n+1＋a2ｎ+２+……＋ａ３n＝q2ｎ(a1+a2+……+an）易知b１,b2,ｂ3成等比數(shù)列，∴，∴S3n=ｂ３+S2n=3＋6０＝６３.法二：∵,∴,由已知得②÷①得，即③③代入①得,∴。法三:∵為等比數(shù)列，∴,,也成等比數(shù)列，∴，∴。舉一反三:【變式1】等比數(shù)列中,公比q=2,S4＝1,則S８＝_＿＿_(dá)____＿_(dá)_.【答案】1７;Ｓ８=S4＋ａ5＋a６＋ａ７+a8=S4+a1ｑ4+a2q4+a3ｑ4＋ａ４q4=S4＋q4(a1+a2＋ａ３+a４)=S4＋ｑ４Ｓ4=S4(1+ｑ4）＝１×(１+24)=17【變式2】已知等比數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和為Ｓn,且S１0=10，S20=４0,求：S30=?【答案】130；法一：S1０，Ｓ20－S10，S30-S20構(gòu)成等比數(shù)列,∴(S20－S10)2=Ｓ10·(S30-Ｓ20)即302=10(Ｓ３0-40),∴Ｓ30=１30.法二：∵２S10≠Ｓ2０，∴,∵,,∴∴,∴∴.【變式3】等比數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，若Sn＝80，S2n=６５６０,前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54,求ｎ.【答案】∵，∴（否則)∴=80.．．．....(1)=６５６0.........(2),(２)÷(1)得：1+ｑn＝82，∴qn=8１......(3）∵該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù),∴由(3）知q＞1∴{an}為遞增數(shù)列,∴aｎ為最大項(xiàng)54.∴aｎ=a1ｑｎ-1=5４,∴ａ1ｑn=５4q,∴８１a1=5４q．...．．....（４）∴代入(1）得，∴q=３,∴ｎ=4.【變式4】等比數(shù)列中,若ａ1+ａ2=3２４,ａ3+a４＝３6，則ａ5+a6=___＿_(dá)_＿_(dá)_____.【答案】4；令b1=a1+a2=a１（1+q），ｂ2＝a3+ａ4＝ａ1q2（１＋q),b3=ａ5+a６=a1q４(1+q),易知：b１，b2,b3成等比數(shù)列,∴b3===４,即ａ5+ａ6=4.【變式5】等比數(shù)列中，若a１+a2+ａ３＝7,a4+a５＋ａ６=5６,求ａ7+a8+a９的值?！敬鸢浮?4８;∵{an}是等比數(shù)列，∴(ａ4+a5+a6)=(a１+ａ２+a3）q3,∴q3=8,∴ａ７+a８+ａ9=(a4＋a5+a6)q3=56×8＝448.類型五:等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例５．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32,則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，則又成等比數(shù)列.求本來的三個(gè)數(shù)．思緒點(diǎn)撥:恰本地設(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個(gè)數(shù),應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù),并將其設(shè)為整式形式.解析:法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-ｄ,ａ,ａ+d.則ａ-d,a,a+d+32成等比數(shù)列,a-d,a-4,ａ+d成等比數(shù)列.∴由(2)得a=...．.......(3)由(1)得３2a=d2+3２ｄ..．．....．．(4)(3)代(4）消a,解得或d=8．∴當(dāng)時(shí),；當(dāng)ｄ=8時(shí),a=１0∴本來三個(gè)數(shù)為,,或2,１0,5０.法二：設(shè)本來三個(gè)數(shù)為a,aq,aｑ２,則a,aｑ,aq２-32成等差數(shù)列,a，aｑ-4,aｑ2-32成等比數(shù)列∴由(2）得，代入(1)解得ｑ=5或q=13當(dāng)q=5時(shí)a=2；當(dāng)q=1３時(shí).∴本來三個(gè)數(shù)為2，10,5０或,,．總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡(jiǎn)樸易解。一般地,三數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)此三數(shù)為a-d，ａ,a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)此三數(shù)為，x，xy。但還要就問題而言,這里解法二中采用首項(xiàng)a,公比q來解決問題反而簡(jiǎn)便。舉一反三：【變式１】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng),假如把第二項(xiàng)加上4，，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，假如再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上３2,那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求本來的等比數(shù)列.【答案】為２,6，１8或;設(shè)所求的等比數(shù)列為ａ，ａq,aｑ２;則2(aq+4)=a+ａq2，且（ａq＋4)2=a(aq2+３2)；解得ａ＝２，q=3或,ｑ=-5；故所求的等比數(shù)列為2,6，18或．【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27,它們的平方和為９1,求這三個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?、3、９或―1、３、―９或９、3、1或―9、3、―1設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，由已知得得，所以或,即或故所求三個(gè)數(shù)為:1、３、9或―1、3、―９或9、3、1或―９、3、―1?！咀兪?】有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是1６，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求這四個(gè)數(shù).【答案】0,4,8，1６或1５，9,３,1；設(shè)四個(gè)數(shù)分別是x，y,12-ｙ,１6-ｘ∴由（1）得x=３ｙ-１2,代入(２)得１４4-24y+y２=y(1６－3y+12)∴1４4-24y+y２=-3y2+２8y,∴4ｙ2－52y＋144=0,∴y2-1３y+36=0,∴y＝4或9,∴ｘ=0或15，∴四個(gè)數(shù)為0，4，8,１6或15,9，３,1.類型六:等比數(shù)列的判斷與證明例6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sｎ滿足:ｌog５(Ｓn+1)=n（n∈N+),求出數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式,并判斷{an｝是何種數(shù)列?思緒點(diǎn)撥：由數(shù)列｛aｎ}的前n項(xiàng)和Sn可求數(shù)列的通項(xiàng)公式,通過通項(xiàng)公式判斷{an}類型.解析：∵log5（Sn+1)=n,∴Sn＋1=5n,∴Sn=5n-１（n∈N+）,∴a1=Ｓ１=5１－1=4,當(dāng)ｎ≥2時(shí),an=Sｎ-Sn-1=(5n-1)-(５ｎ－1－１)=５n-5n-１＝5ｎ-1（5-１)＝4×5ｎ-1而n=1時(shí),４×5n－1=４×51-１＝4=a1,∴n∈N+時(shí)，ａn=4×５n-1由上述通項(xiàng)公式，可知｛ａｎ}為首項(xiàng)為４,公比為5的等比數(shù)列．舉一反三:【變式1】已知數(shù)列{Cｎ}，其中Cn＝２n+3n,且數(shù)列{Cn+１-pCn｝為等比數(shù)列，求常數(shù)ｐ?！敬鸢浮縫=２或p=3；∵{Cn＋1-ｐCn}是等比數(shù)列,∴對(duì)任意ｎ∈N且n≥2，有（Ｃn+1-pCn)2=（Cｎ+2-ｐCn＋1)(Cn-pCn-1)∵Cn＝2n+3n,∴[(２ｎ+1+3n+1)-p(2ｎ+3ｎ)]2=[(2n+２+3ｎ+2)-p(2n+１+3n+１)]·[(2n+3n）-p(2n-1＋3n-1)]即[(2-p)·２ｎ＋（3-p)·３n]2=［(2-ｐ)·２n+1+(3-ｐ)·３n＋１]·［（2-p)·２n-1+(３-p)·３n-1］整理得：，解得：p=2或ｐ=3，顯然Cｎ＋1-pCn≠0，故ｐ=2或p=3為所求．【變式2】設(shè)｛aｎ}、{bｎ}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，Ｃn=an+bｎ,證明數(shù)列{Cn}不是等比數(shù)列.【證明】設(shè)數(shù)列{an}、｛bｎ｝的公比分別為p,q，且p≠q為證｛Cn}不是等比數(shù)列，只需證．∵,∴,又∵p≠q,a1≠0,b１≠0,∴即∴數(shù)列{Ｃｎ}不是等比數(shù)列.【變式３】判斷正誤：(1）{an}為等比數(shù)列a7=ａ３a4；(2)若b2=ac，則a，b,c為等比數(shù)列;(３){an},{bn｝均為等比數(shù)列，則｛aｎbn}為等比數(shù)列；(４){an}是公比為q的等比數(shù)列，則、仍為等比