華南師范大學(xué)電磁學(xué)習(xí)題課-靜電場中的電介質(zhì)

靜電場中的電介質(zhì)習(xí)題、例題分析+25.2兩個(gè)同心的薄金屬球殼，內(nèi)、外球殼的半徑分別為R1=0.02m和R2=0.06m.球殼間充滿兩層均勻電介質(zhì)，它們的相對介電常數(shù)分別為εr1=6和εr2=3.兩層電介質(zhì)的分界面半徑為R=0.04m.設(shè)內(nèi)球殼帶電量為Q=－6×10-8C，求：(1)D和E的分布，并畫D－r，E-r曲線；(2)兩球殼之間的電勢差；(3)貼近內(nèi)金屬殼的電介質(zhì)表面上的面束縛電荷密度.R1R2Rε2ε1解:(1)由D的高斯定理及D－E關(guān)系：易得3R1R2Rε2ε1

4E,Dr0RR2R1-1-2-3-4-5R1R2Rε2ε1D-r，E-r曲線如下圖所示5R1R2Rε2ε1(2)兩球殼之間的電勢差為代入有關(guān)數(shù)據(jù)求得6(3)由及可得貼近內(nèi)金屬殼的電介質(zhì)表面上的面束縛電荷密度為75.4一平板電容器板間充滿相對介電常數(shù)為εr的電介質(zhì)而帶有電量Q.試證明：與金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷的電量為證明：因?yàn)闊o電介質(zhì)存在時(shí)，電容器極板間的電場強(qiáng)度為

因此極板間充滿了相對介電常數(shù)為εr的電介質(zhì)后，電容器極板間的電場強(qiáng)度變?yōu)殡娊橘|(zhì)中的極化強(qiáng)度為8

圖中與上金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷密度為

故與上金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷的電量為

同法可求得與下金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷的電量為P95.19一平行板電容器面積為S，板間距離為d，板間以兩層厚度相同而相對介電常數(shù)分別為εr1和εr2的電介質(zhì)充滿.求此電容器的電容.

解：方法一：利用電容器串聯(lián)公式原電容器可看成是由兩個(gè)電容器C1與C2串聯(lián)而成，如右圖所示.C1C2因此原電容器的電容為10解：方法二：利用電容的定義公式設(shè)電容器帶電量為Q，如圖所示.

則相對介電常數(shù)為εr1的電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度為相對介電常數(shù)為εr2的電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度為那么，原電容器兩極板間的電勢差為11因此，電容器的電容為125.23將一個(gè)100pF的電容器充電到100V，然后把它和電源斷開，再把它和另一電容器并聯(lián)，最后電壓為30V.第二個(gè)電容器的電容多大？并聯(lián)時(shí)損失了多少電能？這電能哪里去了？解:由于第一個(gè)電容器充電后與電源斷開，所以其上的電量保持不變,設(shè)為Q0.

當(dāng)它與第二個(gè)電容器并聯(lián)時(shí)，這電量將在這兩個(gè)電容器中重新分布，但總量不變.

于是有所以有13并聯(lián)時(shí)損失的電能為代入有關(guān)數(shù)據(jù)，可求得這電能消耗在連接導(dǎo)線的焦耳熱上145.3兩共軸的導(dǎo)體圓筒的內(nèi)、外筒半徑分別為R1和R2，R2<2R1.其間有兩層均勻電介質(zhì)，分界面半徑為r0.內(nèi)層介質(zhì)相對介電常量為εr1，外層介質(zhì)的相對介電常量為εr2，且εr2=εr1/2.兩層介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)都是Emax.當(dāng)電壓升高時(shí)，哪層介質(zhì)先擊穿？兩筒間能加的最大電勢差多大？R1R2r0εr1εr2解：設(shè)內(nèi)圓筒帶電，其面電荷密度為σ.

則利用D的高斯定理易得內(nèi)、外圓筒間的電位移為場強(qiáng)為：內(nèi)層介質(zhì)中外層介質(zhì)中15場強(qiáng)為：內(nèi)層介質(zhì)中外層介質(zhì)中R1R2r0εr1εr2顯然，內(nèi)層介質(zhì)中最大場強(qiáng)出現(xiàn)在r=R1處外層介質(zhì)中最大場強(qiáng)出現(xiàn)在r=r0處因?yàn)?，?/p>

由于當(dāng)電壓升高時(shí)，外層介質(zhì)場強(qiáng)總大于內(nèi)層介質(zhì)場強(qiáng)，故外層介質(zhì)中的r0處先達(dá)到擊穿場強(qiáng)而被擊穿.場強(qiáng)為：內(nèi)層介質(zhì)中外層介質(zhì)中R1R2r0εr1εr2內(nèi)外筒間的電壓為不致電介質(zhì)被擊穿的最大電壓為175.14一個(gè)平行板電容器的每個(gè)板的面積為0.02m2,兩板相距0.5mm，放在一個(gè)金屬盒子中(如圖所示).電容器兩板到盒子上下底面的距離各為0.25mm，忽略邊緣效應(yīng)，求此電容器的電容.如果將一個(gè)板和盒子用導(dǎo)線連接起來，電容器的電容又是多大？0.50mm0.25mm0.25mm解：分別以A、B、H表示平行板電容器的兩個(gè)極板和金屬盒子.ABH

那么，平行板電容器與金屬盒子所組成的電容器系統(tǒng)的電路如圖1所示.AAHHBB圖1這一系統(tǒng)的等效電容為18ABH0.50mm0.25mm0.25mmAAHHBB圖1其中S=0.02m2,d1=0.50mm=5×10-4m其中S=0.02m2,d2=0.25mm=2.5×10-4m由(1)、(2)、(3)式，并代入有關(guān)數(shù)據(jù)可求得19ABH0.50mm0.25mm0.25mm圖2

當(dāng)平行板電容器的一個(gè)極板(如B板)與盒子用導(dǎo)線相連接的情況,如圖2所示.圖3AAHHBBAAHB此系統(tǒng)的電路如圖3所示.這一系統(tǒng)的等效電容為代入有關(guān)數(shù)據(jù)可求得20dahεr圖15.20一種利用電容器測量油箱中油量的裝置示意圖如圖1所示.附接電子線路能測出等效相對介電常量εr,eff(即電容相當(dāng)而充滿板間的電介質(zhì)的相對介電常量).設(shè)電容器兩板的高度都是a，試導(dǎo)出等效相對介電常量和油面高度的關(guān)系，以εr表示油的相對介電常量.就汽油(εr=1.95)和甲醇(εr=33)相比，哪種燃料更適宜用此油量計(jì)？解：設(shè)圖1中兩板的距離為d，板的寬度為b.

該裝置相當(dāng)于兩個(gè)電容器并聯(lián)，其中一個(gè)電容器極板間充滿油料.等效電容為其中21dahεr圖1由此可得等效相對介電常量為

由此式知，當(dāng)εr較大，則液面高度有同樣的變化時(shí)，εr，eff較大.因?yàn)榧状嫉南鄬殡姵Ａ?εr=33)比汽油的相對介電常量(εr=1.95)大，故甲醇更適宜用此油量計(jì).所以等效電容為225.21一球形電容器的兩球間下半部充滿了相對介電常量為εr的油，它的電容較未充油前變化了多少？R1R2解：設(shè)球形電容器的兩球的半徑分別是R1和R2.

未充油前，球形電容器的電容為

充油后，球形電容器相當(dāng)兩個(gè)半球形電容器并聯(lián)而成，故其電容為由以上兩式可求得它的電容較未充油前變化了235.18將一個(gè)12μF的電容器和兩個(gè)2μF的電容器連接起來組成電容為3μF的電容器組.如果每個(gè)電容器的擊穿電壓都是200V，則此電容器組能承受的最大電壓是多大？解：將一個(gè)12μF的電容器和兩個(gè)2μF的電容器連接起來組成電容為3μF的電容器組，則只有如圖1所示的連接才行.圖112μF2μF2μF其等效電路如圖2所示.圖212μF4μFC1C2其中C1、C2的擊穿電壓都是200V.設(shè)電容器帶有電量為Q，則有由此可得24圖112μF2μF2μF圖212μF4μFC1C2設(shè)此電容器組所承受的電壓為U，則有由以上兩式求得因?yàn)楣蔬@表明此電容器組能承受的最大電壓是Umax=267V255.22將一個(gè)電容為4μF的電容器和一個(gè)電容為6μF的電容器串聯(lián)起來接到200V的電源上，充電后將電源斷開并將兩電容器分離.在下列兩種情況下，每個(gè)電容器的電壓各變?yōu)槎嗌伲?1)將每一個(gè)電容器的正板與另一個(gè)電容器的負(fù)板相連;(2)將兩電容器的正板與正板相連，負(fù)板與負(fù)板相連.解:充電后，每個(gè)電容器所帶電量都為Q0：(1)將每一個(gè)電容器的正板與另一個(gè)電容器的負(fù)板“反向”相連,如圖1所示.

那么兩電容器上的等量正負(fù)電荷將中和,每個(gè)電容器