疲勞和斷裂第三講

第三章疲勞應用統(tǒng)計學基礎3.1疲勞數(shù)據(jù)的分散性3.2正態(tài)分布3.3威布爾分布3.4二元線性回歸分析3.5S-N曲線和P-S-N曲線的擬合1第三章疲勞應用統(tǒng)計學基礎3.1疲勞數(shù)據(jù)的分散性1)實驗：7075-T6鋁R=-1,恒幅45678X=lgN105099.9Pf100

7075-T6鋁合金對數(shù)疲勞壽命分布2430.117030999051Sinclair和Dolan,1953.應力水平越低，壽命越長，分散性越大。152207MPa下57件，壽命:2×106108次；240MPa下29件，壽命:7×1054×106次275MPa下34件，壽命：1×1058×105次310MPa下29件，壽命：4×1041×105次430MPa下25件，壽命：1.5×1042×104次。分散性：共174件NS(MPa)400300200104101010105678klgN2015105678+207MPa共57件壽命分布直方圖100102倍對數(shù)正態(tài)分部3Duototherandomnatureoffatigueprocess,thelifeofcomponentsandstructurescannotbepredictedbyusingconventionaldeterministicapproaches.Foranaccuratefatiguelifepredictiononlyprobability-basedmodelscanbeusedinengineeringdesignandsystemsanalysis.由于疲勞過程中固有的隨機性，結構和構件的壽命不能用傳統(tǒng)的確定性方法預測。在工程設計和系統(tǒng)分析中，準確的疲勞壽命預測只有采用以概率為基礎的方法。4材質不均勻，加工質量，加載誤差，試驗環(huán)境等。原因：裂紋、缺口件的疲勞破壞局限在裂紋或缺口高應力局部，上述因素影響較小。光滑件壽命分散>缺口件>裂紋擴展壽命

給定應力水平下，壽命小于N的概率pf？

存活率為ps（如99%）的疲勞壽命？問題疲勞壽命常用對數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布描述。50f(x)mx=X正態(tài)概率密度曲線3.2正態(tài)分布對數(shù)疲勞壽命lgN常常是服從正態(tài)分布的。令X=lgN,X即服從正態(tài)分布。一、正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)密度函數(shù)：(-<x<)是均值；f(x)關于x=對稱為標準差，是非負的。6越小，f()越大，曲線越瘦，X的分散性越小。故標準差反映X的分散性。(1)f(x)0;隨機變量X取值的可能性非負。在x=處,f(x)最大，且:f(x=)=密度函數(shù)性質：(無論分布形式如何)(2)；所有取值的總可能為1。0f(x)mx=X正態(tài)概率密度曲線7正態(tài)概率分布函數(shù)F(x)為：F(x)是X小于等于x的概率,

是f(x)在x左邊的面積。0f(x)mxX正態(tài)概率密度曲線F(x)1-F(x)顯然:

Pr(X>x)=1-F(x)F()=8二、標準正態(tài)分布令,即有：注意dx=du,由密度函數(shù)變換公式可得到標準正態(tài)分布密度函數(shù)為：

(-<u<)U0-uuf(u)標準正態(tài)分布密度函數(shù)

u服從均值=0、標準差=1的正態(tài)分布。標準正態(tài)分布函數(shù)則為：9u<0或(u)<0.5，利用(-u)=1-(u)的關系求解。注意有：

(0)=0.5；

(-u)=1-(u)；

Pr(a<u<b)=(b)-(a)u(u)關系，還可用近似表達式表達，如：u0(u)0.5且由，還有：

F(x)=Pr(Xx)=Pr(Uu)=(u)故求正態(tài)分布函數(shù)F(x)，只需求得(u)即可。U0-uuf(u)標準正態(tài)分布密度函數(shù)(-u)F(u)1-FU0abf(u)(a)(b)-(a)10分布參數(shù)估計：設在某si下，樣本含n個疲勞壽命數(shù)據(jù)xi=lgNi；破壞概率為p的對數(shù)疲勞壽命xp為：三、給定疲勞壽命下的破壞概率估計則樣本均值為：樣本方差s2為：標準差s是偏差(xi-)2的度量，反映分散性大小。只有(n-1)個偏差獨立。up可由p確定。存活概率R=1-p。113)存活率為99.9%的壽命：xp=2.1674-3.09×0.05=2.013R=99.9%的安全壽命為：Np=lg-1xp=103(千周)例3.1在某應力水平下，測得表中一組疲勞壽命數(shù)據(jù)Ni。試確定存活率為99.9%的安全壽命N。解：將Ni從小到大排列；1)計算樣本均值和標準差；=2.1674s=0.05；(n=10)2)確定標準正態(tài)偏量up。p=1-R=0.001=0.1%查表3.1得：up=-3.09序號iN/10i312345678910124134135138140147154160166181xi24.38234.52464.53824.57924.60574.69724.78524.85814.92885.0972S21.673546.9965x=lgNii2.09342.12712.13032.13992.14612.16732.18752.20412.22012.257712若=95%，意味著100個樣本估計的xp中，有95個小于xp(g)。即有95%的把握認為估計量小于真值。四、置信水平估計量Np=+ups，若大于真值+up，偏于危險。置信度：估計量小于真值的概率。破壞率p，置信度的對數(shù)壽命寫為：單側容限系數(shù)k：有表可查若u=0,有k=up，則xp(g)=+ups；=50%。13五、正態(tài)概率紙問題：X是否服從正態(tài)分布？已知：xF(x)關系：非線性

xu關系：線性F(x)=(u)u：一一對應能否作出xF(x)呈線性關系的坐標紙？先畫x-u坐標，即若隨機變量X服從正態(tài)分布，則有線性關系；再按u-(u)關系，依據(jù)u標定F(x)，則線性關系不變。若X服從正態(tài)分布，F(xiàn)(x)-x在概率紙上呈線性。x正態(tài)概率紙up0321-1-2-3p1000.010.1150103070909999.914利用正態(tài)概率紙檢驗隨機變量X是否服從正態(tài)分布，需xiF(xi)數(shù)據(jù)描點，由其是否線性作出判斷。F(xi)是對數(shù)壽命X小于xi的概率，即破壞概率。其均秩估計量為：F(xi)=pi=i/(n+1)無論X服從何種分布，此式均適用。序號iN/10i3x=lgNiiin+1123456789101241341351381401471541601661812.09342.12712.13032.13992.14612.16732.18752.20412.22012.25770.09090.18180.27270.36360.45450.54550.63640.72730.81820.9091例3.1之xiF(xi)數(shù)據(jù)如表所列，可在正態(tài)概率紙上描點，觀察是否呈線性，判斷X是否服從正態(tài)分布。15樣本標準差s？利用p=15.87時，up=-1；由圖得到：xp=2.114；例3.1之數(shù)據(jù)描點如圖。注意：用s=ctgq估計標準差時，必須x、u的坐標標定一致?？芍篨是否服從正態(tài)分布？均值？(與50%破壞率對應)=2.167由xp=+ups；有：s=(xp-)/up=-xp

=2.167-2.114=0.053P1000.1150103070909999.92.12.22.3x=lgN3210-1-2-3uxq16分析計算框圖：疲勞試驗R、S給定樣本數(shù)據(jù)n個N排序i破壞率F(Ni)=i/(n+1)概率紙上描點[x=lgNi,F(Ni)]是否正態(tài)分布線性？估計分布參數(shù),s(計算或圖解法)x給定破壞概率pf下的疲勞壽命？壽命N對應的pf？up=(lgN-)/s;pf=F(up)xxp=lgNp=+upsx17壽命有大于零的下限,正態(tài)分布不能反映。3.3威布爾分布Weibull1951一、密度函數(shù)和分布函數(shù)1.密度函數(shù)定義為：

(NN0)下限N0，最小壽命;

尺度參數(shù)Na，反映數(shù)據(jù)的分散性；

形狀參數(shù)b；反映f(N)曲線形狀。三個參數(shù)f(N)N-NN-N00ab=1b=3.5-4b=2Weibull密度函數(shù)曲線0指數(shù)Reyleigh正態(tài)分布18N=N0，F(xiàn)(N0)=0，即壽命小于N0的概率為零；N=Na，F(xiàn)(Na)=1-1/e=0.632，Na稱特征壽命參數(shù)。2.分布函數(shù)：F(N)--壽命小于等于N的概率。令x=(N-N0)/(Na-N0),則有dN=(Na-N0)dx,可得：注意F(N)=F(x),故得Weibull分布函數(shù)F(N)為：19變量lglg[1-F(N)]-1lg(N-N0)間有線性關系；或lg[1-F(N)]-1(N-N0)間有對數(shù)線性關系。B是直線的斜率，稱斜率參數(shù)。將分布函數(shù)式改寫為：取二次對數(shù)后得到：3.二參數(shù)威布爾分布函數(shù)令N0=0，則二參數(shù)威布爾分布20能否作出威布爾概率紙？N-F(N)，非線性關系；lglg[1-F(N)]-1-lg(N-N0)，線性lglg[1-F(N)]-1-F(N)，一一對應二、分布參數(shù)的圖解估計二個問題：N是否服從威布爾分布？如何確定其分布參數(shù)？0.90.50.1F(N)lglg[1-F(N)]-1F(N)lglg[1-F(N)]-10.010-0.521-1.339-2.360F(N)lglg[1-F(N)]-1—對應值結論：可作威布爾概率紙。若N服從威布爾分布，概率紙上lg(N-N0)-F(N)應有線性關系。威布爾概率紙lg(N-N)0456lglg[1-F(N)]-10-0.5-1.0-1.5-2.00.90.50.10.050.02F(N)21對于給定應力水平的一組壽命數(shù)據(jù)Ni，估計其對應的破壞概率F(Ni),在威布爾概率紙上描點，即可判斷其是否服從威布爾并估計分布參數(shù)。.1.5120.90.50.1F(N)威布爾概率的應用0.050.02N-N0(10)6ABB'0.63222框圖：疲勞試驗R、S給定樣本數(shù)據(jù)n個N排序i破壞率F(Ni)=i/(n+1)取N0，概率紙上描點[x=lg(Ni-N0

),F(Ni)]是否Weibull分布線性？調(diào)整N0估計分布參數(shù)N0,b；給定破壞概率pf=F(N)下的疲勞壽命N？壽命N對應的pf？23確定性關系--對變量X的每一確定值，變量Y都有可以預測的一個或幾個確定的值與之對應，如，圓周長L=D的確定性關系。3.4二元線性回歸分析二個問題：一組數(shù)據(jù)點是否呈線性？若呈線性，用什么樣的直線描述？一、相關關系和回歸方程相關關系---變量X取某定值時，變量Y并無確定的值與之對應，與之對應的是某唯一確定的概率分布及其特征數(shù)，如S-N關系。24回歸分析的主要任務是：確定回歸方程的形式及回歸系數(shù)；檢驗回歸方程的可用性；利用回歸方程進行預測和統(tǒng)計推斷。設X、Y間存在著相關關系。X=x時，Y的數(shù)學期望E(Y/X=x)是x的函數(shù)，即：E(Y/X=x)=f(x)E通常未知，一般只能通過樣本求其估計量：=f(x)

稱為Y對X的回歸方程。

~y若回歸方程是線性的，有=A+Bx;常數(shù)A、B是待定的回歸系數(shù)。

~y25XY0散點圖分散帶二、最小二乘法擬合回歸方程獲取數(shù)據(jù)樣本(xi,yi)n對描點作散點圖回歸方程形式回歸系數(shù)是否存在相關關系回歸方程估計量與觀測值yi之偏差平方和為：最小二乘法

~yQ是A、B的函數(shù)，Q最小的條件為：；由此給出方程組26正規(guī)方程組為：tyü?=?+??=?+iiiiiiyxxBxAyxBnA2解得：

??t??yü-?--?=?-???-?=yXxYyXxxxnyxyxnBiiiiiiiii2222-=?-???-??=XBYxxnxxyxAiiiiiii22)()())(()(式中，n為樣本數(shù)據(jù)點數(shù)，、分別為變量X、Y的樣本均值，且=xi/n;=yi/nX_Y_X_Y_注意，均值點（、）落在回歸直線上。Y_X_27三、相關系數(shù)及相關關系的檢驗相關系數(shù)r定義為：若令：有：LLxyxx=/r==LLLxyxxyy/BLLxxyy[/]/12?-???-?=xxnyxyxnBiiiiii22)(28偏差平方和為：QABxyYBXBxyiiii=+-=-+-??()[()]__22?__=---[()()]YyBXxii2____=----+-?[()()()()]YyBXxYyBXxiiii2222___=---+-???()()()YyBXxBXxiii222222=---=-??()()__YyBXxLBLiiyyxx2222上式二端除以Lyy,即得：注意:Lyy>Q>0,故相關系數(shù)r￡129XY0r~1完全相關XY0r~-1完全相關XY0r~0完全不相關當時，有Q0，數(shù)據(jù)點基本在回歸直線上，變量X、Y相關密切；?1r,Q,數(shù)據(jù)點越分散，相關越差；若0，X、Y完全不相關。相關系數(shù)r與B同號，r>0,則B>0，正相關；

r<0，B<0，負相關。rr相關系數(shù)的幾何意義:XY00<r<1正相關XY0-1<r<0負相關30回歸方程能否反映隨機變量間的相關關系？是相關系數(shù)起碼值，可查表。與樣本容量n有關，n越大，越小。

與置信水平有關，=1-越大，越大。

是顯著性水平，或納偽概率。rarara相關性檢驗條件為：rra表3-4相關系數(shù)的起碼值

n-20.050.01n-20.050.01n-20.050.0110.9971.00050.7540.874100.5760.708200.4230.537300.3490.449400.3040.393ra31四、利用回歸方程進行統(tǒng)計推斷對應于任一x0，y0正態(tài)分布，n大時，分布參數(shù)可估計為：

==A+Bx

=s=[Q/(n-2)]1/2=[(Lyy-B2Lxx)/(n-2)]1/2y~YX0x0y0~y~=A+Bx利用回歸方程進行統(tǒng)計推斷y~y0=+3sy~y0=-3s直線y=+ups所對應的概率為p=Pr(Yy)。如，up=3時，p=99.87%，故y落在y=+3s之下的概率為99.87%，上限。y~y~up=-3時，p=0.13%，y=-3s為0.13%的下限。y在y=+3s間的概率為p=99.74%。up=0時，p=50%，故y==A+Bx對應概率50%y~y~y~32獲取樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)共n對下面通過一例題，進一步了解其分析步驟。五、

二元線性回歸分析的基本方法：作散點圖回歸方程的形式y(tǒng)=A+Bx~最小二乘法確定回歸系數(shù)A、B相關系數(shù)r相關性檢驗

rra用回歸方程進行預測和統(tǒng)計推斷333.5S-N曲線和P-S-N曲線的擬合實驗得到：Ly12鋁合金板材，在Smax為199、166、141.2、120.2Mpa四種應力水平下的疲勞試驗結果x=lgN，循環(huán)應力比R=0.1S-N曲線和P-S-N曲線擬合計算實例試用最小二乘法擬合S-N曲線和P-S-N曲線。34序號 Smax(MPa)破壞率存活率

i199166141.2120.2Pi=i/n+1Ri=1-pi14.9145.0935.3255.7210.09090.909124.9145.1275.3605.8510.18180.818234.9295.1305.4355.8590.27270.727344.9645.1405.4415.9380.36360.636454.9645.1465.4706.0120.45450.545564.9825.1675.4716.0150.54550.454574.9825.1885.5016.0820.63640.363684.9965.2045.5496.1360.72730.272795.0295.2205.5826.1380.81820.1818105.0635.2485.6126.1650.90910.0909354.55.05.56.06.5X=lgN99.999907050301010.1Ps100對數(shù)疲勞壽命分布表中數(shù)據(jù)在正態(tài)概率紙上描點結果如圖。四種應力水平下的xps數(shù)據(jù)，均呈線性，即x=lgN,服從正態(tài)分布。Smax=199Smax=166Smax=141.2Smax=120.236各應力水平下的xup擬合結果Si

x=A+Bup=lgN i(MPa)AB r lgSPs=50%Ps=99.9%up=0up=-3.091199.04.97370.05660.9752.29894.97374.7988 2166.05.16630.05710.9882.22015.16634.9899 3141.25.47460.10840.9892.14985.47465.1396 4120.25.99170.17220.9732.07995.99175.4596回歸方程估計的存活率ps為50%和99.9%時的x。

ra=0.765a=0.0137由前表所列ps為50%和99.9%時的二組lgSlgN數(shù)據(jù)，給出了給定存活率ps下的S-N關系。p-S-N曲線：存活率為ps的S-N曲線,如曲線2，是p