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.(2017·山東)已知函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x3-eq\f(1,2)ax2,其中參數(shù)a∈R.(1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,討論g(x)的單調(diào)性.13.解析(1)由題意得f′(x)=x2-ax,所以當(dāng)a=2時,f(3)=0,f′(x)=x2-2x,所以f′(3)=3,因此曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因為g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以g′(x)=f′(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx).令h(x)=x-sinx,則h′(x)=1-cosx≥0,所以h(x)在R上單調(diào)遞增.因為h(0)=0,所以當(dāng)x>0時,h(x)>0;當(dāng)x<0時,h(x)<0.①當(dāng)a<0時,g′(x)=(x-a)(x-sinx),當(dāng)x∈(-∞,a)時,x-a<0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(a,0)時,x-a>0,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時,x-a>0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.②當(dāng)a=0時,g′(x)=x(x-sinx),當(dāng)x∈(-∞,+∞)時,g′(x)≥0,所以g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.③當(dāng)a>0時,g′(x)=(x-a)(x-sinx),當(dāng)x∈(-∞,0)時,x-a<0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(0,a)時,x-a<0,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(a,+∞)時,x-a>0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)a<0時,函數(shù)g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(a,0)上單調(diào)遞減;當(dāng)a=0時,函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)
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