流體力學(xué)D課件 第二章

流體靜力學(xué)作用在流體上的力靜止流體的應(yīng)力特征流體靜止的力平衡（微分）方程重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布慣性力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布靜止液體作用在平面上的總壓力靜止液體作用在曲面上的總壓力流體靜止時(shí)的力學(xué)規(guī)律作用在流體上的力質(zhì)量力作用在流體上的力表面力作用于流體對象表面。作用于流體對象內(nèi)部。作用在流體上的力§質(zhì)量力質(zhì)量力：大小與流體的質(zhì)量成比例，作用在流體對象內(nèi)部的所有流體質(zhì)點(diǎn)上。

——如重力、慣性力等。在工程流體力學(xué)中，質(zhì)量力常用單位質(zhì)量力來量度，兩者關(guān)系為單位質(zhì)量力：單位質(zhì)量流體所受到的質(zhì)量力。注意與彈性力學(xué)中體積力的區(qū)別作用在流體上的力§表面力表面力：大小與作用面積成比例，作用在流體對象表面的所有流體質(zhì)點(diǎn)上。

——又稱接觸力，它是相鄰流體之間或其它物體與流體之間相互作用的結(jié)果。表面力又可分為垂直于作用面的壓應(yīng)力和平行于作用面的切應(yīng)力，至于拉應(yīng)力則一般可忽略。靜止流體的應(yīng)力特征所謂流體的靜止，是指流體在外力作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)，即作用在靜止流體上的質(zhì)量力和表面力的合力為零。

——流體所受的質(zhì)量力（重力）一般較易確定，在此著重分析流體所受的表面力（即應(yīng)力）特征?！焯卣?靜止流體不能承受切應(yīng)力，加之其不能承受拉應(yīng)力，因此只能承受壓應(yīng)力，即壓強(qiáng)，壓強(qiáng)作用方向?yàn)樽饔妹娴姆ň€方向。

——切應(yīng)力下流體無法維持靜止?fàn)顟B(tài)。靜止流體的應(yīng)力特征§特征2流體中某一點(diǎn)的壓強(qiáng)的大小值與壓強(qiáng)作用的方向無關(guān)。

——在任意體積的流體表面各點(diǎn)的壓強(qiáng)作用方向是不同的。若在流體對象中選取一體積無限小的微元體（即流體質(zhì)點(diǎn)），則該微元體表面各點(diǎn)的壓強(qiáng)作用方向也各不相同，但可證明：各個(gè)方向的壓強(qiáng)大小相等。注意與彈性力學(xué)中微元體應(yīng)力狀態(tài)的區(qū)別靜止流體的應(yīng)力特征對靜止流體對彈性固體無切應(yīng)力作用情況下的退化對比靜止流體的應(yīng)力特征——由于前述推導(dǎo)過程中的斜面是任意選取的，因此可以斷言：靜止流體中任意一點(diǎn)處各個(gè)方向受到的壓強(qiáng)值的大小是相等的。換言之，平衡流體中某一點(diǎn)處所受的靜壓強(qiáng)是各向同性的。在這種情況下，靜壓強(qiáng)退化為一個(gè)標(biāo)量。一般來說，流體中的壓強(qiáng)分布是不均勻的，因此壓強(qiáng)通常是流體質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)的函數(shù)，即流體靜止的平衡微分方程對作用在流體上的質(zhì)量力和表面力作平衡分析，即可得到流體靜止時(shí)的平衡微分方程。

——在流體對象中選取一體積無限小的微元體（即流體質(zhì)點(diǎn)），則該微元體表面的壓強(qiáng)大小和方向如圖所示。——由于壓強(qiáng)分布不均勻，各個(gè)表面的壓強(qiáng)與中心處的壓強(qiáng)相比均存在一個(gè)微小增量。注意與彈性力學(xué)中平衡微分方程的區(qū)別流體靜止的平衡微分方程對靜止流體對比對彈性固體無切應(yīng)力作用情況下的退化質(zhì)量力體積力流體靜止的平衡微分方程§平衡方程的另一種表達(dá)形式由平衡方程可以求出靜止流體中任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的壓強(qiáng)差：對該式積分，可得到不同質(zhì)量力作用下流體內(nèi)部的壓強(qiáng)分布規(guī)律。是確定等壓面形狀的微分方程。不同液體之間的分界面是等壓面流體靜止的平衡微分方程§質(zhì)量力勢函數(shù)的概念如果存在著一個(gè)函數(shù)，使質(zhì)量力的分量等于這個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，即則稱這個(gè)函數(shù)為質(zhì)量力的勢函數(shù)。存在著對應(yīng)勢函數(shù)的力場稱有勢力場。上式說明在有勢力場中，靜止流體的等壓面也是等勢面。

——重力即是一種典型的有勢力場。重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布

——在一般工程實(shí)際中，流體受到的質(zhì)量力只有重力。本節(jié)研究重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律。如果將坐標(biāo)x軸和y軸放在水平面上，z軸設(shè)為豎直向上，則靜止液體的平衡微分方程可寫為積分常數(shù)c由邊界條件確定。積分得對均質(zhì)流體若1、2點(diǎn)是流體中的任意兩點(diǎn)，則上式可寫為

——重力作用下，連續(xù)、均質(zhì)、不可壓縮流體的靜壓強(qiáng)基本公式重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布§靜壓強(qiáng)分布規(guī)律取流體中任意一點(diǎn)A，考察該處靜壓強(qiáng)。對A點(diǎn)和自由液面（液體與大氣的交界面）上的一點(diǎn)C列出靜壓強(qiáng)基本公式整理得——式中h表示點(diǎn)與自由液面的高差，也稱為淹深靜壓強(qiáng)分布規(guī)律上式表明：靜止液體中任一點(diǎn)的壓強(qiáng)等于液面壓強(qiáng)與單位截面積的液柱重量之和?！o止液體的等壓面為水平面重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布§測壓管水頭為了測量容器中靜止液體某點(diǎn)的壓強(qiáng)，可以在容器壁面的同一高程處開測壓孔，并設(shè)置測壓管。在液體壓強(qiáng)的作用下，測壓管的液柱會(huì)升至一定高度，它是由壓強(qiáng)差引起的，稱為壓強(qiáng)水頭；測點(diǎn)本身的位置高度稱為位置水頭?！后w靜止基本方程的幾何意義：在重力作用下，靜止流體中任一點(diǎn)處的位置水頭與壓強(qiáng)水頭之和為常數(shù)。重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布§液體靜壓方程的物理意義從能量的角度理解液體靜止基本方程的物理意義?！恢酶叨葹榈奈矬w所具有的重力勢能為,相應(yīng)的，單位重量物體的重力勢能即為?！叨炔钍怯蓧簭?qiáng)差引起的，因此可將理解為某種潛在的勢能，稱為壓強(qiáng)勢能。上式表明：在重力作用下，靜止流體中任一點(diǎn)處單位重量物質(zhì)的重力勢能與壓強(qiáng)勢能之和為常數(shù)。運(yùn)動(dòng)的情況下又如何？重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布§相對壓強(qiáng)和真空壓強(qiáng)

絕對壓強(qiáng)

——以絕對真空為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)所表示的壓強(qiáng)。

相對壓強(qiáng)

——以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽橛?jì)算標(biāo)準(zhǔn)所表示的壓強(qiáng)。

真空度

——以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽橛?jì)算標(biāo)準(zhǔn)，所缺失的部分。——在測壓管中，真空管測量的是絕對壓強(qiáng)；開口管測量的是相對壓強(qiáng)?！靿簭?qiáng)的計(jì)量方法應(yīng)力單位液柱高單位這兩者是等效的重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布§例1多層液體容器中的壓強(qiáng)計(jì)算A點(diǎn)壓強(qiáng)：B點(diǎn)壓強(qiáng)：重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布AB7cm5cm9cmCD§例2多層液體測壓管中的壓強(qiáng)計(jì)算由上兩例可知，求解這類問題的關(guān)鍵線索是：同種、連通液體中同一水平面上各點(diǎn)處（即掩深相同各點(diǎn)處）的壓強(qiáng)均相等。重力作用下靜止液體的壓強(qiáng)分布§靜止液體的壓強(qiáng)分布圖壓強(qiáng)分布圖能較形象的表示物體表面上靜止液體的壓強(qiáng)分布情況?！捎谄矫婧颓娴膬蛇呁瑫r(shí)受到大氣壓強(qiáng)作用，因此只需畫出相對壓強(qiáng)的分布。曲面的情況如何？兩要素：大小、方向液體的相對靜止前面說討論的流體靜止，是指流體對于靜止坐標(biāo)系沒有發(fā)生運(yùn)動(dòng)而保持靜止，這種狀態(tài)稱為絕對靜止。在某些情況下，若流體隨容器一起運(yùn)動(dòng)，但流體與容器之間、流體質(zhì)點(diǎn)彼此之間沒有發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)，即流體相對于固結(jié)在容器上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系保持靜止，則稱這種狀態(tài)為相對靜止。作等加速直線運(yùn)動(dòng)容器中的液體作等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)容器中的液體液體隨容器作等加速直線運(yùn)動(dòng)

——當(dāng)液體隨容器以加速度a作水平方向的等加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，分析慣性力和重力共同作用下容器中液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律。將坐標(biāo)x軸和y軸放在水平面上，z軸設(shè)為豎直向上，則相對靜止的單位質(zhì)量流體受到的質(zhì)量力為§等壓面方程

其中c為積分常數(shù)。當(dāng)坐標(biāo)系選擇得當(dāng)時(shí)，使原點(diǎn)位于自由液面上（x=0，z=0），有斜平面族自由表面方程液體隨容器作等加速直線運(yùn)動(dòng)§靜壓強(qiáng)分布規(guī)律液體中任意相鄰兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為積分得其中c為積分常數(shù)，由邊界條件確定。當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)位于自由液面上時(shí)，此處液體壓強(qiáng)為當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)，有另一種意義上的掩深液體隨容器作等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

——當(dāng)液體隨容器以等角速度作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，分析慣性力和重力共同作用下容器中液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律。將坐標(biāo)x軸和y軸放在水平面上，z軸與旋轉(zhuǎn)軸重合，設(shè)為豎直向上，如圖所示，則單位質(zhì)量的流體所受到的質(zhì)量力為其中r是點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離。液體隨容器作等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)§等壓面方程

積分得其中c為積分常數(shù)。當(dāng)坐標(biāo)系選擇得當(dāng)時(shí)，使原點(diǎn)位于自由液面上（r=0，z=0），有旋轉(zhuǎn)拋物面族自由表面方程等壓面的法線方向就是質(zhì)量力的合力方向?qū)σ后w的自由表面方程作進(jìn)一步討論。將液體自由表面上某點(diǎn)高出拋物面頂點(diǎn)的距離稱為超高，則該情況下液面的最大超高為因向心力作用而形成的旋轉(zhuǎn)拋物體的液體體積（oxy平面以上部分）為液體隨容器作等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)——其中R為容器的內(nèi)半徑——圓柱形容器中，因等角速度旋轉(zhuǎn)而形成的液體拋物體體積恰好是高度為最大超高的圓柱形體積的一半。液體隨容器作等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)§靜壓強(qiáng)分布規(guī)律液體中任意相鄰兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為積分得其中c為積分常數(shù)，由邊界條件確定。當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)位于自由液面上時(shí)，此處液體壓強(qiáng)為當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)，有另一種意義上的掩深液體隨容器作等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)靜止（包括絕對靜止和相對靜止）情形下液體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律遵循統(tǒng)一的形式其中h是流體中某一點(diǎn)在自由液面下的掩深。在不同的質(zhì)量力作用情況下，靜止液體所形成的自由液面形狀也有所不同。示例：課本例題2-1、2-2作業(yè)：課后習(xí)題2-9、2-10、2-12、2-13、2-15測壓計(jì)測量流體壓強(qiáng)是流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容。測量流體壓強(qiáng)的儀器種類很多，按其工作原理可分為三大類。液柱式測壓計(jì)壓力傳感器金屬測壓計(jì)彈簧管機(jī)械式壓電式壓阻式應(yīng)變式基于測壓管水頭原理示例：課本例題2-3再次強(qiáng)調(diào)，求解這類問題的關(guān)鍵線索：同種、連通液體中同一水平面上各點(diǎn)處（即掩深相同各點(diǎn)處）的壓強(qiáng)均相等。靜止液體對平面的總壓力——在工程實(shí)際中常常需要計(jì)算液體對物體的作用力，如在設(shè)計(jì)擋水墻、水閘、水壩等建筑物時(shí)，都需要考察其表面受到的總水壓力。作用在物體平面上的壓強(qiáng)是一種分布力，其合力就是液體對平面的作用力，其合力的作用點(diǎn)則稱為壓力中心。大小方向作用點(diǎn)靜止液體對平面的總壓力§平面受到的總壓力以如圖所示平板為例，選取受力對象上的一個(gè)微元體來進(jìn)行考察：微元體上的壓強(qiáng)微元體上的微小作用力積分得到合力靜止液體對平面的總壓力形心坐標(biāo)/掩深§壓力中心利用合力矩定力，即合力對某軸的矩等于各分力對于該軸的矩之和，即可確定壓力中心的位置。對x軸的矩靜止液體對平面的總壓力慣性矩另一方面，同時(shí)還有因此靜止液體對平面的總壓力——工程中使用的平板一般具有對稱性，在這種情況下，x方向的壓力中心位置很容易確定。由上式可看出，受力平板的壓力中心D總是位于形心C的下方，且平板的掩深越大，兩者相隔越近?！炀匦纹矫娴氖芰η闆r情況1：平板上邊緣與液面齊平?？倝毫毫χ行撵o止液體對平面的總壓力結(jié)果的物理意義——三角形載荷的合力作用點(diǎn)就在三角形載荷圖形的形心處。§矩形平面的受力情況情況2：平板上邊緣與液面相隔一定的深度。將梯形分布載荷分解為均布載荷和三角形分布載荷?？倝毫毫χ行撵o止液體對平面的總壓力——此處yD

是指合力作用點(diǎn)（壓力中心）到平板上邊緣的距離。①直接使用前面得到的壓力中心計(jì)算公式計(jì)算情況2的壓力中心，并與使用載荷分解方法所得的結(jié)果作對比。靜止液體對平面的總壓力示例：課本例題2-5②靜止液體對曲面的總壓力——曲面分二維曲面和三維曲面。二維曲面是母線在一條曲線上連續(xù)滑動(dòng)所形成的曲面，也稱柱面。工程上使用的曲面多為二維曲面。本節(jié)主要探討二維曲面的受力情況。§曲面壁上的作用力設(shè)有一個(gè)承受液體壓力的二維曲面ab，其面積為A，曲面在xoz

平面上的投影為曲線ab。掩深為h處的微小曲面dA

上所受的微小作用力為dF注意方向靜止液體對曲面的總壓力§作用力的水平分力微小作用力的水平分力為

顯然，不同位置的微元曲面的水平夾角是不同的。相應(yīng)的合力為——三維曲面情況下，作用力在水平方向有兩個(gè)分力（x軸和y軸），可根據(jù)其在兩個(gè)水平方向上的投影形狀和面積分別作計(jì)算。曲面在x方向的投影面積投影面形心處的掩深作用點(diǎn)ABCO靜止液體對曲面的總壓力§作用力的垂直分力微小作用力的垂直分力為相應(yīng)的合力曲面上每一點(diǎn)的掩深線（共無數(shù)條）組成的空間體體積。曲面上某一點(diǎn)掩深線所形成的微小體積。作用點(diǎn)方向的確定靜止液體對曲面的總壓力§壓力體壓力體是由曲面、經(jīng)過曲面的周邊垂直線所組成的曲面，以及液面所圍成的空間體的體積。曲面所受到的總壓力在垂直方向的分量等于液體的密度、重力加速度，以及相應(yīng)的壓力體體積三者作乘積?！獕毫w是一個(gè)重要的概念，熟練掌握后可為總壓力的計(jì)算帶來極大方便。——壓力體僅僅表示一個(gè)積分結(jié)果，與壓力體內(nèi)是否有液體無關(guān)。液體與壓力體同側(cè)液體與壓力體異側(cè)靜止液體對曲面的總壓力§靜止液體對曲面的總壓力對于二維曲面，兩個(gè)方向的作用力必交于一點(diǎn)，合力的大小、方向均可由分力確定。對于三維曲面，三個(gè)方向的作用力組成一個(gè)空間力系，一般情況下它們不能合成為一個(gè)力。§復(fù)雜曲面的情況計(jì)算復(fù)雜曲面的總壓力在垂直方向的分力時(shí)，要將復(fù)雜曲面拆分成若干個(gè)單側(cè)曲面處理。所謂單側(cè)曲面，是