2023年高三數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)與題型總結(jié)文科

知識(shí)點(diǎn)歸納一.向量的基本概念與基本運(yùn)算１、向量的概念:①向量:既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.②零向量：長(zhǎng)度為０的向量,記為，其方向是任意的，與任意向量平行③單位向量：模為１個(gè)單位長(zhǎng)度的向量④平行向量（共線(xiàn)向量):方向相同或相反的非零向量⑤相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量2、向量加法:設(shè)，則＋=＝(1）;（2)向量加法滿(mǎn)足互換律與結(jié)合律;,但這時(shí)必須“首尾相連”．3、向量的減法：①相反向量:與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差,③作圖法:可以表達(dá)為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量(、有共同起點(diǎn)）４、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ);（Ⅱ)當(dāng)時(shí),λ的方向與的方向相同;當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反;當(dāng)時(shí)，，方向是任意的5、兩個(gè)向量共線(xiàn)定理:向量與非零向量共線(xiàn)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得=６、平面向量的基本定理:假如是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量,那么對(duì)這一平面內(nèi)的任歷來(lái)量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：,其中不共線(xiàn)的向量叫做表達(dá)這一平面內(nèi)所有向量的一組基底二.平面向量的坐標(biāo)表達(dá)1平面向量的坐標(biāo)表達(dá)：平面內(nèi)的任歷來(lái)量可表達(dá)成，記作＝（x,ｙ)。2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:若，則若,則若=（x,y),則=（x，y)若，則若，則若，則三.平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積:已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cｏs叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積)規(guī)定２向量的投影:︱︱ｃｏs=∈R,稱(chēng)為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱(chēng)為射影３數(shù)量積的幾何意義:·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系:5乘法公式成立：;6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①互換律成立:②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立:③分派律成立：特別注意:(１)結(jié)合律不成立：;(2）消去律不成立不能得到（3)=０不能得到＝或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算:已知兩個(gè)向量，則·=8向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量與,作=,=，則∠AOB=（）叫做向量與的夾角ｃoｓ==當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí),θ=00,當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800,同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題9垂直:假如與的夾角為９00則稱(chēng)與垂直,記作⊥10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝Ｏ平面向量數(shù)量積的性質(zhì)【練習(xí)題】1、給出下列命題：①兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量,一定是共線(xiàn)向量;②若A，B,C，Ｄ是不共線(xiàn)的四點(diǎn),則＝是四邊形ＡBＣD為平行四邊形的充要條件;③若a與b同向，且|a｜>|b|,則a＞b;④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa=μb,則a與b共線(xiàn).其中假命題的個(gè)數(shù)為()A．1?B．2C．3 ? ??D．42．設(shè)a０為單位向量,①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|ａ|ａ0；②若ａ與a０平行，則a＝|a|a0;③若a與a0平行且|a|＝1，則ａ=a０．上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（)A．0? ?? B．1C．２ ?? Ｄ．33、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn)．(1)若＝a＋b，＝2a+8b,＝3（a－b)．求證:Ａ,B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；(２)試擬定實(shí)數(shù)k,使kａ＋b和a＋ｋb共線(xiàn)．4、已知兩點(diǎn)A（４,1),Ｂ(7,－3),則與同向的單位向量是()A.eｑ＼b\ｌc\（\rc＼)(\a\vs４＼ａl\cｏ1(＼f(３，５），－\f(4,5))) ? ???Ｂ.eq＼b\lc\(＼rｃ＼)(\a\vs4\al\ｃo1(-＼f(3,5)，＼f(4,５)）)Ｃ.eq＼ｂ\lc\（\rc＼)（＼a\vs4\al\ｃo1(－＼ｆ(4,5)，\f(３,５)))? ? ?Ｄ.eq＼b\lｃ\（\rc\)(\ａ\vs4＼al\cｏ1(\f(４,5)，－\f(３，5))）5、在△ABC中,Ｍ為邊ＢC上任意一點(diǎn)，N為ＡM中點(diǎn),=λ+μ，則λ＋μ的值為()A.ｅq\f(1,2）?Ｂ.eｑ\f(1,3)C．eq\f(1，4)? D．１6、已知兩個(gè)單位向量e1，ｅ２的夾角為eｑ\f(π，3），若向量ｂ1=e1-2ｅ２，ｂ2＝3e1+４e2,則b１·b２＝＿_(dá)____＿_(dá).7、已知|ａ|＝1,|b｜＝2,a與ｂ的夾角為12０°,a＋b＋c=0，則a與c的夾角為()A．１5０°? B.９０°C．6０°? ??Ｄ.３０°8、已知a與b為兩個(gè)不共線(xiàn)的單位向量，ｋ為實(shí)數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則ｋ=__＿＿_(dá)_＿_(dá)．9、設(shè)向量a，b滿(mǎn)足|ａ｜＝1，|ａ-b|＝eq\r（3),a·(a-b)=０,則|2a+b|＝()A．2?B．２eq\r(3)Ｃ.４? ???D.4eq\r(3)10、已知向量a=（siｎｘ，1)，b=eq\b\ｌc\(\rc\)（＼a＼vs４\al\co1(ｃosx,－\f(1，2))）.(1)當(dāng)a⊥b時(shí),求｜a+ｂ|的值；(２)求函數(shù)f(x）＝ａ·(b-a)的最小正周期．1１、已知ｆ（x)＝ａ·ｂ,其中a=（２ｃosｘ，-eｑ\r（3)sｉn2x)，ｂ=(ｃosx,1）（x∈Ｒ)．(１)求f(ｘ)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間;(2）在△AＢC中,角A,B,Ｃ的對(duì)邊分別為a,b，ｃ,f(A）=-1,a=eq\r(7），·＝3，求邊長(zhǎng)b和c的值(b>ｃ）.AOMNPB1２、如圖,在中,a，ｂ,M為OB的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，P為ON、AM的交點(diǎn)，則等(AOMNPBAabBabCabDａb１3.△AＢＣ中,ＡB邊的高為ＣＤ，若＝a,＝b，a·b＝0,|a|＝1,|ｂ|＝2，則＝(）A.eq\ｆ(1，3)ａ－eq\ｆ(1,3）b? B.eq\f(2，3)ａ-eq\f（2,3)bC.eq\f（3,5）a－ｅq\f(3,５）b ? ?Ｄ．eｑ\f(4,5）a－eq\ｆ(4,5）ｂ14.(２０23·鄭州質(zhì)檢)若向量a＝(ｘ－1，2),ｂ＝(４，y）互相垂直，則9x＋3y的最小值為(）A．12?? ?? Ｂ．2eq\r(3)C．3eｑ\r（2) ??? D.61５．(20２3·山西省四校聯(lián)考)在△OＡB(Ｏ為原點(diǎn)）中，=(2cｏｓα,2ｓinα)，=(5cosβ，５ｓinβ），若·＝－5，則△OAB的面積Ｓ=（)Ａ．eq\r(３)??? B.ｅｑ\f(\r（３),2）C．5eq＼r（3) ??? D.eq\f(5\r(３),2)16、若ａ,ｂ,c均為單位向量，且ａ·b＝0，(a－c)·(b-c）≤0，則|a＋b-ｃ|的最大值為()．A.eq\r（２)-1B．1C.ｅq\r(２)D．21７、已知△ＡＢC為等邊三角形，AB=２.設(shè)點(diǎn)P,Q滿(mǎn)足eｑ＼o(AP,＼s＼uｐ6(→））=λeｑ＼o(AＢ,\s＼uｐ６(→)),eq\ｏ(AQ，＼s\uｐ6（→))=(1－λ）eq\ｏ（AC,\ｓ\ｕｐ6(→))，λ∈R,若ｅq\ｏ(BQ，\s\uｐ6（→))·ｅｑ\o(ＣP,\s＼up6(→))=-eｑ\f(３,2)，則λ=()．Ａ．eq＼f（１,2）B.eｑ＼f(1±\ｒ(２)，２)C．eq\ｆ(1±\r(１0),2）D.ｅq\ｆ(-3±2＼r(2),２)18如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(０，０)，B(４,1)，Ｃ（6,8)．（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若=2,F為AD的中點(diǎn),求AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo)．．【課后練習(xí)題】1.下列等式:①０eq\a＼vs4＼al(－)ａ＝－a；②-(-a)=ａ；③a+（－ａ)=０；④ａ＋0eq\a\ｖs4\aｌ(＝)ａ;⑤a-b＝a＋(-b)．對(duì)的的個(gè)數(shù)是()A．2?Ｂ．3C．4 ? ? Ｄ．5解析:選C2．(２0２3·福州模擬)若a+b+c＝0,則a，b，c(）A.都是非零向量時(shí)也也許無(wú)法構(gòu)成一個(gè)三角形B．一定不也許構(gòu)成三角形C.都是非零向量時(shí)能構(gòu)成三角形D．一定可構(gòu)成三角形解析:選A3．（2０２3·威海質(zhì)檢)已知平面上不共線(xiàn)的四點(diǎn)O，Ａ，B,C.若＋2＝3,則eq＼ｆ(||，|｜）的值為()A.ｅq\f(1，2）?????B.eq\f(1,3)Ｃ．eq\ｆ(1,4）? ? ?D.ｅq＼f(1,6)解析:選A4．(2023·海淀期末)如圖，正方形ABCＤ中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)Ｆ是BＣ的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近B)，那么=()A.ｅｑ\f(1，２)－ｅq\ｆ(1,3) ??B．eq＼f（1,４）+eq＼f(1,２)C．eq\f(1,3）+eq\f(1,2） ???Ｄ.ｅq\f(1,2)-eq＼f(２,3)解析:選Ｄ5．(20２3·揭陽(yáng)模擬）已知點(diǎn)O為△ABＣ外接圓的圓心,且＋+＝0，則△AＢC的內(nèi)角Ａ等于()A．30°???? B．60°C．90°?? ?D.1２0°解析：選Ａ6.已知△ＡBC的三個(gè)頂點(diǎn)A、Ｂ、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足++＝,則點(diǎn)P與△AＢC的關(guān)系為()A．P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABC外部C.P在ＡB邊所在直線(xiàn)上Ｄ.P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)解析:選Ｄ7．(2023·鄭州五校聯(lián)考)設(shè)點(diǎn)M是線(xiàn)段BＣ的中點(diǎn),點(diǎn)Ａ在直線(xiàn)BC外,２＝16，|＋|=|－|,則||＝＿_(dá)__＿＿_(dá)＿.答案:28．(２0２3·大慶模擬)已知O為四邊形ＡBCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量,，,滿(mǎn)足等式+＝＋,則四邊形ＡBＣD的形狀為_(kāi)＿＿＿_(dá)＿＿_(dá).答案：平行四邊形9.設(shè)向量e1,ｅ２不共線(xiàn)，＝３(e1＋e2)，＝ｅ2－e１，＝２e1＋e2,給出下列結(jié)論：①Ａ,B，C共線(xiàn);②Ａ，Ｂ,Ｄ共線(xiàn);③B，C，D共線(xiàn)；④A，C，Ｄ共線(xiàn),其中所有對(duì)的結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)______＿．答案：④10.設(shè)i,ｊ分別是平面直角坐標(biāo)系Ox，Oｙ正方向上的單位向量,且＝－2ｉ＋mj，=ni＋j,＝５ｉ-j,若點(diǎn)A，B，C在同一條直線(xiàn)上，且m＝2ｎ,求實(shí)數(shù)m,ｎ的值．ｅｑ\b\lc\{＼rc\(\ａ\vs4\al＼co1(m=6,，n＝３，))或eq\b\lc\｛＼rc\（\a＼vs4\al＼ｃｏ1（ｍ＝3,,ｎ＝＼ｆ(3,2).))7.已知向量a＝ｅｑ\b＼lc\（\rc＼)（\a\ｖｓ4\al\ｃｏ1(8，＼f(x,2))),b=(x，1),其中x>０,若(ａ－２b）∥(2a+b)，則ｘ＝＿_(dá)_____＿.答案:4８．P＝{a｜a=（-１,1)＋m（1,２）,ｍ∈R},Q=｛ｂ|ｂ=(1，－2）＋n(２，３)，n∈R}是兩個(gè)向量集合，則P∩Ｑ等于＿＿_(dá)_____.答案:eｑ\b\lc\{\ｒc\}（\a\vs4\aｌ＼co１（－13，-2３))９．已知向量=(1,－3)，=(2,-1）,=（k+1，k-2)，若A,Ｂ,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿(mǎn)足的條件是_______＿.答案:k≠110.已知A(1,1)，B(3，-1),C(a,b).(1)若Ａ，B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，求a,b的關(guān)系式；(2)若=2,求點(diǎn)C的坐標(biāo).(５,－3）.１1.已知a＝(1,0),b=(２,１)．求:(1)|a+3ｂ|；（２)當(dāng)k為什么實(shí)數(shù)時(shí),ｋa－b與ａ+3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向?方向相反.12．已知Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,２),Ｂ（4,6)，＝t1+t2．(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件;(2）求證:當(dāng)ｔ１＝１時(shí)，不管ｔ2為什么實(shí)數(shù),A，B，Ｍ三點(diǎn)都共線(xiàn).８.已知向量ａ，b夾角為４５°，且|a|=1,|２a-ｂ|=eq＼r(10)，則|b|＝_______＿.答案：3eq\r（2)9．已知向量ａ＝（２,-1）,b=(ｘ,－2）,c＝（3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(ｂ-c)，M(x,y)，Ｎ(ｙ，ｘ),則向量的模為_(kāi)_＿_(dá)_＿_(dá)＿.答案:8ｅｑ\r(2）10.已知a＝（1,2)，ｂ＝(-2，n)，ａ與b的夾角是45°.(1）求ｂ；(2)若c與ｂ同向,且ａ與c-ａ垂直,求ｃ.c＝ｅq\f(1,2）ｂ＝