材料力學(xué)B第4章彎曲內(nèi)力

DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第四章

彎曲內(nèi)力a)外力特征:受橫向載荷的作用，即外力或外力偶的矢量方向垂直于桿軸.

彎曲：以軸線變彎為主要特征的變形形式。§4-1彎曲的概念和實(shí)例b)變形特征:

桿件的軸線由直線變?yōu)榍€.梁：以彎曲變形為主要變形的桿件.c)平面彎曲:

如果作用于桿件上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，彎曲變形后的軸線也將位于這個(gè)平面內(nèi)，這類彎曲稱為平面彎曲。對(duì)稱面彎曲的一些實(shí)例梁的簡(jiǎn)化力學(xué)模型:通常使用軸線來(lái)表示梁的力學(xué)模型.

§4-2受彎桿件的簡(jiǎn)化梁的支撐類型:1)固定端或夾緊支座2)鉸支座3)滾動(dòng)支座靜定梁的三種類型:簡(jiǎn)支梁的一端是鉸支座，另一端為滾動(dòng)支座.1)簡(jiǎn)支梁2)懸臂梁懸臂梁一端固定另一端自由.3)外伸梁載荷類型均布載荷集中載荷簡(jiǎn)支梁q懸臂梁線性分布載荷載荷集度力偶qFM使用截面法計(jì)算彎曲內(nèi)力FQM分割

選取替換平衡計(jì)算FQ和M.

FQ–稱為剪力

M–稱為彎矩FQ和M

即為彎曲內(nèi)力§4-3剪力和彎矩彎曲內(nèi)力的符號(hào)約定:彎矩的符號(hào)約定：剪力的符號(hào)約定:FQFQMM例4-1取1-1截面左邊的梁段，根據(jù)平衡條件計(jì)算FQ1和M1.qqLab1122懸臂梁受力如圖所示，計(jì)算1截面和2截面上的剪力和彎矩.解:

1求支反力xyqLFQ11M1x1MMFRMR2用截面法計(jì)算FQ1和M1取2-2截面左邊的梁段，根據(jù)平衡條件計(jì)算FQ2和M2.qqLab11223用截面法計(jì)算FQ2

和M2xyqLFQ22M2x2MMFRMR若取2-2截面右邊的梁段，計(jì)算FQ2和M2.qqLab1122xyFQ22M2x2MFRMRFRMR求彎曲內(nèi)力的簡(jiǎn)便方法:

1)任意截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)或右側(cè)梁段上所有外力的代數(shù)和。截面左側(cè)梁段上向上的力或截面右側(cè)梁段上向下的力產(chǎn)生正剪力，反之產(chǎn)生負(fù)剪力。

2)任意橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)或右側(cè)梁段上所有外力對(duì)截面形心之矩的代數(shù)和。向上的力產(chǎn)生正彎矩，向下的力產(chǎn)生負(fù)彎矩。3)如果取截面的左邊梁段研究，則順時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶在截面上產(chǎn)生正彎矩；取截面的右邊梁段研究，則逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶在截面上產(chǎn)生正彎矩。反之產(chǎn)生負(fù)彎矩?！?-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖描述內(nèi)力的變化規(guī)律：（1）數(shù)學(xué)方法—剪力方程和彎矩方程；（2）幾何方法—剪力圖和彎矩圖。剪力方程：彎矩方程：內(nèi)力方程以坐標(biāo)(x,FQ)

和(x,M)表示剪力和彎矩沿軸線變化的圖線稱為剪力圖和彎矩圖。x

表示梁截面的位置。FQ和M分別表示剪力和彎矩的大小。解：

①計(jì)算約束反力.②寫出內(nèi)力方程PYOL③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖.M(x)xFQ(x)FQ(x)M(x)xxP–PLMO例4-2

寫出梁的內(nèi)力方程，并畫內(nèi)力圖。畫內(nèi)力圖的方法:

2)用簡(jiǎn)便方法寫出距原點(diǎn)為x的任意橫截面上的剪力和彎矩，即為剪力方程和彎矩方程。3)根據(jù)內(nèi)力方程確定圖線形式，將特征點(diǎn)相連即可得內(nèi)力圖。

1)一般將梁的左端點(diǎn)定為x軸的原點(diǎn)，坐標(biāo)指向右。FQ(x)xM(x)x–qL例4-3寫出梁的內(nèi)力方程，并畫內(nèi)力圖。解：

①寫出內(nèi)力方程.②根據(jù)方程畫內(nèi)力圖.LqxM(x)FQ(x)RARBL解：

①計(jì)算約束反力.②寫出內(nèi)力方程.③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖.abAB例4-4圖示簡(jiǎn)支梁受一集中力F作用，試作此梁的內(nèi)力圖。CAC段：CB段：RARBL解：

①計(jì)算約束反力.②寫出內(nèi)力方程.③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖.abAB例4-5圖示簡(jiǎn)支梁受一集中力偶M作用，試作此梁的內(nèi)力圖。CAC段：CB段：Mxdx考慮圖示受力情況的簡(jiǎn)支梁，在任意位置x

選取微段dx

（微元）作為自由體。分布載荷方向向上為正。將平衡方程應(yīng)用于自由體受力圖。q(x)FMdxq(x)FQFQ+dFQM(x)M(x)+dM(x)§4-5剪力、彎矩與分布載荷集度之間的微分關(guān)系根據(jù)微元的平衡條件略去二階小量。dxq(x)FQFQ+dFQM(x)M(x)+dM(x)因此可以建立載荷與剪力和彎矩間的微分關(guān)系：載荷與剪力和彎矩間的微分關(guān)系：反映在內(nèi)力圖上：剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處的載荷集度的數(shù)值；彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處的剪力的數(shù)值。以上關(guān)系可用下面的圖表表示外力無(wú)外力作用q=0q>0q<0剪力圖特點(diǎn)CFCmxFQFQ>0FQFQ<0x斜直線遞增函數(shù)xFQxFQ遞減函數(shù)xFQCFQ1FQ2FQ1–FQ2=F從左側(cè)向右側(cè)突降xFQC無(wú)變化斜直線xM遞增函數(shù)xM遞減函數(shù)曲線Mx下凹xM隆起由左到右的折角xM與F相同剪力、彎矩與外力之間的關(guān)系彎矩圖特點(diǎn)均布載荷集中力集中力偶水平直線右左到右突變下降MxM1M2內(nèi)力圖的一些特點(diǎn):

2)在集中力作用點(diǎn)，無(wú)限靠近的兩側(cè)橫截面上的剪力值不相等，即剪力圖不連續(xù)而發(fā)生突變，突變跳躍值等于集中力的數(shù)值。而彎矩圖卻是連續(xù)的。3)在集中力偶作用點(diǎn)，無(wú)限靠近的兩側(cè)橫截面上的彎矩值不相等，即彎矩圖不連續(xù)而發(fā)生突變，突變跳躍值等于集中力偶矩的數(shù)值。而剪力圖卻是光滑連續(xù)的。

1)無(wú)限靠近端部的橫截面上，剪力和彎矩在數(shù)值上等于作用在端部的集中力和集中力偶矩的數(shù)值。4)在均布載荷的端點(diǎn)處，剪力圖連續(xù)但不光滑，彎矩圖光滑連續(xù)。5)在彎矩的極值點(diǎn)處，剪力值為零，彎矩方程關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)等于剪力方程?？刂平孛妗獌?nèi)力遵循某一種作用規(guī)律的梁段的兩端以下可以作為控制截面

集中力作用點(diǎn)的兩側(cè)；

力偶作用點(diǎn)的兩側(cè)；

分布力作用段起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)的截面.確定變化范圍—使用控制截面解:

(1)計(jì)算控制截面上的內(nèi)力qAaaqa例4-6

用直接作圖法畫出梁的內(nèi)力圖.FQxqa2qa–xM左端：點(diǎn)A：右端：(2)根據(jù)微分關(guān)系畫內(nèi)力圖.端點(diǎn)A：B點(diǎn)左側(cè)：B點(diǎn)右側(cè)：