立體幾何中的成角問題

立體幾何中的成角問題直線與平面所成角平面與平面所成角空間的角異面直線所成的角異面直線所成的角：

經(jīng)過空間任意一點(diǎn)，作兩條異面直線的平行線，則兩條相交直線所成的銳角(直角)即為兩條異面直線所成的角。范圍：

ABDCA1B1D1C1練習(xí)1、在正方體AC1中，求異面直線A1B和B1C、B1D1所成的角？A1B和B1C所成的角為60°A1B和B1D所成的角為90°練習(xí)2：在正方體AC1中，M,N分別是A1A和B1B的中點(diǎn)，求異面直線CM和D1N所成的角？ABDCA1B1D1C1MNAOB斜線與平面所成角：

平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。范圍：

當(dāng)直線與平面垂直時，直線與平面所成的角是90°當(dāng)直線在平面內(nèi)或與平面平行時，直線與平面所成的角是0°最小角原理AOBC斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角。練習(xí)、若直線l與平面所成的角為60°，則這條直線與平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角為

，最大的角為

。90°60°Ol1例題、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O從一條直線出發(fā)的兩個半平面所形成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱二面角：

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角O二面角的平面角：

二面角的求法(1)三垂線法：利用三垂線定理作出平面角，通過解直角三角形求角的大小(2)垂面法：通過做二面角的棱的垂面，兩條交線所成的角即為平面角(3)射影法:若多邊形的面積是S，它在一個平面上的射影圖形面積是S`，則二面角滿足:COS=S`÷S三垂線法垂面法ABCDO射影法方法選擇的一般順序是：1、先考慮利用三垂線定理來尋找二面角的平面角；2、再考慮二面角中的特殊情況（直二面角）或者通過定義、面積比等方法來找到二面角的平面角。按照這個思路來找二面角的平面角會使得解題更加方便。例：四棱錐P－ABCD的底邊是邊長為1的

正方形，PD垂直于底面，PB＝

（1）求證：BCPCDCBAPM方法一：方法二：（1）方法一：DCBAPM利用三垂線定理（1）方法二：DCBAPM線面垂直線線垂直例：四棱錐P－ABCD的底邊是邊長為1的

正方形，PD垂直于底面，PB＝

（2）求面APD與面BPC所成二面角的大小DCBAPM方法一：方法二：方法四：方法三：（2）方法一DCBAPM作出二面角的棱來確定平面角（2）方法二DCBAPM垂面法（2）方法三DCBAPM射影法（2）方法四DCBAP補(bǔ)形法例：四棱錐P－ABCD的底邊是邊長為1的

正方形，PD垂直于底面，PB＝

（3）若設(shè)PA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與PB所成角的大小

C方法一：方法二：DBAPM（3）方法一DBAPM三垂線法（3）方法二DBAPM平移法ABDCA1B1D1C1練習(xí)：在正方體AC1中，求二面角D1—AC—D的大??？O三棱錐P-ABC中，PA⊥平面A