第02-3章 動(dòng)能定理

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)chapter２dynamicsofparticle本章內(nèi)容§2-1牛頓運(yùn)動(dòng)定律及其應(yīng)用§2-2動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律§2-3動(dòng)能和機(jī)械能守恒定律§2-4角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律第三節(jié)機(jī)械能定律動(dòng)能及其機(jī)械能守恒定律§2-3動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律KineticenergyandConservationofmechanicalenergy本節(jié)內(nèi)容一、功與動(dòng)能二、保守力與勢(shì)能四、碰撞三、機(jī)械能守恒定律1.定義：[預(yù)備知識(shí)]矢量的標(biāo)積2.矢量的標(biāo)積的正交分量表示：（1）恒力做功1．功在數(shù)學(xué)的矢量運(yùn)算中可表示為：一、功與動(dòng)能

21XYOrrqrFP作用于P點(diǎn)的力的元功：（力隨運(yùn)動(dòng)變化，曲線路徑）ab思想：將運(yùn)動(dòng)軌跡分作均勻的Ｎ小段，使得每一小段位移中力可看作恒力（2）變力做功dFF力沿路徑的總功：ab此式的意義是合力的功等于各分量功之代數(shù)和。一、在路徑任意點(diǎn)處選bXYOZ（3）功的計(jì)算二、直角坐標(biāo)系kdzjdyidxrdvvvv++=vvkFjFiFFzyxvv++=a=dz++F(x)dxF(y)dyF(z)=òòAòòabaxbxaybybzazdzdxdyF(x)F(y)F(z)++dzdxdyF(x)F(y)F(z)++[例1]一物體在外力F=3x+2

（SI）作用下，從x=0

移動(dòng)到x=4m處，求該力對(duì)物體所做的功。解：這是一維變力做功的問題例2：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為一拋物線，作用在質(zhì)點(diǎn)的力，試求質(zhì)點(diǎn)從處運(yùn)動(dòng)到處力F所作的功.（SI）

解：時(shí)時(shí)dz++F(x)dxF(y)dyF(z)=òòòA例3:

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m=1.0kg,在力F作用下沿x軸運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為.在0到4s的時(shí)間間隔內(nèi),求合力所作的功.

解:F是合力，

功的大小與參照系有關(guān)

功是過程量，與始末位置及路程有關(guān)

平均功率

瞬時(shí)功率

功率的單位

（瓦特）（4）功的小結(jié)若有幾個(gè)力同時(shí)作用在同一質(zhì)點(diǎn)上，則合力所做的功為各分力做功的代數(shù)和。質(zhì)點(diǎn)系呢？若有幾個(gè)力同時(shí)作用在同一質(zhì)點(diǎn)上，則合力所做的功為：質(zhì)點(diǎn)在變力Ｆ作用下，沿曲線從a運(yùn)動(dòng)到b，Ｆ對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為：

合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功=質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：2．動(dòng)能定理（1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理qrFPabd例4：一個(gè)合外力作用在m=3kg的物體上，其運(yùn)動(dòng)方程為

x=3t-4t2+t3

（SI）求最初4秒內(nèi)該力對(duì)物體所做的功。1m2mm3v1v2v3內(nèi)力做功外力做功外力做功外力做功+.........AkE系統(tǒng)終態(tài)總動(dòng)能0kE系統(tǒng)初態(tài)總動(dòng)能系統(tǒng)動(dòng)能的增量，等于作用在系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的力所做的功的代數(shù)和。A內(nèi)A外（2）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理1m122v1A1外01m122v11內(nèi)A+02mv21222mv21222外2內(nèi)AA+SiSm122v0m122viiiiSA外+SiA內(nèi)A+kE0kEDkEA內(nèi)A外O質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理=>內(nèi)力的沖量最后相互抵消

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理=>內(nèi)力的功沒有抵消分析：兩質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力做功——位移一般不同AA內(nèi)+A外kE0kEDkE即使質(zhì)點(diǎn)系

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量.因?yàn)閮?nèi)力，故回顧：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理—經(jīng)歷的時(shí)間一般相同（1）功與動(dòng)能都是標(biāo)量3.動(dòng)能定理的幾點(diǎn)說明：(2)此定理揭示了過程量功和狀態(tài)量動(dòng)能的關(guān)系—功是能量變化的量度。不知道力的函數(shù)，可用動(dòng)能的增量解題。(3)動(dòng)能定理只適用于慣性系。1.力的空間累積效應(yīng)——2.力的時(shí)間累積效應(yīng)——(4)動(dòng)能定理與動(dòng)量定理比較：解：又因?yàn)椋?/p>

聯(lián)立兩式可得：

例5：如圖，擺線長(zhǎng),求擺球落到角時(shí)速度的大??？hA3dxvtd2tkm2td力的功xFdxxF100tk2tkm2td100tk22mtd8mk2()J1042.25

107xFmdvdtdvtkmdtdvtkmdt0t0vv2tkm2vdxtd解法提要已知求m啟動(dòng)牽引力從0到10秒，xFtk若不計(jì)阻力。v0t00力的功。xF練習(xí)一=2噸(=6×103N/s)kX功的概念與特點(diǎn)力（功）與狀態(tài)（動(dòng)能）及系統(tǒng)（質(zhì)點(diǎn)系）的分析注意：第三節(jié)機(jī)械能定律二、保守力與勢(shì)能保守力保守力conservativeforce非保守力非保守力non-conservativeforce

保守力做功的大小，只與運(yùn)動(dòng)物體的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。特點(diǎn)：如重力萬有引力彈性力

非保守力做功的大小，不僅與物體的始末位置有關(guān)，而且還與物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。特點(diǎn)：如摩擦力粘滯力流體阻力1．保守力----重力做功bxyOdr沿路徑ab)沿路徑ab)若物體從a出發(fā)經(jīng)任意閉合路徑回到a點(diǎn)，則:重力的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)。而與路徑無關(guān)。

xm

Oka

xm

Ok1．保守力----彈力做功b

x質(zhì)點(diǎn)位于x時(shí)所受的彈力彈力所做功彈力所做功只與物體的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。

dx1．保守力----萬有引力做功萬有引力做的功mGM給定，萬有引力的功只與兩質(zhì)點(diǎn)間的始末距離有關(guān)。rbarMMF引qmrdrdrdcosqrF引2rmGMbrbarar保守力的功只取決于受力質(zhì)點(diǎn)的始、末位置，而與路徑無關(guān)。.0drF保亦即沿任意閉合路徑，保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為零亦即非保守力沿閉合路徑作功不為零.0drF保非保守力的功小結(jié)AFbadrh重力的功重力的功Agmahbhgm()萬有引力的功萬有引力的功AmGM(1ar)rbmGM()1((彈性力的功彈性力的功12kxa2bx2A12k()2勢(shì)能重力的功重力的功萬有引力的功萬有引力的功彈性力的功彈性力的功Agmahbhgm()AmGM(1ar)rbmGM()1((12kxa2bx2A12k()保守力的功EpaAFbadrhbEp初態(tài)勢(shì)能末態(tài)勢(shì)能Ep系統(tǒng)勢(shì)能增量的負(fù)值重力的功重力勢(shì)能重力的功引力勢(shì)能重力的功彈性勢(shì)能gmbhpEpErmGM1pEx212k若物體間的相互作用力為保守力，保守力由物體間相對(duì)位置決定的能量，稱為物體系的勢(shì)能（或位能）。相對(duì)位置物體系的（1）已知保守力求勢(shì)能的方法勢(shì)能差：EpaAFbadrhbEp初態(tài)勢(shì)能末態(tài)勢(shì)能Epb0若b點(diǎn)勢(shì)能為零EpaadrhF零勢(shì)能點(diǎn)則a點(diǎn)勢(shì)能為勢(shì)能：Mm任意路徑a物體系或質(zhì)點(diǎn)系F保守力mb零勢(shì)能點(diǎn)mM相對(duì)于處于點(diǎn)位置時(shí)系統(tǒng)所具有的勢(shì)能，a等于將m從a點(diǎn)沿任意路徑移到勢(shì)能零點(diǎn)，保守力所做的功。（2）勢(shì)能的性質(zhì)EpaadrhF零勢(shì)能點(diǎn)則a點(diǎn)勢(shì)能為Mm任意路徑a物體系或質(zhì)點(diǎn)系F保守力mb零勢(shì)能點(diǎn)mM相對(duì)于處于點(diǎn)位置時(shí)系統(tǒng)所具有的勢(shì)能，a等于將m從a點(diǎn)沿任意路徑移到勢(shì)能零點(diǎn)，保守力所做的功。勢(shì)能屬物體系所共有；勢(shì)能是相對(duì)量，與勢(shì)能零點(diǎn)選擇有關(guān)。保守性只有在保守力場(chǎng)中才有；系統(tǒng)性相對(duì)性為勢(shì)能零點(diǎn)重力勢(shì)能重力勢(shì)能選地面0bhEpb0dyEpgmah0gmahgmh：離地面高度hEphEpgmhO萬有引力勢(shì)能萬有引力勢(shì)能8為勢(shì)能零點(diǎn)Epb0選rb2Epr8mGMdrr1mGMrOEprEp1mGMr彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能為勢(shì)能零點(diǎn)Epb00選無形變處bxEpkxdxx012kx2EpxOEp12kx2（3）幾種常見保守力勢(shì)能與勢(shì)能曲線例2：一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，其速度與坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系為v=kx（k為正常數(shù)），求：（1）作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力Ｆ；（2）該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到處處所經(jīng)歷的時(shí)間,以及力Ｆ做的功A；（3）力Ｆ是保守力嗎？解:(1)(2)(3)是。因?yàn)闈M足第三節(jié)機(jī)械能1、機(jī)械能某一力學(xué)系統(tǒng)的

機(jī)械能是該系統(tǒng)的動(dòng)能

與勢(shì)能之和Ek+pEE系統(tǒng)的機(jī)械能系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢(shì)能即在一般情況下，系統(tǒng)的機(jī)械能并不保持恒定。系統(tǒng)機(jī)械能發(fā)生變化的外因：系統(tǒng)外各種形式的力對(duì)系統(tǒng)做功，簡(jiǎn)稱A外內(nèi)因：系統(tǒng)內(nèi)存在非保守力做功（如摩擦消耗），簡(jiǎn)稱A非保內(nèi)只有在一定條件下，系統(tǒng)的機(jī)械能才能保持恒定。三、機(jī)械能守恒定律1m2mm3v1v2v3內(nèi)力做功外力做功外力做功外力做功+.........AkE系統(tǒng)終態(tài)總動(dòng)能0kE系統(tǒng)初態(tài)總動(dòng)能系統(tǒng)動(dòng)能的增量，等于作用在系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的力所做的功的代數(shù)和。A內(nèi)A外回顧：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理1m122v1A1外01m122v11內(nèi)A+02mv21222mv21222外2內(nèi)AA+SiSm122v0m122viiiiSA外+SiA內(nèi)A+kE0kEDkEA內(nèi)A外各種可能形式的外力對(duì)系統(tǒng)做功A外系統(tǒng)內(nèi)的保守力做功系統(tǒng)內(nèi)的非保守力做功A保內(nèi)A非保內(nèi)+AA外A保內(nèi)+A非保內(nèi)A外+A非保內(nèi)Ek+pE()0Ek+0Ep()EE0末態(tài)機(jī)械能E初態(tài)機(jī)械能E02、質(zhì)點(diǎn)系功能原理動(dòng)能定理Ek0Ek：勢(shì)能概念()pE0Ep：

若某一過程中外力和非保守內(nèi)力都不對(duì)系統(tǒng)做功，或這兩種力對(duì)系統(tǒng)做功的代數(shù)和為零，則系統(tǒng)的機(jī)械能在該過程中保持不變。機(jī)械能守恒定律若A外A非保內(nèi)+0及0或A外A非保內(nèi)0Ek+pE0Ek+0Ep則常量即EE00或EDEE0各種可能形式的外力對(duì)系統(tǒng)做功A外系統(tǒng)內(nèi)的保守力做功系統(tǒng)內(nèi)的非保守力做功A保內(nèi)A非保內(nèi)+AA外A保內(nèi)+A非保內(nèi)動(dòng)能定理()Ek0EkpE勢(shì)能概念0EpA外+A非保內(nèi)EE0Ek+pE()0Ek+0Ep()末態(tài)機(jī)械能E初態(tài)機(jī)械能E03、機(jī)械能守恒定律對(duì)于地面上的物體，它與地球組成一個(gè)系統(tǒng)。如果沒有摩擦力，并且只有重力與彈力（均為保守力）作功，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、彈力勢(shì)能、重力勢(shì)能的總量將保持不變。

以上就是中學(xué)教材關(guān)于機(jī)械能守恒的表述。

對(duì)與一個(gè)與自然界無任何聯(lián)系的系統(tǒng)來說,系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)換的，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅，這一結(jié)論叫做能量守恒定律.1）生產(chǎn)斗爭(zhēng)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)；2）能量是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)；3）系統(tǒng)能量不變,但各種能量形式可以互相轉(zhuǎn)化；4）能量的變化常用功來量度.

亥姆霍茲（1821—1894），德國(guó)物理學(xué)家和生理學(xué)家.于1874年發(fā)表了《論力（現(xiàn)稱能量）守恒》的演講，首先系統(tǒng)地以數(shù)學(xué)方式闡述了自然界各種運(yùn)動(dòng)形式之間都遵守能量守恒這條規(guī)律.所以說亥姆霍茲是能量守恒定律的創(chuàng)立者之一.4、應(yīng)用：

例1、已知

求

用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：

解法一：

用功能原理：

解法二：

4、應(yīng)用：

解法三：

按功的定義：

選自然坐標(biāo)：切向：法向：解：衛(wèi)星脫離火箭時(shí)（離地r～R）:例2：將衛(wèi)星發(fā)射到高度為