第02講邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第2講邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

課時(shí)授課計(jì)劃

課程內(nèi)容知識(shí)要點(diǎn)：邏輯代數(shù)的基本概念（包括變量、運(yùn)算、函數(shù)等）邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則邏輯函數(shù)的各種表示形式及相互轉(zhuǎn)換目的與要求：熟練掌握基本邏輯運(yùn)算和幾種常用復(fù)合導(dǎo)出邏輯運(yùn)算；熟練運(yùn)用真值表、邏輯式、邏輯圖來(lái)表示邏輯函數(shù)。理解并掌握邏輯代數(shù)的基本公式、基本定律和三個(gè)重要規(guī)則。重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：三種基本邏輯運(yùn)算和幾種導(dǎo)出邏輯運(yùn)算；真值表、邏輯式、邏輯圖之間的相互轉(zhuǎn)換。基本公式和基本定律；三個(gè)重要規(guī)則。難點(diǎn)：將真值表轉(zhuǎn)換為邏輯式。 摩根定律；三個(gè)規(guī)則。課堂討論：討論簡(jiǎn)單邏輯運(yùn)算的邏輯口訣；分析邏輯式與邏輯圖之間的相互轉(zhuǎn)換以及如何由邏 輯式或邏輯圖列真值表。常用公式的證明；三個(gè)重要規(guī)則的驗(yàn)證?，F(xiàn)代教學(xué)方法與手段：投影PowerPoint幻燈課件復(fù)習(xí)（提問(wèn)）：與、或、非邏輯的運(yùn)算口訣、邏輯符號(hào)。常用公式的證明；三個(gè)重要規(guī)則的驗(yàn)證。

邏輯代數(shù)的基本概念邏輯函數(shù)的不同表示方法及其相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)的規(guī)則和公式邏輯和邏輯值所謂邏輯，是指事物的前因和后果所遵循的規(guī)律。客觀存在的大量完全對(duì)立又互相依存的邏輯狀態(tài)可以用邏輯“真”（邏輯“1”）和邏輯“假”（邏輯“0”）兩個(gè)對(duì)立的邏輯值來(lái)表示。邏輯“1”—條件具備或結(jié)果發(fā)生

邏輯“0”—條件不具備或結(jié)果未發(fā)生邏輯“1”和邏輯“0”不同于二進(jìn)制數(shù)1和0邏輯代數(shù)、邏輯變量、邏輯函數(shù)邏輯代數(shù)

描述二值性邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是研究數(shù)字系統(tǒng)邏輯設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)工具。邏輯變量：邏輯代數(shù)中用來(lái)代替邏輯值的字母表示條件自變量或輸入變量表示結(jié)果因變量或輸出變量邏輯函數(shù)：描述因變量（輸出變量）關(guān)于自變量（輸入變量）的對(duì)應(yīng)關(guān)系。歷史沿革形式化定義基本邏輯運(yùn)算

描述一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)，僅用邏輯變量的取值來(lái)反映單個(gè)開(kāi)關(guān)元件的兩種狀態(tài)是不夠的，還必須反映一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)中各開(kāi)關(guān)元件之間的聯(lián)系，這種相互聯(lián)系反映到數(shù)學(xué)上就是幾種運(yùn)算關(guān)系。邏輯代數(shù)中定義了“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算。邏輯與:定義為當(dāng)決定某一事件的所有條件都成立時(shí)，這個(gè)事件才會(huì)發(fā)生。邏輯表達(dá)式：F=A·B。（又稱(chēng)為邏輯“乘”

）實(shí)現(xiàn)“與”運(yùn)算關(guān)系的邏輯電路稱(chēng)為“與”門(mén)。真值表：將所有輸入組合及其對(duì)應(yīng)的輸出列成的表。邏輯功能口訣：有“0”出“0”，全“1”出“1”。演示與運(yùn)算

邏輯或：定義為當(dāng)決定某一事件的所有條件中只要有一個(gè)條件成立時(shí)，這個(gè)事件就會(huì)發(fā)生。邏輯表達(dá)式：F=A+B。（又稱(chēng)為邏輯“加”

）

實(shí)現(xiàn)“或”運(yùn)算關(guān)系的邏輯電路稱(chēng)為“或”門(mén)。邏輯功能口訣：有“1”出“1”，全“0”出“0”。演示或運(yùn)算

非運(yùn)算邏輯非：定義為結(jié)果與條件相反。邏輯表達(dá)式：（又稱(chēng)邏輯求反）實(shí)現(xiàn)“非”運(yùn)算關(guān)系的邏輯電路稱(chēng)為“非”門(mén)或反相器。邏輯功能口訣：“0”變“1”，“1”變“0”。1AFAFAF1）與非邏輯

與和非的復(fù)合邏輯稱(chēng)為與非邏輯，它可以看成與邏輯后面加了一個(gè)非邏輯，實(shí)現(xiàn)與非邏輯的電路稱(chēng)為與非門(mén)。

邏輯功能口訣：有“0”出“1”，全“1”出“0”。復(fù)合邏輯運(yùn)算2）或非邏輯

或和非的復(fù)合邏輯稱(chēng)為或非邏輯，可以看成或邏輯后面加了一個(gè)非邏輯，實(shí)現(xiàn)或非邏輯的電路稱(chēng)為或非門(mén)。

邏輯功能口訣：有“1”出“0”，全“0”出“1”。3）與或非邏輯是三種基本邏輯的組合，也可看成是與邏輯和或非邏輯的組合。

4）異或邏輯

異或邏輯是指當(dāng)兩個(gè)輸入邏輯變量取值相同時(shí)，輸出為0，不同（相異）時(shí)輸出為1。實(shí)現(xiàn)異或邏輯的電路稱(chēng)為異或門(mén)。

邏輯功能口訣：相同為“0”，不同為“1”。異或運(yùn)算規(guī)則異或運(yùn)算性質(zhì)5）同或邏輯

同或邏輯又稱(chēng)為異或非邏輯，是指當(dāng)兩個(gè)輸入邏輯變量取值相同時(shí)，輸出為1，不同時(shí)輸出為0。實(shí)現(xiàn)同或邏輯的電路稱(chēng)為同或門(mén)（或稱(chēng)為異或非門(mén)）。

邏輯功能口訣：相同為“1”，不同為“0”。異或運(yùn)算規(guī)則邏輯函數(shù)的三種表示方法邏輯表達(dá)式真值表邏輯電路圖邏輯表達(dá)式描述邏輯表達(dá)式表示邏輯變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)式。同一個(gè)邏輯函數(shù)可以用不同形式的邏輯表達(dá)式來(lái)表示。運(yùn)算優(yōu)先順序真值表描述將所有輸入組合及其對(duì)應(yīng)的輸出列成的表。由于一個(gè)邏輯變量只有0和1兩種可能的取值，故n個(gè)邏輯變量一共只有2n種可能的取值組合。有限的變量個(gè)數(shù)使得變量取值組合的總數(shù)必然是有限的，從而，能夠用窮舉的方法來(lái)描述邏輯函數(shù)的功能。同一個(gè)邏輯函數(shù)只能有唯一的一張真值表。

邏輯圖描述邏輯圖是用基本邏輯門(mén)和復(fù)合邏輯門(mén)的邏輯符號(hào)組成的對(duì)應(yīng)于某一邏輯功能的電路圖。同一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多個(gè)不同形式的邏輯圖與之對(duì)應(yīng)?？ㄖZ圖描述卡諾圖是由表示邏輯變量所有取值組合的小方格所構(gòu)成的平面圖。它是一種用圖形描述邏輯函數(shù)的方法。卡諾圖在邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)中十分有用。邏輯函數(shù)的不同表示方法

（函數(shù)式、真值表、邏輯圖）

之間的相互轉(zhuǎn)換1、真值表邏輯函數(shù)式 將真值表中使每個(gè)輸出變量值為1時(shí)對(duì)應(yīng)的一組輸入變量組合以邏輯乘（與運(yùn)算）形式表示（其中在輸入變量組合中，用原變量表示變量取值1，用反變量表示變量取值0），再將所有使輸出變量值為1的邏輯乘項(xiàng)進(jìn)行邏輯加（或運(yùn)算），即得到輸出變量的邏輯函數(shù)表達(dá)式。2、函數(shù)式邏輯圖

將邏輯函數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)的與、或、非等運(yùn)算關(guān)系，分別用相應(yīng)的邏輯符號(hào)來(lái)表示，并根據(jù)輸入輸出關(guān)系作相應(yīng)的連線(xiàn)。3、真值表邏輯圖

綜合1、2的做法舉例例：已知邏輯函數(shù)的真值表如下所示，試求其函數(shù)式和邏輯圖。ABCY000000100100011110001011110111104、邏輯圖函數(shù)式 逐級(jí)根據(jù)輸入寫(xiě)輸出舉例例：寫(xiě)出下圖的邏輯函數(shù)式。5、函數(shù)式真值表 只要把輸入變量取值的所有組合逐一帶入式中計(jì)算出函數(shù)值，然后將輸入變量取值與函數(shù)值對(duì)應(yīng)地排列成表即可。舉例例：已知函數(shù)式為

求其真值表。解：將輸入變量A,B,C的各種取值組合逐一代入上式計(jì)算，再將結(jié)果填入表中6、邏輯圖真值表綜合4、5的做法直接作真值表邏輯代數(shù)的重要規(guī)則代入規(guī)則反演規(guī)則對(duì)偶規(guī)則代入規(guī)則任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為代入規(guī)則。

例如：兩變量的德摩根律--〉三變量的德摩根律代入規(guī)則的正確性是由邏輯變量和邏輯函數(shù)值的二值性保證的。代入規(guī)則的意義代入規(guī)則的意義：利用這條規(guī)則可以將邏輯代數(shù)公理、定理中的變量用任意函數(shù)代替，從而推導(dǎo)出更多的等式。這些等式可直接當(dāng)作公式使用，無(wú)需另加證明。應(yīng)用代入規(guī)則的注意事項(xiàng)注意：使用代入規(guī)則時(shí)必須將等式中所有出現(xiàn)同一變量的地方均以同一函數(shù)代替，否則代入后的等式將不成立。反演規(guī)則

反演規(guī)則用于求反函數(shù)。注意事項(xiàng)：保持原函數(shù)式中運(yùn)算符號(hào)的優(yōu)先順序不變；不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。對(duì)偶規(guī)則若邏輯函數(shù)表達(dá)式的對(duì)偶式就是原函數(shù)表達(dá)式本身，即F‘=F。則稱(chēng)函數(shù)F為自對(duì)偶函數(shù)。若兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式F和G相等，則其對(duì)偶式F'和G'也相等。這一規(guī)則稱(chēng)為對(duì)偶規(guī)則。對(duì)偶規(guī)則的應(yīng)用和注意事項(xiàng)為了證明兩個(gè)邏輯式相等，可以通過(guò)證明其對(duì)偶式相等來(lái)完成。因?yàn)橛袝r(shí)證明對(duì)偶式相等更加容易。求某一邏輯表達(dá)式的對(duì)偶式時(shí)，同樣要注意保持原函數(shù)的運(yùn)算順序不變。邏輯代數(shù)的基本公式（17個(gè)）

變量與常量關(guān)系重迭律互補(bǔ)律還原律交換律分配律反演律（德·摩根律）變量與常量關(guān)系（0-1律）重迭律互補(bǔ)律還原律交換律結(jié)合律分配律反演律（德·摩根律）邏輯代數(shù)的常用公式（5個(gè)）歷史沿革邏輯代數(shù)是從哲學(xué)領(lǐng)域中的邏輯學(xué)發(fā)展而來(lái)的。1847年，英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(G.Boole)提出了用數(shù)學(xué)分析方法表示命題陳述的邏輯結(jié)構(gòu)，并成功地將形式邏輯歸結(jié)為一種代數(shù)演算，從而誕生了著名的“布爾代數(shù)”。1938年，克勞德·向農(nóng)(C.E.Shannon)將布爾代數(shù)應(yīng)用于電話(huà)繼電器的開(kāi)關(guān)電路，提出了“開(kāi)關(guān)代數(shù)”。隨著電子技術(shù)的發(fā)展，集成電路邏輯門(mén)已經(jīng)取代了機(jī)械觸點(diǎn)開(kāi)關(guān)，故“開(kāi)關(guān)代數(shù)”這個(gè)術(shù)語(yǔ)已很少使用。為了與“數(shù)字系統(tǒng)邏輯設(shè)計(jì)”這一術(shù)語(yǔ)相適應(yīng)，人們更習(xí)慣于把開(kāi)關(guān)代數(shù)叫做“邏輯代數(shù)”。返回邏輯代數(shù)的基本概念邏輯代數(shù)L是一個(gè)封閉的代數(shù)系統(tǒng)，它由一個(gè)邏輯變量集K，常量0和1以及“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算所構(gòu)成，記為

L={K,·,+,-,0,1}

該系統(tǒng)滿(mǎn)足公理。交換律

對(duì)于任意邏輯變量A、B，有

A+B=B+A；

A·B=B·A

結(jié)合律對(duì)于任意的邏輯變量A、B、C，有

(A+B)+C=A+(B+C)；

(A·B)·C=A·(B·C)

分配律對(duì)于任意的邏輯變量A、B、C，有

A+(B·C)=(A+B)·(A+C)；

A·(B+C)=A·B+A·C0─1律對(duì)于任意邏輯變量A，有

A+0=A；

A+1=1；