第12章 動能定理

第12章動能定理本章學(xué)習(xí)要點力的功質(zhì)點和質(zhì)點系的動能動能定理功率與機械效率12.1力的功

12.1.1常力的功

如圖所示，質(zhì)點M在常力F的作用下，沿直線走過一段路程s。力F在這段路程內(nèi)積累的效應(yīng)用力的功來度量，用W表示，并定義為

式中，θ為力F與直線位移方向之間的夾角。如果路程用矢量s表示，則力F的功可以寫成

12.1.2變力的功

如圖所示，設(shè)質(zhì)點M在變力F作用下，沿曲線從位置M1運動到位置M2，現(xiàn)求力F在路徑M1M2上做的功。由于從M1運動到M2的過程中，力F的大小和方向在不斷地變化著。因此，應(yīng)將路程s分為無限多個微段ds。這樣，微段路程ds可以近似地看作直線，且力F在無限位移dr中可視為常力，dr可視為沿M點的切線。

力F在此微小路徑上所作的功稱為元功，用δW表示，且有

質(zhì)點M沿曲線由M1運動到M2的過程中，變力F作的功為

上式表明，變力在某一曲線運動上做的功，等于該力在運動方向的投影沿這段曲線路徑的定積分。如果力始終與質(zhì)點位移垂直，則該力不做功。

具體計算時，常采用其在直角坐標軸上的投影形式，即

12.1.3合力的功

如圖所示，設(shè)質(zhì)點同時受到幾個力F1，F(xiàn)2，……，F(xiàn)n的作用，它們的合力為FR，則合力的功為

上式表明，作用在物體上的各力在一段路程上所做的功，等于各力在同一段路程上所做的功的代數(shù)和。

重力的功

設(shè)重為G的質(zhì)點M，沿曲線由位置M1運動到位置M2，M1與M2的高度差為h＝y(tǒng)1－y2，如圖所示。則重力G所做的功為

上式表明，重力的功等于質(zhì)點的重量與起止位置間高度差的乘積，而與質(zhì)點的運動路徑無關(guān)。

彈性力的功

設(shè)彈簧的原長為l0，一端固定，另一端與物體M相連，彈簧的剛性系數(shù)為k（N/m），如圖所示。則當(dāng)物體從位置M1運動到M2的過程中，彈簧力對物體所做的功為

上式表明，彈簧力的功等于彈簧始末位置變形量平方差與剛性系數(shù)乘積的一半。

摩擦力的功

由于質(zhì)點受到的動滑動摩擦力F'＝μFN的方向總與質(zhì)點運動方向相反，如圖所示，所以摩擦力作功恒為負，且有

由于上式為曲線積分，因此動滑動摩擦力的功，不僅與起止位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)。

12.2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能

12.2.1質(zhì)點的動能

動能是度量物體機械運動強弱程度的物理量。研究表明，質(zhì)點的動能等于它的質(zhì)量m與速度v平方的乘積的一半，即質(zhì)點的動能為

設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，則質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點所具有動能的代數(shù)和就是質(zhì)點系的動能，即

12.2.2質(zhì)點系的動能

12.2.3剛體的動能

平動剛體的動能

剛體平動時，其上各點速度都與質(zhì)心速度vC相同，故平動剛體的動能為

或

上式表明，平動剛體的動能等于剛體質(zhì)量與其質(zhì)心速度平方的乘積的一半。因此，平動剛體的動能與質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點的動能相同。

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

設(shè)剛體以角速度ω繞固定軸z轉(zhuǎn)動，剛體內(nèi)第i個質(zhì)點的質(zhì)量為mi，到z軸的距離為ri，則該質(zhì)點的速度為vi＝riω，于是剛體的動能為

或

上式表明，繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體的動能，等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半。

平面運動剛體的動能

如圖所示，剛體作平面運動時，可視為繞瞬時軸（通過速度瞬心P，并與運動平面垂直的軸）的轉(zhuǎn)動，其動能表達式為

上式表明，平面運動剛體的動能等于隨同質(zhì)心平動的動能與繞通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的動能之和。

由質(zhì)點運動方程的微分形式

12.3動能定理

12.3.1質(zhì)點的動能定理

由于

方程兩邊同乘以dr，得

于是有

即

上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。對上式積分，可得

此為質(zhì)點動能定理的積分形式，即質(zhì)點動能在某一路程中的改變量，等于作用在質(zhì)點上的力在同一路程上所做的功。

設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，對每一個質(zhì)點寫出其動能定理的微分形式，即

12.3.2質(zhì)點系的動能定理

即

這樣的方程共有n個，將這n個方程相加可得

由于

于是

上式稱為質(zhì)點系動能定理的微分形式，即質(zhì)點系動能的增量等于作用在質(zhì)點上的所有力的元功之和。

對上式積分，可得

此為質(zhì)點系動能定理的積分形式，即質(zhì)點系動能在某一路程中的改變量，等于作用在質(zhì)點系上的所有力在同一路程上所做的功之和。

例：如圖所示為一橋式起重機，吊車吊著質(zhì)量為m的重物A沿橫向勻速運動，其速度為v，吊繩長度為l。由于緊急情況，吊車急剎車并導(dǎo)致重物繞懸掛點向前擺動。求最大擺角φmax。

解：以重物A為研究對象，對擺角從零到φmax的過程進行分析。重物A的受力圖如題圖所示。由于繩子的拉力始終垂直于重物的運動方向，故拉力不做功。重力做功為

重物A的始末動能分別為

由積分形式的動能定理

可解得

12.4功率與機械效率

力在單位時間內(nèi)做的功稱為功率。它是衡量機械力學(xué)性能的一項重要指標。

設(shè)作用于質(zhì)點上的力為F，在dt時間內(nèi)力F的元功為δW，質(zhì)點速度為v，則功率P可表示為

上式表明，作用于質(zhì)點上力的功率，等于力在速度方向上的投影與速度的乘積。如果用力矩或力偶矩計算功，則

若轉(zhuǎn)速用n（r/min）表示，功率用P（kW）表示，力偶或力偶矩用M（N·m）表示，則上式可改寫為

機器工作時必須輸入一定的功，輸入的功一部分為有用功，另一部分消耗在克服無用阻力上。以δW0表示驅(qū)動力輸入的元功，以δW1和δW2表示工作阻力和無用阻力消耗的元功，則動能定理的微分形式可寫為上式稱為機器的功率方程

機器在穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時的有