第12章 動(dòng)能定理

第12章動(dòng)能定理本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)力的功質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)能定理功率與機(jī)械效率12.1力的功

12.1.1常力的功

如圖所示，質(zhì)點(diǎn)M在常力F的作用下，沿直線走過(guò)一段路程s。力F在這段路程內(nèi)積累的效應(yīng)用力的功來(lái)度量，用W表示，并定義為

式中，θ為力F與直線位移方向之間的夾角。如果路程用矢量s表示，則力F的功可以寫成

12.1.2變力的功

如圖所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F作用下，沿曲線從位置M1運(yùn)動(dòng)到位置M2，現(xiàn)求力F在路徑M1M2上做的功。由于從M1運(yùn)動(dòng)到M2的過(guò)程中，力F的大小和方向在不斷地變化著。因此，應(yīng)將路程s分為無(wú)限多個(gè)微段ds。這樣，微段路程ds可以近似地看作直線，且力F在無(wú)限位移dr中可視為常力，dr可視為沿M點(diǎn)的切線。

力F在此微小路徑上所作的功稱為元功，用δW表示，且有

質(zhì)點(diǎn)M沿曲線由M1運(yùn)動(dòng)到M2的過(guò)程中，變力F作的功為

上式表明，變力在某一曲線運(yùn)動(dòng)上做的功，等于該力在運(yùn)動(dòng)方向的投影沿這段曲線路徑的定積分。如果力始終與質(zhì)點(diǎn)位移垂直，則該力不做功。

具體計(jì)算時(shí)，常采用其在直角坐標(biāo)軸上的投影形式，即

12.1.3合力的功

如圖所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到幾個(gè)力F1，F(xiàn)2，……，F(xiàn)n的作用，它們的合力為FR，則合力的功為

上式表明，作用在物體上的各力在一段路程上所做的功，等于各力在同一段路程上所做的功的代數(shù)和。

重力的功

設(shè)重為G的質(zhì)點(diǎn)M，沿曲線由位置M1運(yùn)動(dòng)到位置M2，M1與M2的高度差為h＝y(tǒng)1－y2，如圖所示。則重力G所做的功為

上式表明，重力的功等于質(zhì)點(diǎn)的重量與起止位置間高度差的乘積，而與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。

彈性力的功

設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為l0，一端固定，另一端與物體M相連，彈簧的剛性系數(shù)為k（N/m），如圖所示。則當(dāng)物體從位置M1運(yùn)動(dòng)到M2的過(guò)程中，彈簧力對(duì)物體所做的功為

上式表明，彈簧力的功等于彈簧始末位置變形量平方差與剛性系數(shù)乘積的一半。

摩擦力的功

由于質(zhì)點(diǎn)受到的動(dòng)滑動(dòng)摩擦力F'＝μFN的方向總與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向相反，如圖所示，所以摩擦力作功恒為負(fù)，且有

由于上式為曲線積分，因此動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功，不僅與起止位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)。

12.2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

12.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

動(dòng)能是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱程度的物理量。研究表明，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能等于它的質(zhì)量m與速度v平方的乘積的一半，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，則質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所具有動(dòng)能的代數(shù)和就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即

12.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

12.2.3剛體的動(dòng)能

平動(dòng)剛體的動(dòng)能

剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)速度都與質(zhì)心速度vC相同，故平動(dòng)剛體的動(dòng)能為

或

上式表明，平動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體質(zhì)量與其質(zhì)心速度平方的乘積的一半。因此，平動(dòng)剛體的動(dòng)能與質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能相同。

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

設(shè)剛體以角速度ω繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體內(nèi)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，到z軸的距離為ri，則該質(zhì)點(diǎn)的速度為vi＝riω，于是剛體的動(dòng)能為

或

上式表明，繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能，等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角速度平方乘積的一半。

平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

如圖所示，剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可視為繞瞬時(shí)軸（通過(guò)速度瞬心P，并與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)能表達(dá)式為

上式表明，平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。

由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的微分形式

12.3動(dòng)能定理

12.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

由于

方程兩邊同乘以dr，得

于是有

即

上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。對(duì)上式積分，可得

此為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能在某一路程中的改變量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在同一路程上所做的功。

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)寫出其動(dòng)能定理的微分形式，即

12.3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

即

這樣的方程共有n個(gè)，將這n個(gè)方程相加可得

由于

于是

上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的所有力的元功之和。

對(duì)上式積分，可得

此為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能在某一路程中的改變量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有力在同一路程上所做的功之和。

例：如圖所示為一橋式起重機(jī)，吊車吊著質(zhì)量為m的重物A沿橫向勻速運(yùn)動(dòng)，其速度為v，吊繩長(zhǎng)度為l。由于緊急情況，吊車急剎車并導(dǎo)致重物繞懸掛點(diǎn)向前擺動(dòng)。求最大擺角φmax。

解：以重物A為研究對(duì)象，對(duì)擺角從零到φmax的過(guò)程進(jìn)行分析。重物A的受力圖如題圖所示。由于繩子的拉力始終垂直于重物的運(yùn)動(dòng)方向，故拉力不做功。重力做功為

重物A的始末動(dòng)能分別為

由積分形式的動(dòng)能定理

可解得

12.4功率與機(jī)械效率

力在單位時(shí)間內(nèi)做的功稱為功率。它是衡量機(jī)械力學(xué)性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)。

設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的力為F，在dt時(shí)間內(nèi)力F的元功為δW，質(zhì)點(diǎn)速度為v，則功率P可表示為

上式表明，作用于質(zhì)點(diǎn)上力的功率，等于力在速度方向上的投影與速度的乘積。如果用力矩或力偶矩計(jì)算功，則

若轉(zhuǎn)速用n（r/min）表示，功率用P（kW）表示，力偶或力偶矩用M（N·m）表示，則上式可改寫為

機(jī)器工作時(shí)必須輸入一定的功，輸入的功一部分為有用功，另一部分消耗在克服無(wú)用阻力上。以δW0表示驅(qū)動(dòng)力輸入的元功，以δW1和δW2表示工作阻力和無(wú)用阻力消耗的元功，則動(dòng)能定理的微分形式可寫為上式稱為機(jī)器的功率方程

機(jī)器在穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的有