第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計

第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(IIR)6.1數(shù)字濾波器的基本概念6.2模擬濾波器的設(shè)計6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器6.4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

一、數(shù)字濾波器的分類

數(shù)字濾波器是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成份的相對比例或濾除某些頻率成份的器件。1.從功能上分：低通、帶通、高通、帶阻濾波器。2.從實現(xiàn)方法上分：FIR、IIR濾波器3.從設(shè)計方法上來分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）等4.從處理信號分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器等等。

無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別為：圖5.1.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性二、性能指標(biāo)我們在進(jìn)行濾波器設(shè)計時，需要確定其性能指標(biāo)。因為理想濾波器物理上是不可實現(xiàn)的。（由于從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變）要物理可實現(xiàn)：應(yīng)從一個帶到另一個帶之間設(shè)置一個過渡帶且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)格為1或零。應(yīng)給以較小容限。通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：1、低通濾波器的性能指標(biāo)fswsfpwpδ21-δ11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)δ1:通帶的容限δ2：阻帶容限通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶上限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fs(ws)又稱阻帶下限截止頻率。阻帶衰減：As2、高通濾波器的性能指標(biāo)fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶下限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fp(ws)又稱阻帶上限截止頻率。阻帶衰減：As3、帶通濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws24、帶阻濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws2

通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示，如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：5、通常具體技術(shù)指標(biāo)

因為，DF是一種具有頻率選擇性的離散線性系統(tǒng)。它是在確定信號與隨機(jī)信號的數(shù)字處理中有著廣泛的應(yīng)用。所以，數(shù)字濾波器的設(shè)計是確定其系統(tǒng)函數(shù)并實現(xiàn)的過程。三、數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述

濾波器設(shè)計的步驟1.根據(jù)任務(wù)，確定性能指標(biāo)。2.用因果系統(tǒng)的線性時不變系統(tǒng)函數(shù)去逼近。3.用有限精度算法實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。（包括選擇運算結(jié)構(gòu)、選擇合適的字長、有效數(shù)字處理方法。）4.用適當(dāng)?shù)能?、硬件技術(shù)實現(xiàn)包括采用：通用計算機(jī)軟件、數(shù)字濾波器硬件、或者二者結(jié)合。四、H(z)如何推導(dǎo)出（1）根據(jù)提出對濾波器的性能要求、頻率特性（低、高、帶通、帶阻）來設(shè)計系統(tǒng)H(z).(2)根據(jù)時域波形提出要求來設(shè)計-->單位沖激響應(yīng)h(n)或g(n)的形狀。（3）有時也直接給出H(z).(但要求因果穩(wěn)定).即間接設(shè)計法和直接設(shè)計法。五、確定DF的采用的結(jié)構(gòu)及運算結(jié)構(gòu)的好壞確定DF的采用的結(jié)構(gòu)將會影響DF的精度、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性及運算速度等很多重要性質(zhì)。1.計算復(fù)雜性一個運算結(jié)構(gòu)應(yīng)含有最少的乘法器和最少的延時器。乘法器最費時間，乘法器少，運算速度快；延時器最費存儲單元，延時器少，存儲器用的少，計算少。2.有限存儲器的長度的影響與運算結(jié)構(gòu)有關(guān)。即有時會希望使用一種運算結(jié)構(gòu)，雖然它的乘法器和延時器并不是最少的，但它對存儲器的有限字長效應(yīng)是最不敏感的。IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計方法是助于模擬濾波器的設(shè)計方法進(jìn)行的。其設(shè)計步驟是：1、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo)2、模擬濾波器設(shè)計得到傳輸函數(shù)Ha(s)3、映射實現(xiàn)：從模擬濾波器再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)本章介紹IIR濾波器的設(shè)計方法。

6.2模擬濾波器的設(shè)計

模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。

圖5-3各種理想濾波器的幅頻特性

一、模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)有,Ωp,和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，是通帶Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)，是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)，和一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：

如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1

和表示為

以上技術(shù)指標(biāo)用圖6.2.2表示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因(6.2.3)(6.2.4)圖低通濾波器的幅度特性

濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)和，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此說明：Ha(s)必須穩(wěn)定，因此極點必須在s平面的左半平面，Ha(-s)的極點在右半平面。二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法

1.幅度平方函數(shù)Butterworth低通濾波器具有通帶最大平坦的幅度特性，是一全極點型濾波器，且極點均勻分布上Ωc的園上，并且與虛軸對稱。其特點：在通帶內(nèi)，幅頻特平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅度平方函數(shù)為

其中N為整數(shù)，表示濾波器的階次，Ωc定義為截止頻率，為振幅響應(yīng)衰減到-3dB處的頻率;2、Butterworth濾波器階數(shù)N與幅度響應(yīng)的關(guān)系

圖5-5巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系當(dāng)N增大時，濾波器的特性曲線變得陡峭，則更接近理想矩形幅度特性。

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：jΩ=s代入得：

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：K=0,1,2,…(2N-1)3、Butterworth濾波器的極點分布圖6-6三階巴特沃斯濾波器極點分布2N個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓上（Butterworth圓）

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)：

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。

令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.10)4、歸一化的Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

式中，pk為歸一化極點，用下式表示：(6-12)

將極點表示式(6-12)代入式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示：

(6-11)(6-11)5.確定階數(shù)N再將幅度平方代入可得：

由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：令,則N由下式表示：

用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中有給出，

總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs，求出濾波器的階數(shù)N。(2)，求出歸一化極點pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。

(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。表6-1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。

解(1)確定階數(shù)N。(2)其極點為歸一化傳輸函數(shù)為

上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表5-1簡單，由N=5，直接查表得到：

極點：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。得到：將Ωc代入，得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：MATLAB程序%li6.2.1fp=5kHz,Rp=2,fs=12kHz,As=30wp=2*pi*5000,ws=2*pi*12000,Rp=2,As=30;ksp=((10^(0.1*Rp)-1)/(10^(0.1*As)-1))^0.5Asp=ws/wpN=-(log(ksp)/log(Asp))N=ceil(N)wc=wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)))[z,p,k]=buttap(N)%求butterworth濾波器的歸一化原形型，零極點增益形式%確定butturworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)N=5wc=3.3147e+004z=[]p=-0.3090+0.9511i

-0.3090-0.9511i

-0.8090+0.5878i

-0.8090-0.5878i

-1.0000

運行結(jié)果如下：%li6.2.1fp=5kHz,Rp=2,fs=12kHz,As=30wp=2*pi*5000,ws=2*pi*12000,Rp=2,As=30;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,‘s’)

%‘s’表示模擬濾波器，缺省為數(shù)字濾波器[B,A]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);subplot(2,2,1);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));title(‘buttorth濾波器的幅頻特性')subplot(2,2,2);plot(fk/1000,20*log10(angle(h)));title('butterworth濾波器的相頻特性')k=1N=5wc=3.7792e+004三、切貝雪夫低通濾波器Chebyshev

Butterworth濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率而單調(diào)變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會有富裕量，也就是會超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)，所以更有效的方法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻分布在阻帶內(nèi)，或同時均勻在通帶與阻帶內(nèi)，這時就可設(shè)計出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來完成。Chebyshev濾波器的分類

在一個頻帶中，通帶或阻帶具有這種等紋特性可分為：（1）ChebyshevI型：在通帶中是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的；（2）ChebyshevII型：在通帶中是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的；由應(yīng)用的要求，決定采用哪種型式的Chebyshev濾波器（1）ChebyshevI型幅頻特性和零極點圖（N=3）N=3ChebyshevI型（2）ChebyshevII型幅頻特性和零極點圖（N=3）N=3ChebyshevII型，其設(shè)計思想同ChebyshevI型，在此課程中我們就不作介紹。

1ChebyshevI型幅度平方函數(shù)我們這里僅介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器的設(shè)計方法。圖分別畫出階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時的切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，ε愈大，波動幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率。2CN(x):N階Chebyshev多項式

(6.2.20)

圖5-8示出了階數(shù)N=0,4,5時的切比雪夫多項式特性。

由圖可見：(1)切比雪夫多項式的過零點在|x|≤1的范圍內(nèi)；(2)當(dāng)|x|<1時，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；(3)當(dāng)|x|>1時，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。圖6-8N=0,4,5切比雪夫多項式曲線3、通帶等波紋振蕩4、確定通帶內(nèi)波紋值ε

圖切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的A2(Ω)曲線5、確定階數(shù)N和截止頻率Ωc

階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大和最小值個數(shù)的總和?？捎煞l特性中看出N階數(shù)。且當(dāng)：N=奇數(shù)，則Ω=0處有一最大值，N=偶數(shù)，則Ω=0處有一最小值。N=3和N=5N=4和N=6

設(shè)阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示，在Ωs處的A2(Ωs)用(6.2.19)式確定：

令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有可以解出ch3dB截止頻率用Ωc表示，按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中僅取正號，得到3dB截止頻率計算公式：

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。求解的過程請參考有關(guān)資料。下面僅介紹一些有用的結(jié)果。設(shè)Ha(s)的極點為si=σi+jΩi，可以證明：式中6.求濾波器的極點，確定Ha(p)上式是一個橢圓方程，長半軸為Ωpchξ(在虛軸上)，短半軸為Ωpshξ(在實軸上)。令bΩp和aΩp分別表示長半軸和短半軸，可推導(dǎo)出：切比雪夫濾波器的極點分布在一個橢圓上圖三階切比雪夫濾波器的極點分布

設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點分布如圖6.2.8所示(極點用X表示)。為穩(wěn)定，用左半平面的極點構(gòu)成Ha(p)，即

式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導(dǎo)出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為

按照以上分析，下面介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計步驟。1)確定技術(shù)要求αp,Ωp,αs和Ωsαp是Ω=Ωp時的衰減系數(shù)，αs是Ω=Ωs時的衰減系數(shù)，它們?yōu)?.求去歸一化后的傳輸函數(shù)(6.2.33b)(6.2.34)(6.2.35)

這里αp就是前面定義的通帶波紋δ，見(6.2.21)式。歸一化頻率2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε

由(6.2.19)式，得到：

將以上兩式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到：令(6.2.36)(6.2.37)

這樣，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出階數(shù)N，最后取大于等于N的最小整數(shù)。

按照(6.2.22)式求ε，這里αp=δ。ε2=100.1δ-13)求歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)

為求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出歸一化極點pk,k=1,2,:,N。

將極點pk代入(6.2.33)式，得到：4)將Ha(p)去歸一化，得到實際的Ha(s)，即(6.2.38)(6.2.39)

例6.2.2設(shè)計低通切比雪夫濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。

解：(1)濾波器的技術(shù)要求：(2)求階數(shù)N和ε：(3)求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5時的極點pi，代入上式，得到：(4)將Ha(p)去歸一化，得到：例6.2.2%li6.2.2Rp=0.1;As=60;wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;

%function[b,a]=afd_chb1(wp,ws,Rp,As);A=10^(As/20)ep=sqrt(10^(Rp/10)-1)C=wp;R=ws/wpg=sqrt(A*A-1)/epN=ceil(log10(g+sqrt(g*g-1))/log10(R+sqrt(R*R-1)))A=1000ep=0.1526R=4g=6.5522e+003N=5%LI6.2.3Rp=0.1;As=60;wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;[N,wc]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=cheby1(N,Rp,wp,'s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|')N=5wc=1.8850e+004％cheb2Rp=0.1;As=60;wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;[N,wc]=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=cheby2(N,As,wc,'s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|')N=5wc=6.4185e+004%li6.2.4Rp=0.1;As=60;wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;[N,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=ellip(N,Rp,As,wc,'s');k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);subplot(1,2,1);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|')subplot(122);plot(fk/1000,20*log10(angle(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('angle')

例Rp=0.5;As=50;wp=0.3;ws=0.4;%確定butterworth濾波器的階數(shù)和截止頻率[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,As)%確定butturworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)[b,a]=butter(N,Wn,'low');printsys(b,a,'s')[h,w]=freqz(b,a,501);subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(h));title('butterworth濾波器的幅頻特性')subplot(2,2,2);plot(w/pi,angle(h));title('butterworth濾波器的相頻特性')%確定Chebyshev1型濾波器的階數(shù)和截止頻率[Nche1,Wcche1]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)%確定Chebyshev1型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)[bche1,ache1]=cheby1(Nche1,Rp,Wcche1);[hche1,wche1]=freqz(bche1,ache1,501);printsys(bche1,ache1,'s')figuresubplot(2,2,1);plot(wche1/pi,abs(hche1));title('Chebyshev1濾波器的幅頻特性')subplot(2,2,2);plot(wche1/pi,angle(hche1));title('Chebyshev1濾波器的相頻特性')%確定橢圓濾波器的階數(shù)和截止頻率[Nelli,Wcelli]=ellipord(wp,ws,Rp,As)%確定橢圓濾波器的系統(tǒng)函數(shù)[belli,aelli]=ellip(Nelli,Rp,As,Wcelli);[helli,welli]=freqz(belli,aelli,501);printsys(belli,aelli,'s')subplot(2,2,3);plot(welli/pi,abs(helli));title('橢圓濾波器的幅頻特性')subplot(2,2,4);plot(welli/pi,angle(helli))title('橢圓濾波器的相頻特性')N=20Wn=0.3176Nche1=9Wcche1=0.3000Nelli=6Wcelli=0.3000四、模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計

為了防止符號混淆，先規(guī)定一些符號如下：

1低通到高通的頻率變換λ和η之間的關(guān)系為

上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)則用下式轉(zhuǎn)換：(6.2.41)(6.2.40)圖6.2.9低通與高通濾波器的幅度特性

模擬高通濾波器的設(shè)計步驟如下：

(1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率Ω′p，阻帶上限頻率Ω′s，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs。(2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)：按照(6.2.40)式

將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項設(shè)計指標(biāo)為：①低通濾波器通帶截止頻率Ωp=1/Ω′p；②低通濾波器阻帶截止頻率Ωs=1/Ω′s；③通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減仍為αs。(3)設(shè)計歸一化低通濾波器G(p)。(4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(6.2.41)式，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/Ωc代入H(q)中，得

(6.2.42)

解①高通技術(shù)要求：fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

歸一化頻率②低通技術(shù)要求：例6.2.3設(shè)計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。③設(shè)計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故④求模擬高通H(s)：

%li6.2.5Rp=0.1;As=40;wp=2*pi*1000;ws=2*pi*4000;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);subplot(121);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,10,-80,0])Rp=0.1;As=40;wp=1;ws=4;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=butter(N,wc,'s');subplot(122);wph=2*pi*4000;[Bh,Ah]=lp2hp(B,A,wph);k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(Bh,Ah,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,10,-80,0])%高通IIRRp=0.1;As=40;ws=2*pi*1000;wp=2*pi*4000;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[BH,AH]=butter(N,wc,'high','s');k=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(BH,AH,wk);figureplot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,6,-200,0])N=5wc=1.5782e+004低通到帶通的頻率變換

低通與帶通濾波器的幅度特性如圖6.2.10所示。

歸一化邊界頻率：圖6.2.10帶通與低通濾波器的幅度特性

表6.2.2η與λ的對應(yīng)關(guān)系

由η與λ的對應(yīng)關(guān)系，得到：由表6.2.2知λp對應(yīng)ηu，代入上式中，有(6.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于

將(6.2.43)式代入上式，得到：將q=jη代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計算公式。下面總結(jié)模擬帶通的設(shè)計步驟。(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率Ωu，帶通下限頻率Ωl下阻帶上限頻率Ωs1,上阻帶下限頻率Ωs2

通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=ΩuΩl與以上邊界頻率對應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：(2)確定歸一化低通技術(shù)要求：λs與-λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。

通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。(3)設(shè)計歸一化低通G(p)。(4)由(6.2.45)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。

例6.2.4設(shè)計模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π×200rad/s，中心頻率Ω0=2π×1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。

解

(1)模擬帶通的技術(shù)要求：Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6(2)模擬歸一化低通技術(shù)要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。(3)設(shè)計模擬歸一化低通濾波器G(p)：

采用巴特沃斯型，有

取N=3，查表6.2.1，得(4)求模擬帶通H(s)：帶通濾波器設(shè)計%li626Rp=1;As=20;ws=2*pi*[2000,9000];wp=2*pi*[4000,7000];[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[BB,AA]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:15000/512:15000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(BB,AA,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|')axis([0,15,-80,0])

3低通到帶阻的頻率變換

低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。圖6.2.11低通與帶阻濾波器的幅頻特性Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率

圖中，Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=Ωu-Ωl，B作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl

表6.2.3η與λ的對應(yīng)關(guān)系

根據(jù)η與λ的對應(yīng)關(guān)系，可得到：

且ηu-ηl=1，λp=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=jλ，并去歸一化，可得

上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)下面總結(jié)設(shè)計帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率Ωl,上通帶截止頻率Ωu阻帶下限頻率Ωs1，阻帶上限頻率Ωs2阻帶中心頻率Ω20=ΩuΩl

，阻帶寬度B=Ωu-Ωl它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs。(2)確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即：

取λs和λs的絕對值較小的λs；通帶最大衰減為αp，阻帶最小衰減為αs。

(3)設(shè)計歸一化模擬低通G(p)。(4)按照(6.2.48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。

例6.2.5設(shè)計模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設(shè)計巴特沃斯帶阻濾波器。

解(1)模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π2×1000025B=Ωu-Ωl=2π×200;

ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)歸一化低通的技術(shù)要求：(3)設(shè)計歸一化低通濾波器G(p):αp=3dB,αs=25dB(4)帶阻濾波器的H(s)為%butterworth帶阻IIRRp=1;As=20;wp=2*pi*[2000,9000];ws=2*pi*[4000,7000];[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[Bs,As]=butter(N,wc,'stop','s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(Bs,As,wk);subplot(121)plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,12,-80,0])帶阻濾波器設(shè)計%ellip帶阻IIRRp=1;As=20;wp=2*pi*[2000,9000];ws=2*pi*[4000,7000];[N,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,As,'s')[Bs,As]=ellip(N,Rp,As,wc,'stop','s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(Bs,As,wk);subplot(122)plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,12,-80,0])6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR

數(shù)字低通濾波器上節(jié)我們講到模擬濾波器設(shè)計方法，現(xiàn)在我們要講如何將設(shè)計好的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成我們所需的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。轉(zhuǎn)換有兩種方法：沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。沖激響應(yīng)不變法是從時域出發(fā)，要求數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)對應(yīng)于模擬濾波器ha(t)的等間隔抽樣。h(n)=ha(nT)，其中T是抽樣周期。因此時域逼近良好。

為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求：(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。一、變換原理

設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)

設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)

式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：(6.3.2)

式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，t=nT代入得到：(6.3.3)對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：(6.3.4)二、數(shù)字濾波器與模擬濾波器的頻率響應(yīng)映射關(guān)系設(shè)ha(t)的采樣信號用ha(t)表示，對進(jìn)行拉氏變換，得到:h

式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(6.3.5)

上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：

(6.3.6)數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)為對應(yīng)模擬濾波器沖激響應(yīng)的抽樣，由抽樣定理可知其頻譜為模擬濾波器頻譜的周期延拓。將s=jΩ代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7)(6.3.8)(6.3.9)模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關(guān)系如下：(Ωs=2π/T)

上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10)

那么σ=0,則r=1；σ<0,則r<1；σ>0,則r>1

另外，注意到z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成為任意整數(shù)

由于在時域抽樣，導(dǎo)致在頻域內(nèi)周期延拓，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejw)為模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓.

存在多對一的映射關(guān)系。圖6-9z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系映射規(guī)則的要點S平面上每一條寬為的橫帶部分，將重疊映射到z平面的整個平面上。每一橫條的左半邊映射到z平面單位園內(nèi)，每一橫條的右半邊映射到z平面單位園外。S平面的虛軸（j)軸映射到z平面單位園上，虛軸上每一段長為的線段都映射到z平面單位園上一周。數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓。三、脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象

由于在時域抽樣，導(dǎo)致在頻域內(nèi)周期延拓。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejw)為模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。從模擬信號到采樣信號，其拉氏變換以為周期，沿虛軸進(jìn)行周期延拓。如果原模擬信號的頻帶不限于之間，則會在的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊。設(shè)計出的數(shù)字濾波器在附近的頻率特性偏離模擬濾波器在附近的頻率特性，嚴(yán)重時使數(shù)字濾波器不能滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。希望設(shè)計的濾波器是帶限濾波器，若不是帶限的，如高通、帶阻濾波器，則要在前面加保護(hù)濾波器，濾除高頻信號，以免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。

只有模擬濾波器的頻譜限帶于折疊頻率內(nèi)時，即要滿足才能避免混疊失真。而實際的濾波器并非嚴(yán)格限帶，所以用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器不可避免地會產(chǎn)生混疊失真。所以此法只適于設(shè)計帶限濾波器。圖6-10脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象

假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足

按照(6.3.9)式，并將關(guān)系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：

令四、公式推導(dǎo)

一般Ha(s)的極點si是一個復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在(6.3.1)式中將一對復(fù)數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點為

可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實數(shù)乘法)的形式為

如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點為五、沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIRDF的優(yōu)缺點（1）沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好。（2）模擬頻率Ω和數(shù)字頻率w之間呈線性關(guān)系：w=ΩT如：一個線性相位的模擬濾波器（例貝塞爾濾波器）可以映射成一個線性相位的數(shù)字濾波器。（3）缺點：由于有頻率混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器,如低通、帶通濾波器。六、沖激不變法應(yīng)用的局限性

由于具有頻率的混疊效應(yīng)，所以高通和帶阻濾波器不宜采用沖激不變法。因為它們高頻部分不衰減，將完全混淆在低頻中，從而使整個頻響面目全非。若要對高通和帶阻實行沖激不變法，則必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶。它會增加設(shè)計的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，因而只有在一定要追求頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)不變時才使用。對于帶通和低通濾波器，需充分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。

例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

解首先將Ha(s)寫成部分分式：極點為b=[10.64490.7079];roots(b)ans=-0.3225+0.7771i-0.3225-0.7771i用MATLAB求極點：按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到

設(shè)T=1s時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)表示，則

轉(zhuǎn)換時，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(6.3.13)式的形式，如極點s1,2=σ1±jΩ1,則那么H(z)的極點為再按照(6.3.14)式，H(z)為圖6.3.3例6.3.1的幅度特性例2由于模擬濾波器不是充分限帶，所以數(shù)字濾波器產(chǎn)生很大的頻譜混疊失。|Ha(jΩ)|Ωw|H(ejw)|%li6.3.2T=1;Rp=1;As=10;wp=0.2*pi/T;ws=0.35*pi/T;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');[Bz,Az]=impinvar(B,A);[h,w]=freqs(B,A);[H,w1]=freqz(Bz,Az);printsys(b,a,'s')printsys(Bz,Az,'z')subplot(221)plot(w,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)dB');axis([0,5,-50,0])subplot(222)plot(w1,20*log10(abs(H)));gridonxlabel('w/pi');ylabel('|H(f)dB|');axis([0,5,-50,0])%T=0.1sT=0.1;fs=10;Rp=1;As=10;wp=0.2*pi/T;ws=0.35*pi/T;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');printsys(b,a,'s')[Bz,Az]=impinvar(B,A,fs);printsys(Bz,Az,'z')[h,w]=freqs(B,A);[H,w1]=freqz(Bz,Az);subplot(223);plot(w,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)dB');axis([0,50,-50,0])subplot(224);plot(w1,20*log10(abs(H)));gridonxlabel('w/pi');ylabel('|H(f)dB|');axis([0,5,-50,0])6.4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字

低通濾波器

沖激不變法：是使數(shù)字濾波器在時域上模仿模擬濾波器，但它的缺點：產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是由于從S平面->Z平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，我們采用雙線性變換法.1.定義雙線性變換法：是從頻域出發(fā)，使DF的頻率響應(yīng)與AF的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。采用頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。一、變換原理2、雙線性變換法的映射關(guān)系實現(xiàn)S平面與Z平面一一對應(yīng)的關(guān)系。第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數(shù)字化S平面S1平面Z平面3、雙線性變換法的映射規(guī)則

映射規(guī)則（1）頻率壓縮：把整個S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。（2）數(shù)字化：將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系變換到z平面。（1）頻率壓縮把整個S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。（2）數(shù)字化將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系變換到z平面。（3）變換常數(shù)C的選擇調(diào)節(jié)C，可使AF與DF在不同頻率點處有對應(yīng)的關(guān)系。（a）使AF與DF在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系。看出在低頻處，AF的低頻特性近似等于DF的低頻特性。二、性能分析1.解決了沖激不變法的混疊失真問題。2.它是一種簡單的代數(shù)關(guān)系。只須將上述關(guān)系代入AF的Ha(s)中（對直接、級聯(lián)、并聯(lián)結(jié)構(gòu)都適用）即可求出DF的H(z),設(shè)計十分方便。3.由于雙線性變換中，即模擬角頻率與數(shù)字角頻率存在非線性關(guān)系。所以雙線性變換避免了混疊失真，卻又帶來了非線性的頻率失真。4.雙線性變換法不適用于如下設(shè)計：（1）設(shè)計線性相位的DF（2）它要求AF的幅頻響應(yīng)是分段常數(shù)型.(即幅度變換是線性的）。（一般低通，高通，帶通，帶阻型濾波器的頻率響應(yīng)特性都是分段常數(shù)）

5.同時，看出雙線性變換：（1）在零頻附近，模擬角頻率與數(shù)字角頻率變換關(guān)系接近線性關(guān)系。（2）又要求AF的幅頻響應(yīng)是分段常數(shù)型，即幅度變換是線性的所以稱之為雙線性變換。頻率升高時，非線性失真嚴(yán)重。6.對于分段常數(shù)型AF濾波器，經(jīng)雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的DF.但在各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生畸變，這種頻率的畸變，可通過頻率預(yù)畸變加以校正。例1

一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位。如一個模擬微分器將不能通過雙線性變換成為數(shù)字微分器。模擬微分器數(shù)字圖6.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射例2

對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣臨界頻率點產(chǎn)生了畸變。這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸變加以校正，也就是臨界頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的頻率。三、設(shè)計流程1.根據(jù)要求，確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。2.將各分段頻率臨界點預(yù)畸變。3.將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。4.根據(jù)設(shè)計要求，選定雙線性變換常數(shù)C。5.設(shè)計中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s).6.將代入Ha(s)中，得到數(shù)字低通濾波器DF的系統(tǒng)函數(shù)的H(z).

為簡化設(shè)計，已將模擬濾波器各系數(shù)和經(jīng)雙線性變換法得到的數(shù)字濾波器的各系數(shù)之間關(guān)系，列成表格供設(shè)計時使用。

表6-2系數(shù)關(guān)系表

例3試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。

解首先按照圖6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為

利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5例6.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)H1(z);(b)H2(z)圖6.4.6例6.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性例6.4.2設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器。

解(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB③設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。

取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。

根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實際的傳輸函數(shù)Ha(s),④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：圖6.4.7例6.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性(2)用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為③設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計算如下：

取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過。

根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實際的Ha(s)，④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：圖6.4.8例6.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性Rp=1;As=15;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;T=1;Fs=1;Omegap=(2/T)*tan(wp/2);Omegas=(2/T)*tan(ws/2);ksp=((10^(0.1*Rp)-1)/(10^(0.1*As)-1))^0.5Asp=Omegas/OmegapN=-(log(ksp)/log(Asp))N=ceil(N)%不小于自變量的最小整數(shù)wc=Omegas/((10^(As/10)-1)^(1/(2*N)))[z,p,k]=buttap(N)%求零極點[b,a]=zp2tf(z,p,k)%歸一化系統(tǒng)函數(shù)[bt,at]=lp2lp(b,a,wp)%去歸一化[bb,ab]=bilinear(bt,at,Fs)%雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器ksp=0.0920Asp=1.5682N=5.3044N=6wc=0.7662z=[]p=-0.2588+0.9659i-0.2588-0.9659i-0.7071+0.7071i-0.7071-0.7071i-0.9659+0.2588i-0.9659-0.2588ik=1運行結(jié)果如下：b=0000001a=1.00003.86377.46419.14167.46413.86371.0000bt=0.0615at=1.00002.42762.94672.26761.16330.37840.0615bb=0.00030.00170.00430.00580.00430.00170.0003ab=1.0000-3.65435.8693-5.21922.6894-0.75740.0908%li6.4.2設(shè)計IIRRp=1;As=15;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;T=1;Fs=1;Omegap=(2/T)*tan(wp/2);Omegas=(2/T)*tan(ws/2);[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=butter(N,wc,'s');[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs);[h,w]=freqs(B,A);subplot(121)plot(w,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('Hz');ylabel('|H(f)|')axis([0,1,-20,0])[H,w1]=freqz(Bz,Az)subplot(122)plot(w1,20*log10(abs(H)));gridonxlabel('w/pi');ylabel('|H(f)dB|')axis([0,1,-20,0])

6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計

例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計步驟如下：(1)確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。(2)將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為

(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6.2節(jié))。(4)設(shè)計模擬低通濾波器。(5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。(6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。

例5設(shè)計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3

dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。

解(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計算如下：

令T=1，則有(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計算如下：15

將Ωp和Ωs對3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc=Ωp,(4)設(shè)計歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下：

查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式得到：(5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：(6)用雙線性變換法將模擬高通H

(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即%li6.5.1設(shè)計IIRRp=3;As=15;wp=0.8;ws=0.44;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As)[B,A]=b