第6章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)(IIR)6.1數(shù)字濾波器的基本概念6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

一、數(shù)字濾波器的分類

數(shù)字濾波器是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成份的相對(duì)比例或?yàn)V除某些頻率成份的器件。1.從功能上分：低通、帶通、高通、帶阻濾波器。2.從實(shí)現(xiàn)方法上分：FIR、IIR濾波器3.從設(shè)計(jì)方法上來分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）等4.從處理信號(hào)分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器等等。

無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別為：圖5.1.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性二、性能指標(biāo)我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。因?yàn)槔硐霝V波器物理上是不可實(shí)現(xiàn)的。（由于從一個(gè)頻帶到另一個(gè)頻帶之間的突變）要物理可實(shí)現(xiàn)：應(yīng)從一個(gè)帶到另一個(gè)帶之間設(shè)置一個(gè)過渡帶且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)格為1或零。應(yīng)給以較小容限。通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：1、低通濾波器的性能指標(biāo)fswsfpwpδ21-δ11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)δ1:通帶的容限δ2：阻帶容限通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶上限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fs(ws)又稱阻帶下限截止頻率。阻帶衰減：As2、高通濾波器的性能指標(biāo)fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶下限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fp(ws)又稱阻帶上限截止頻率。阻帶衰減：As3、帶通濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws24、帶阻濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws2

通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示，如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：5、通常具體技術(shù)指標(biāo)

因?yàn)?，DF是一種具有頻率選擇性的離散線性系統(tǒng)。它是在確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)的數(shù)字處理中有著廣泛的應(yīng)用。所以，數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是確定其系統(tǒng)函數(shù)并實(shí)現(xiàn)的過程。三、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述

濾波器設(shè)計(jì)的步驟1.根據(jù)任務(wù)，確定性能指標(biāo)。2.用因果系統(tǒng)的線性時(shí)不變系統(tǒng)函數(shù)去逼近。3.用有限精度算法實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。（包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)、選擇合適的字長(zhǎng)、有效數(shù)字處理方法。）4.用適當(dāng)?shù)能?、硬件技術(shù)實(shí)現(xiàn)包括采用：通用計(jì)算機(jī)軟件、數(shù)字濾波器硬件、或者二者結(jié)合。四、H(z)如何推導(dǎo)出（1）根據(jù)提出對(duì)濾波器的性能要求、頻率特性（低、高、帶通、帶阻）來設(shè)計(jì)系統(tǒng)H(z).(2)根據(jù)時(shí)域波形提出要求來設(shè)計(jì)-->單位沖激響應(yīng)h(n)或g(n)的形狀。（3）有時(shí)也直接給出H(z).(但要求因果穩(wěn)定).即間接設(shè)計(jì)法和直接設(shè)計(jì)法。五、確定DF的采用的結(jié)構(gòu)及運(yùn)算結(jié)構(gòu)的好壞確定DF的采用的結(jié)構(gòu)將會(huì)影響DF的精度、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性及運(yùn)算速度等很多重要性質(zhì)。1.計(jì)算復(fù)雜性一個(gè)運(yùn)算結(jié)構(gòu)應(yīng)含有最少的乘法器和最少的延時(shí)器。乘法器最費(fèi)時(shí)間，乘法器少，運(yùn)算速度快；延時(shí)器最費(fèi)存儲(chǔ)單元，延時(shí)器少，存儲(chǔ)器用的少，計(jì)算少。2.有限存儲(chǔ)器的長(zhǎng)度的影響與運(yùn)算結(jié)構(gòu)有關(guān)。即有時(shí)會(huì)希望使用一種運(yùn)算結(jié)構(gòu)，雖然它的乘法器和延時(shí)器并不是最少的，但它對(duì)存儲(chǔ)器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)是最不敏感的。IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計(jì)方法是助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：1、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo)2、模擬濾波器設(shè)計(jì)得到傳輸函數(shù)Ha(s)3、映射實(shí)現(xiàn)：從模擬濾波器再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)本章介紹IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法。

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。

圖5-3各種理想濾波器的幅頻特性

一、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有,Ωp,和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，是通帶Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)，是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)，和一般用dB數(shù)表示。對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：

如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1

和表示為

以上技術(shù)指標(biāo)用圖6.2.2表示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因(6.2.3)(6.2.4)圖低通濾波器的幅度特性

濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)和，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此說明：Ha(s)必須穩(wěn)定，因此極點(diǎn)必須在s平面的左半平面，Ha(-s)的極點(diǎn)在右半平面。二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法

1.幅度平方函數(shù)Butterworth低通濾波器具有通帶最大平坦的幅度特性，是一全極點(diǎn)型濾波器，且極點(diǎn)均勻分布上Ωc的園上，并且與虛軸對(duì)稱。其特點(diǎn)：在通帶內(nèi)，幅頻特平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅度平方函數(shù)為

其中N為整數(shù)，表示濾波器的階次，Ωc定義為截止頻率，為振幅響應(yīng)衰減到-3dB處的頻率;2、Butterworth濾波器階數(shù)N與幅度響應(yīng)的關(guān)系

圖5-5巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系當(dāng)N增大時(shí)，濾波器的特性曲線變得陡峭，則更接近理想矩形幅度特性。

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：jΩ=s代入得：

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：K=0,1,2,…(2N-1)3、Butterworth濾波器的極點(diǎn)分布圖6-6三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為Ωc的圓上（Butterworth圓）

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。

令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.10)4、歸一化的Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：(6-12)

將極點(diǎn)表示式(6-12)代入式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：

(6-11)(6-11)5.確定階數(shù)N再將幅度平方代入可得：

由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：令,則N由下式表示：

用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標(biāo)中有給出，

總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs，求出濾波器的階數(shù)N。(2)，求出歸一化極點(diǎn)pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。

(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。表6-1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。

解(1)確定階數(shù)N。(2)其極點(diǎn)為歸一化傳輸函數(shù)為

上式分母可以展開成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表5-1簡(jiǎn)單，由N=5，直接查表得到：

極點(diǎn)：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

式b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。得到：將Ωc代入，得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：MATLAB程序%li6.2.1fp=5kHz,Rp=2,fs=12kHz,As=30wp=2*pi*5000,ws=2*pi*12000,Rp=2,As=30;ksp=((10^(0.1*Rp)-1)/(10^(0.1*As)-1))^0.5Asp=ws/wpN=-(log(ksp)/log(Asp))N=ceil(N)wc=wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)))[z,p,k]=buttap(N)%求butterworth濾波器的歸一化原形型，零極點(diǎn)增益形式%確定butturworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)N=5wc=3.3147e+004z=[]p=-0.3090+0.9511i

-0.3090-0.9511i

-0.8090+0.5878i

-0.8090-0.5878i

-1.0000

運(yùn)行結(jié)果如下：%li6.2.1fp=5kHz,Rp=2,fs=12kHz,As=30wp=2*pi*5000,ws=2*pi*12000,Rp=2,As=30;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,‘s’)

%‘s’表示模擬濾波器，缺省為數(shù)字濾波器[B,A]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);subplot(2,2,1);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));title(‘buttorth濾波器的幅頻特性')subplot(2,2,2);plot(fk/1000,20*log10(angle(h)));title('butterworth濾波器的相頻特性')k=1N=5wc=3.7792e+004三、切貝雪夫低通濾波器Chebyshev

Butterworth濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率而單調(diào)變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會(huì)有富裕量，也就是會(huì)超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)，所以更有效的方法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻在通帶與阻帶內(nèi)，這時(shí)就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來完成。Chebyshev濾波器的分類

在一個(gè)頻帶中，通帶或阻帶具有這種等紋特性可分為：（1）ChebyshevI型：在通帶中是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的；（2）ChebyshevII型：在通帶中是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的；由應(yīng)用的要求，決定采用哪種型式的Chebyshev濾波器（1）ChebyshevI型幅頻特性和零極點(diǎn)圖（N=3）N=3ChebyshevI型（2）ChebyshevII型幅頻特性和零極點(diǎn)圖（N=3）N=3ChebyshevII型，其設(shè)計(jì)思想同ChebyshevI型，在此課程中我們就不作介紹。

1ChebyshevI型幅度平方函數(shù)我們這里僅介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器的設(shè)計(jì)方法。圖分別畫出階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)的切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，ε愈大，波動(dòng)幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率。2CN(x):N階Chebyshev多項(xiàng)式

(6.2.20)

圖5-8示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。

由圖可見：(1)切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在|x|≤1的范圍內(nèi)；(2)當(dāng)|x|<1時(shí)，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；(3)當(dāng)|x|>1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。圖6-8N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線3、通帶等波紋振蕩4、確定通帶內(nèi)波紋值ε

圖切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的A2(Ω)曲線5、確定階數(shù)N和截止頻率Ωc

階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大和最小值個(gè)數(shù)的總和?？捎煞l特性中看出N階數(shù)。且當(dāng)：N=奇數(shù)，則Ω=0處有一最大值，N=偶數(shù)，則Ω=0處有一最小值。N=3和N=5N=4和N=6

設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示，在Ωs處的A2(Ωs)用(6.2.19)式確定：

令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有可以解出ch3dB截止頻率用Ωc表示，按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中僅取正號(hào)，得到3dB截止頻率計(jì)算公式：

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。求解的過程請(qǐng)參考有關(guān)資料。下面僅介紹一些有用的結(jié)果。設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=σi+jΩi，可以證明：式中6.求濾波器的極點(diǎn)，確定Ha(p)上式是一個(gè)橢圓方程，長(zhǎng)半軸為Ωpchξ(在虛軸上)，短半軸為Ωpshξ(在實(shí)軸上)。令bΩp和aΩp分別表示長(zhǎng)半軸和短半軸，可推導(dǎo)出：切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布在一個(gè)橢圓上圖三階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布

設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖6.2.8所示(極點(diǎn)用X表示)。為穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(p)，即

式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導(dǎo)出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為

按照以上分析，下面介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計(jì)步驟。1)確定技術(shù)要求αp,Ωp,αs和Ωsαp是Ω=Ωp時(shí)的衰減系數(shù)，αs是Ω=Ωs時(shí)的衰減系數(shù)，它們?yōu)?.求去歸一化后的傳輸函數(shù)(6.2.33b)(6.2.34)(6.2.35)

這里αp就是前面定義的通帶波紋δ，見(6.2.21)式。歸一化頻率2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε

由(6.2.19)式，得到：

將以上兩式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到：令(6.2.36)(6.2.37)

這樣，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出階數(shù)N，最后取大于等于N的最小整數(shù)。

按照(6.2.22)式求ε，這里αp=δ。ε2=100.1δ-13)求歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)

為求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出歸一化極點(diǎn)pk,k=1,2,:,N。

將極點(diǎn)pk代入(6.2.33)式，得到：4)將Ha(p)去歸一化，得到實(shí)際的Ha(s)，即(6.2.38)(6.2.39)

例6.2.2設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。

解：(1)濾波器的技術(shù)要求：(2)求階數(shù)N和ε：(3)求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5時(shí)的極點(diǎn)pi，代入上式，得到：(4)將Ha(p)去歸一化，得到：例6.2.2%li6.2.2Rp=0.1;As=60;wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;

%function[b,a]=afd_chb1(wp,ws,Rp,As);A=10^(As/20)ep=sqrt(10^(Rp/10)-1)C=wp;R=ws/wpg=sqrt(A*A-1)/epN=ceil(log10(g+sqrt(g*g-1))/log10(R+sqrt(R*R-1)))A=1000ep=0.1526R=4g=6.5522e+003N=5%LI6.2.3Rp=0.1;As=60;wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;[N,wc]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=cheby1(N,Rp,wp,'s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|')N=5wc=1.8850e+004％cheb2Rp=0.1;As=60;wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;[N,wc]=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=cheby2(N,As,wc,'s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|')N=5wc=6.4185e+004%li6.2.4Rp=0.1;As=60;wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;[N,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=ellip(N,Rp,As,wc,'s');k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);subplot(1,2,1);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|')subplot(122);plot(fk/1000,20*log10(angle(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('angle')

例Rp=0.5;As=50;wp=0.3;ws=0.4;%確定butterworth濾波器的階數(shù)和截止頻率[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,As)%確定butturworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)[b,a]=butter(N,Wn,'low');printsys(b,a,'s')[h,w]=freqz(b,a,501);subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(h));title('butterworth濾波器的幅頻特性')subplot(2,2,2);plot(w/pi,angle(h));title('butterworth濾波器的相頻特性')%確定Chebyshev1型濾波器的階數(shù)和截止頻率[Nche1,Wcche1]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)%確定Chebyshev1型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)[bche1,ache1]=cheby1(Nche1,Rp,Wcche1);[hche1,wche1]=freqz(bche1,ache1,501);printsys(bche1,ache1,'s')figuresubplot(2,2,1);plot(wche1/pi,abs(hche1));title('Chebyshev1濾波器的幅頻特性')subplot(2,2,2);plot(wche1/pi,angle(hche1));title('Chebyshev1濾波器的相頻特性')%確定橢圓濾波器的階數(shù)和截止頻率[Nelli,Wcelli]=ellipord(wp,ws,Rp,As)%確定橢圓濾波器的系統(tǒng)函數(shù)[belli,aelli]=ellip(Nelli,Rp,As,Wcelli);[helli,welli]=freqz(belli,aelli,501);printsys(belli,aelli,'s')subplot(2,2,3);plot(welli/pi,abs(helli));title('橢圓濾波器的幅頻特性')subplot(2,2,4);plot(welli/pi,angle(helli))title('橢圓濾波器的相頻特性')N=20Wn=0.3176Nche1=9Wcche1=0.3000Nelli=6Wcelli=0.3000四、模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

為了防止符號(hào)混淆，先規(guī)定一些符號(hào)如下：

1低通到高通的頻率變換λ和η之間的關(guān)系為

上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)則用下式轉(zhuǎn)換：(6.2.41)(6.2.40)圖6.2.9低通與高通濾波器的幅度特性

模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率Ω′p，阻帶上限頻率Ω′s，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs。(2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：按照(6.2.40)式

將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)為：①低通濾波器通帶截止頻率Ωp=1/Ω′p；②低通濾波器阻帶截止頻率Ωs=1/Ω′s；③通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減仍為αs。(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)。(4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(6.2.41)式，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/Ωc代入H(q)中，得

(6.2.42)

解①高通技術(shù)要求：fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

歸一化頻率②低通技術(shù)要求：例6.2.3設(shè)計(jì)高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。③設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故④求模擬高通H(s)：

%li6.2.5Rp=0.1;As=40;wp=2*pi*1000;ws=2*pi*4000;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(B,A,wk);subplot(121);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,10,-80,0])Rp=0.1;As=40;wp=1;ws=4;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=butter(N,wc,'s');subplot(122);wph=2*pi*4000;[Bh,Ah]=lp2hp(B,A,wph);k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(Bh,Ah,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,10,-80,0])%高通IIRRp=0.1;As=40;ws=2*pi*1000;wp=2*pi*4000;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[BH,AH]=butter(N,wc,'high','s');k=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(BH,AH,wk);figureplot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,6,-200,0])N=5wc=1.5782e+004低通到帶通的頻率變換

低通與帶通濾波器的幅度特性如圖6.2.10所示。

歸一化邊界頻率：圖6.2.10帶通與低通濾波器的幅度特性

表6.2.2η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系

由η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到：由表6.2.2知λp對(duì)應(yīng)ηu，代入上式中，有(6.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于

將(6.2.43)式代入上式，得到：將q=jη代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計(jì)算公式。下面總結(jié)模擬帶通的設(shè)計(jì)步驟。(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率Ωu，帶通下限頻率Ωl下阻帶上限頻率Ωs1,上阻帶下限頻率Ωs2

通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=ΩuΩl與以上邊界頻率對(duì)應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：(2)確定歸一化低通技術(shù)要求：λs與-λs的絕對(duì)值可能不相等，一般取絕對(duì)值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。

通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。(3)設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。(4)由(6.2.45)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。

例6.2.4設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π×200rad/s，中心頻率Ω0=2π×1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。

解

(1)模擬帶通的技術(shù)要求：Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6(2)模擬歸一化低通技術(shù)要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。(3)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通濾波器G(p)：

采用巴特沃斯型，有

取N=3，查表6.2.1，得(4)求模擬帶通H(s)：帶通濾波器設(shè)計(jì)%li626Rp=1;As=20;ws=2*pi*[2000,9000];wp=2*pi*[4000,7000];[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[BB,AA]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:15000/512:15000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(BB,AA,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|')axis([0,15,-80,0])

3低通到帶阻的頻率變換

低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。圖6.2.11低通與帶阻濾波器的幅頻特性Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率

圖中，Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=Ωu-Ωl，B作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl

表6.2.3η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系

根據(jù)η與λ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到：

且ηu-ηl=1，λp=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=jλ，并去歸一化，可得

上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)下面總結(jié)設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率Ωl,上通帶截止頻率Ωu阻帶下限頻率Ωs1，阻帶上限頻率Ωs2阻帶中心頻率Ω20=ΩuΩl

，阻帶寬度B=Ωu-Ωl它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs。(2)確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即：

取λs和λs的絕對(duì)值較小的λs；通帶最大衰減為αp，阻帶最小衰減為αs。

(3)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通G(p)。(4)按照(6.2.48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。

例6.2.5設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。

解(1)模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π2×1000025B=Ωu-Ωl=2π×200;

ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)歸一化低通的技術(shù)要求：(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p):αp=3dB,αs=25dB(4)帶阻濾波器的H(s)為%butterworth帶阻IIRRp=1;As=20;wp=2*pi*[2000,9000];ws=2*pi*[4000,7000];[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[Bs,As]=butter(N,wc,'stop','s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(Bs,As,wk);subplot(121)plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,12,-80,0])帶阻濾波器設(shè)計(jì)%ellip帶阻IIRRp=1;As=20;wp=2*pi*[2000,9000];ws=2*pi*[4000,7000];[N,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,As,'s')[Bs,As]=ellip(N,Rp,As,wc,'stop','s');k=0:511;fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;[h,w]=freqs(Bs,As,wk);subplot(122)plot(fk/1000,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('kHz');ylabel('|H(f)|');axis([0,12,-80,0])6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器上節(jié)我們講到模擬濾波器設(shè)計(jì)方法，現(xiàn)在我們要講如何將設(shè)計(jì)好的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成我們所需的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。轉(zhuǎn)換有兩種方法：沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。沖激響應(yīng)不變法是從時(shí)域出發(fā)，要求數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)對(duì)應(yīng)于模擬濾波器ha(t)的等間隔抽樣。h(n)=ha(nT)，其中T是抽樣周期。因此時(shí)域逼近良好。

為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。一、變換原理

設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)

設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)

式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：(6.3.2)

式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，t=nT代入得到：(6.3.3)對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：(6.3.4)二、數(shù)字濾波器與模擬濾波器的頻率響應(yīng)映射關(guān)系設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用ha(t)表示，對(duì)進(jìn)行拉氏變換，得到:h

式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(6.3.5)

上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：

(6.3.6)數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)為對(duì)應(yīng)模擬濾波器沖激響應(yīng)的抽樣，由抽樣定理可知其頻譜為模擬濾波器頻譜的周期延拓。將s=jΩ代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7)(6.3.8)(6.3.9)模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系如下：(Ωs=2π/T)

上式表明將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10)

那么σ=0,則r=1；σ<0,則r<1；σ>0,則r>1

另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫成為任意整數(shù)

由于在時(shí)域抽樣，導(dǎo)致在頻域內(nèi)周期延拓，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejw)為模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓.

存在多對(duì)一的映射關(guān)系。圖6-9z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系映射規(guī)則的要點(diǎn)S平面上每一條寬為的橫帶部分，將重疊映射到z平面的整個(gè)平面上。每一橫條的左半邊映射到z平面單位園內(nèi)，每一橫條的右半邊映射到z平面單位園外。S平面的虛軸（j)軸映射到z平面單位園上，虛軸上每一段長(zhǎng)為的線段都映射到z平面單位園上一周。數(shù)字濾波器的頻響并不是簡(jiǎn)單地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓。三、脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象

由于在時(shí)域抽樣，導(dǎo)致在頻域內(nèi)周期延拓。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejw)為模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。從模擬信號(hào)到采樣信號(hào)，其拉氏變換以為周期，沿虛軸進(jìn)行周期延拓。如果原模擬信號(hào)的頻帶不限于之間，則會(huì)在的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊。設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器在附近的頻率特性偏離模擬濾波器在附近的頻率特性，嚴(yán)重時(shí)使數(shù)字濾波器不能滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。希望設(shè)計(jì)的濾波器是帶限濾波器，若不是帶限的，如高通、帶阻濾波器，則要在前面加保護(hù)濾波器，濾除高頻信號(hào)，以免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。

只有模擬濾波器的頻譜限帶于折疊頻率內(nèi)時(shí)，即要滿足才能避免混疊失真。而實(shí)際的濾波器并非嚴(yán)格限帶，所以用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器不可避免地會(huì)產(chǎn)生混疊失真。所以此法只適于設(shè)計(jì)帶限濾波器。圖6-10脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象

假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足

按照(6.3.9)式，并將關(guān)系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：

令四、公式推導(dǎo)

一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，在(6.3.1)式中將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為

可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為

如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為五、沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIRDF的優(yōu)缺點(diǎn)（1）沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好。（2）模擬頻率Ω和數(shù)字頻率w之間呈線性關(guān)系：w=ΩT如：一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例貝塞爾濾波器）可以映射成一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。（3）缺點(diǎn)：由于有頻率混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器,如低通、帶通濾波器。六、沖激不變法應(yīng)用的局限性

由于具有頻率的混疊效應(yīng)，所以高通和帶阻濾波器不宜采用沖激不變法。因?yàn)樗鼈兏哳l部分不衰減，將完全混淆在低頻中，從而使整個(gè)頻響面目全非。若要對(duì)高通和帶阻實(shí)行沖激不變法，則必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶。它會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，因而只有在一定要追求頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)不變時(shí)才使用。對(duì)于帶通和低通濾波器，需充分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。

例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

解首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)為b=[10.64490.7079];roots(b)ans=-0.3225+0.7771i-0.3225-0.7771i用MATLAB求極點(diǎn)：按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到

設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則

轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(6.3.13)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=σ1±jΩ1,則那么H(z)的極點(diǎn)為再按照(6.3.14)式，H(z)為圖6.3.3例6.3.1的幅度特性例2由于模擬濾波器不是充分限帶，所以數(shù)字濾波器產(chǎn)生很大的頻譜混疊失。|Ha(jΩ)|Ωw|H(ejw)|%li6.3.2T=1;Rp=1;As=10;wp=0.2*pi/T;ws=0.35*pi/T;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');[Bz,Az]=impinvar(B,A);[h,w]=freqs(B,A);[H,w1]=freqz(Bz,Az);printsys(b,a,'s')printsys(Bz,Az,'z')subplot(221)plot(w,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)dB');axis([0,5,-50,0])subplot(222)plot(w1,20*log10(abs(H)));gridonxlabel('w/pi');ylabel('|H(f)dB|');axis([0,5,-50,0])%T=0.1sT=0.1;fs=10;Rp=1;As=10;wp=0.2*pi/T;ws=0.35*pi/T;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');printsys(b,a,'s')[Bz,Az]=impinvar(B,A,fs);printsys(Bz,Az,'z')[h,w]=freqs(B,A);[H,w1]=freqz(Bz,Az);subplot(223);plot(w,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('f/Hz');ylabel('|H(f)dB');axis([0,50,-50,0])subplot(224);plot(w1,20*log10(abs(H)));gridonxlabel('w/pi');ylabel('|H(f)dB|');axis([0,5,-50,0])6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

沖激不變法：是使數(shù)字濾波器在時(shí)域上模仿模擬濾波器，但它的缺點(diǎn)：產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是由于從S平面->Z平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，我們采用雙線性變換法.1.定義雙線性變換法：是從頻域出發(fā)，使DF的頻率響應(yīng)與AF的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。采用頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。一、變換原理2、雙線性變換法的映射關(guān)系實(shí)現(xiàn)S平面與Z平面一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數(shù)字化S平面S1平面Z平面3、雙線性變換法的映射規(guī)則

映射規(guī)則（1）頻率壓縮：把整個(gè)S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。（2）數(shù)字化：將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系變換到z平面。（1）頻率壓縮把整個(gè)S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。（2）數(shù)字化將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系變換到z平面。（3）變換常數(shù)C的選擇調(diào)節(jié)C，可使AF與DF在不同頻率點(diǎn)處有對(duì)應(yīng)的關(guān)系。（a）使AF與DF在低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系?？闯鲈诘皖l處，AF的低頻特性近似等于DF的低頻特性。二、性能分析1.解決了沖激不變法的混疊失真問題。2.它是一種簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系。只須將上述關(guān)系代入AF的Ha(s)中（對(duì)直接、級(jí)聯(lián)、并聯(lián)結(jié)構(gòu)都適用）即可求出DF的H(z),設(shè)計(jì)十分方便。3.由于雙線性變換中，即模擬角頻率與數(shù)字角頻率存在非線性關(guān)系。所以雙線性變換避免了混疊失真，卻又帶來了非線性的頻率失真。4.雙線性變換法不適用于如下設(shè)計(jì)：（1）設(shè)計(jì)線性相位的DF（2）它要求AF的幅頻響應(yīng)是分段常數(shù)型.(即幅度變換是線性的）。（一般低通，高通，帶通，帶阻型濾波器的頻率響應(yīng)特性都是分段常數(shù)）

5.同時(shí)，看出雙線性變換：（1）在零頻附近，模擬角頻率與數(shù)字角頻率變換關(guān)系接近線性關(guān)系。（2）又要求AF的幅頻響應(yīng)是分段常數(shù)型，即幅度變換是線性的所以稱之為雙線性變換。頻率升高時(shí)，非線性失真嚴(yán)重。6.對(duì)于分段常數(shù)型AF濾波器，經(jīng)雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的DF.但在各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變，這種頻率的畸變，可通過頻率預(yù)畸變加以校正。例1

一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位。如一個(gè)模擬微分器將不能通過雙線性變換成為數(shù)字微分器。模擬微分器數(shù)字圖6.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射例2

對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個(gè)分段邊緣臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變。這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸變加以校正，也就是臨界頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的頻率。三、設(shè)計(jì)流程1.根據(jù)要求，確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。2.將各分段頻率臨界點(diǎn)預(yù)畸變。3.將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。4.根據(jù)設(shè)計(jì)要求，選定雙線性變換常數(shù)C。5.設(shè)計(jì)中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s).6.將代入Ha(s)中，得到數(shù)字低通濾波器DF的系統(tǒng)函數(shù)的H(z).

為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，已將模擬濾波器各系數(shù)和經(jīng)雙線性變換法得到的數(shù)字濾波器的各系數(shù)之間關(guān)系，列成表格供設(shè)計(jì)時(shí)使用。

表6-2系數(shù)關(guān)系表

例3試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。

解首先按照?qǐng)D6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為

利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5例6.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)H1(z);(b)H2(z)圖6.4.6例6.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性例6.4.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。

解(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。

取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量，這對(duì)防止頻率混疊有一定好處。

根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s),④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：圖6.4.7例6.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：

取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)已經(jīng)超過。

根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)，④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：圖6.4.8例6.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性Rp=1;As=15;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;T=1;Fs=1;Omegap=(2/T)*tan(wp/2);Omegas=(2/T)*tan(ws/2);ksp=((10^(0.1*Rp)-1)/(10^(0.1*As)-1))^0.5Asp=Omegas/OmegapN=-(log(ksp)/log(Asp))N=ceil(N)%不小于自變量的最小整數(shù)wc=Omegas/((10^(As/10)-1)^(1/(2*N)))[z,p,k]=buttap(N)%求零極點(diǎn)[b,a]=zp2tf(z,p,k)%歸一化系統(tǒng)函數(shù)[bt,at]=lp2lp(b,a,wp)%去歸一化[bb,ab]=bilinear(bt,at,Fs)%雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器ksp=0.0920Asp=1.5682N=5.3044N=6wc=0.7662z=[]p=-0.2588+0.9659i-0.2588-0.9659i-0.7071+0.7071i-0.7071-0.7071i-0.9659+0.2588i-0.9659-0.2588ik=1運(yùn)行結(jié)果如下：b=0000001a=1.00003.86377.46419.14167.46413.86371.0000bt=0.0615at=1.00002.42762.94672.26761.16330.37840.0615bb=0.00030.00170.00430.00580.00430.00170.0003ab=1.0000-3.65435.8693-5.21922.6894-0.75740.0908%li6.4.2設(shè)計(jì)IIRRp=1;As=15;wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;T=1;Fs=1;Omegap=(2/T)*tan(wp/2);Omegas=(2/T)*tan(ws/2);[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')[B,A]=butter(N,wc,'s');[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs);[h,w]=freqs(B,A);subplot(121)plot(w,20*log10(abs(h)));gridonxlabel('Hz');ylabel('|H(f)|')axis([0,1,-20,0])[H,w1]=freqz(Bz,Az)subplot(122)plot(w1,20*log10(abs(H)));gridonxlabel('w/pi');ylabel('|H(f)dB|')axis([0,1,-20,0])

6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計(jì)步驟如下：(1)確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。(2)將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為

(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6.2節(jié))。(4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。(5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。(6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。

例5設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3

dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。

解(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB(2)模擬高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：

令T=1，則有(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下：15

將Ωp和Ωs對(duì)3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc=Ωp,(4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下：

查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式得到：(5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：(6)用雙線性變換法將模擬高通H

(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實(shí)際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即%li6.5.1設(shè)計(jì)IIRRp=3;As=15;wp=0.8;ws=0.44;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As)[B,A]=b