第4章 費(fèi)率厘定

4.1基本術(shù)語危險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)）單位危險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)）單位(exposureunit)：風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量的基本單位，不同的險(xiǎn)種有不同的風(fēng)險(xiǎn)單位；承保（到期）危險(xiǎn)(writtenexposures)：指一定時(shí)期內(nèi)保險(xiǎn)人已經(jīng)簽訂了保險(xiǎn)合同的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)；承擔(dān)危險(xiǎn)(earnedexposures)：指各個(gè)相應(yīng)時(shí)間內(nèi)已經(jīng)承擔(dān)責(zé)任的危險(xiǎn)單位數(shù)量；有效危險(xiǎn)(in-forceexposures)：指在一個(gè)給定的時(shí)刻危險(xiǎn)單位數(shù)量。生效日期(月/日/年)承保危險(xiǎn)承擔(dān)危險(xiǎn)有效危險(xiǎn)20002001200020011/1/20011/1/20001.000.001.000.000.004/1/20001.000.000.750.251.007/1/20001.000.000.500.501.0010/1/20001.000.000.250.751.00合計(jì)4.000.002.501.503.00索賠索賠(Claim)：是指保險(xiǎn)事故發(fā)生后，索賠人(claimant)根據(jù)保險(xiǎn)合同的條款提出的賠付要求。事故日期(Accidentdate)：引起索賠的事故發(fā)生日期。報(bào)告日期(reportdate)：保險(xiǎn)人收到索賠通知的日期。報(bào)告延遲(reportinglag)：從發(fā)生到發(fā)現(xiàn)并報(bào)告所需要的時(shí)間導(dǎo)致的延遲。理算延遲(settlementlag)：在非壽險(xiǎn)事故報(bào)告后，往往不能立即認(rèn)定責(zé)任達(dá)成賠付協(xié)議，期間所需要的時(shí)間導(dǎo)致的延遲。結(jié)案延遲：對一次性賠付的案件來說，理算完畢即可結(jié)案。對多次定期賠付的案件來說，理算完畢和結(jié)案之間的延遲會很長。索賠頻率索賠頻率(frequency)：F為索賠頻率；C為索賠總次數(shù)；E為危險(xiǎn)單位總數(shù)2001年有5,750個(gè)車年的承擔(dān)危險(xiǎn)，并且有287個(gè)事故日期在2001年的索賠，那么索賠頻率為多少？損失和損失調(diào)整費(fèi)用損失(losses)：已付和應(yīng)付給索賠人的數(shù)額。已付損失(paidlosses)：在一個(gè)特定時(shí)期實(shí)際已經(jīng)支付給索賠人的損失。個(gè)案準(zhǔn)備金(casereserve)：對每一個(gè)在預(yù)期的未來將有支付發(fā)生情形的索賠，未來支付數(shù)額的估計(jì)。已發(fā)生損失(case-incurredlosses)：某個(gè)事故年(accidentyear)所有已付損失和個(gè)案準(zhǔn)備金的總和。最終損失(ultimateincurredlosses)：包括在計(jì)算已發(fā)生損失時(shí)還沒有報(bào)告到保險(xiǎn)公司的損失。事故年年齡(accidentyearage)：事故年年齡一般以月為單位。按慣例，到某事故年的最后一天,該事故年具有12個(gè)月的年齡。如在6/1/2001對事故年2000年已發(fā)生損失的評估被稱為事故年2000年已發(fā)生損失在年齡18個(gè)月時(shí)的評估。損失調(diào)整費(fèi)用(lossadjustmentexpense)分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用(allocatedlossadjustmentexpense)：與索賠直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費(fèi)用。非分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用(unallocatedlossadjustmentexpense)：與索賠不直接相聯(lián)系的損失調(diào)整費(fèi)用。索賠強(qiáng)度：每個(gè)索賠的平均損失S為索賠強(qiáng)度；L為損失；C為索賠總次數(shù)。純保費(fèi)(purepremium)：每危險(xiǎn)單位的平均損失P為純保費(fèi)；L為損失；E為危險(xiǎn)單位總數(shù)。純保費(fèi)也可以表示為每危險(xiǎn)單位的索賠頻率與索賠強(qiáng)度的乘積：費(fèi)率厘定的數(shù)據(jù)發(fā)生年度數(shù)據(jù)在一個(gè)日歷年度內(nèi)所有發(fā)生的損失事件的保單數(shù)據(jù)稱為發(fā)生年度數(shù)據(jù)。報(bào)告由已付賠款和未付賠款準(zhǔn)備金組成。例：發(fā)生年度數(shù)據(jù)發(fā)生年進(jìn)展12243648607219942,116,135$3,128,695$3,543,445$3,707,375$3,854,220$3,928,80519952,315,9203,527,1973,992,8054,182,1334,338,765

19962,743,6574,051,9504,593,4724,797,194

19973,130,2624,589,4305,230,437

19983,625,4185,380,617

19993,919,522

保單年度數(shù)據(jù)在一個(gè)日歷年度內(nèi)所有簽發(fā)的保單數(shù)據(jù)稱為保單年度數(shù)據(jù)。

例：1999年的保單年度數(shù)據(jù)是指1999年簽發(fā)的所有保單數(shù)據(jù)。平均事故日期若假設(shè)所有的簽單日期和事故發(fā)生日期均勻分布，則1999年內(nèi)簽發(fā)保單的事故發(fā)生日期中點(diǎn)是12/31/1999子夜（或1/1/2000零點(diǎn)）

保單年度的數(shù)據(jù)由已付賠款和未付賠款準(zhǔn)備金組成。

費(fèi)用、利潤與安全負(fù)荷厘定費(fèi)率需要考慮的因素：純保費(fèi)(purepremium)可變費(fèi)用(variableexpenses)：隨保單價(jià)格的變化而變化的費(fèi)用。固定費(fèi)用(fixedexpenses)：和保單的價(jià)格無關(guān)的費(fèi)用。利潤為什么保費(fèi)大于純保費(fèi)對于保險(xiǎn)人從風(fēng)險(xiǎn)理論中可以知道,保費(fèi)大于純保費(fèi)使保險(xiǎn)人不至于破產(chǎn)。在實(shí)踐中，保險(xiǎn)公式的營業(yè)費(fèi)用和合理的利潤都要在收取的保費(fèi)中加以考慮。對于投保人－效用角度假定某投保人擁有價(jià)值為100單位的財(cái)產(chǎn)，但這筆財(cái)產(chǎn)將面臨某種損失，這一風(fēng)險(xiǎn)被表示為隨機(jī)變量Y，Y是服從0到36之間均勻分布的隨機(jī)變量。假設(shè)此人的效用函數(shù)為其中X是他的財(cái)富。問他應(yīng)付出多大一筆保費(fèi)G去全額投保這筆財(cái)產(chǎn)？解答：由隨機(jī)損失的概率密度函數(shù)得到。保險(xiǎn)人將收取大于18的保費(fèi)如果投保人購買了保險(xiǎn)，則他的財(cái)富是確定的，即100－G，效用為。如果他不購買保險(xiǎn)，則他的財(cái)富是隨機(jī)變量100－Y，那么他剩余財(cái)富的期望效用可以計(jì)算如下解答（續(xù)）投保人愿意支付的保費(fèi)G應(yīng)該使得不管他購買保險(xiǎn)與否其剩余財(cái)富的期望效用值相等。因此，我們通過解得到G＝18.33。投保人購買保險(xiǎn)最高愿意支付18.33，這超過了他的期望損失18。如果保險(xiǎn)人收取的保費(fèi)小于18.33。這個(gè)投保人就會購買該保險(xiǎn)。費(fèi)率厘定每個(gè)危險(xiǎn)單位的費(fèi)率:R為每危險(xiǎn)單位的費(fèi)率；P為純保費(fèi)；F為每個(gè)危險(xiǎn)單位的固定費(fèi)用；V為可變費(fèi)用因子；Q為利潤因子。因此有：RV為可變費(fèi)用；RQ為利潤。假設(shè)：純保費(fèi)為75.00，每個(gè)危險(xiǎn)單位的固定費(fèi)用為12.50，可變費(fèi)用因子為17.5%，利潤因子為5.00%，則費(fèi)率為該費(fèi)率的各個(gè)組成部分如下：純保費(fèi)為75.00，固定費(fèi)用為12.50，可變費(fèi)用為19.76，利潤為5.64，總計(jì)為112.90保費(fèi)(premium)上面的例子中，假設(shè)危險(xiǎn)單位是一輛保險(xiǎn)期為1年的商用汽車。如果某份保單有15輛商用汽車，則其保費(fèi)為：112.90×15=1693.50承保保費(fèi)(writtenpremium)、承擔(dān)保費(fèi)(earnedpremium)和有效保費(fèi)(in-forcepremium)。如果上面所討論的保單是從7/1/2000開始，承保時(shí)間為12個(gè)月，那么到12/31/2000為止，這份保單的上述幾種保費(fèi)如下所示：

2000日歷年承保保費(fèi)1693.502000日歷年承擔(dān)保費(fèi)846.7512/31/2000有效保費(fèi)1693.50損失率（賠付率）損失率(lossratio)是在保險(xiǎn)損失分析中最廣泛使用統(tǒng)計(jì)量中的一個(gè)。它等于損失除以保費(fèi)。損失率可以基于純損失而不包括各種損失調(diào)整費(fèi)用，也可包括分?jǐn)偟幕蚩偟膿p失調(diào)整費(fèi)用。損失可以是已付的，已發(fā)生的，或者預(yù)測的最終損失。保費(fèi)可以是承保或承擔(dān)保費(fèi)。費(fèi)率厘定的目標(biāo)供足夠的資金去支付預(yù)期的損失和費(fèi)用，并且能給投資者產(chǎn)生一個(gè)合理的回報(bào)提供足夠的準(zhǔn)備金，以應(yīng)付突發(fā)事件和不利的偏差。費(fèi)率一般要經(jīng)過監(jiān)管機(jī)構(gòu)的審核。審核通常是基于這樣一個(gè)監(jiān)管標(biāo)準(zhǔn)，即類型和特性相似的風(fēng)險(xiǎn)，他們之間的費(fèi)率不應(yīng)該有不適當(dāng)，過分，或不公平的差別。費(fèi)率厘定系統(tǒng)費(fèi)率厘定系統(tǒng)(ratingplan)：在為某個(gè)危險(xiǎn)單位厘定費(fèi)率時(shí)，綜合所考慮的各種因素而形成的結(jié)構(gòu)。其中的各個(gè)因素通常稱為費(fèi)率因子(ratingfactor)。沒有被考慮對損失有影響的費(fèi)率因子將導(dǎo)致的兩種不同情況：當(dāng)費(fèi)率厘定系統(tǒng)沒有考慮某個(gè)含有傾向于減少損失趨勢有利特征的費(fèi)率因子，厘定的費(fèi)率太高了。如果沒有考慮某個(gè)含有不利特征的費(fèi)率因子，將導(dǎo)致使用過低的費(fèi)率。費(fèi)率因子的風(fēng)險(xiǎn)特征：主要影響索賠頻率的特征和主要影響索賠強(qiáng)度的特征。4.2費(fèi)率厘定過程費(fèi)率厘定所根據(jù)的保費(fèi)計(jì)算原理有許多。這里的方法是基于期望值原理的費(fèi)率厘定的兩個(gè)基本的方法：（1）純保費(fèi)法（2）損失率法（1）純保費(fèi)法純保費(fèi)法確定的費(fèi)率預(yù)期能夠滿足期望損失與費(fèi)用的需要，并提供預(yù)期的利潤水平。

，這里的損失L除了保險(xiǎn)公司已付和應(yīng)付給索賠人的損失外，還要加上損失調(diào)整費(fèi)用。(2)損失率法損失率法來源于純保費(fèi)法,純保費(fèi)法厘定費(fèi)率為EF剛好是在經(jīng)驗(yàn)期的總的固定費(fèi)用,記G=EF/L,它表示經(jīng)驗(yàn)期的總的固定費(fèi)用與損失之比。令R0為當(dāng)前費(fèi)率，則ER0是經(jīng)驗(yàn)期里總的承擔(dān)保費(fèi),則令：經(jīng)驗(yàn)損失率。目標(biāo)損失率：公司希望得到的目標(biāo)保費(fèi)損失損失率法由下面的公式厘定費(fèi)率：

：調(diào)整因子，經(jīng)驗(yàn)損失率/目標(biāo)損失率損失率法直接來源于純保費(fèi)法，它們只是表現(xiàn)的形式不同。損失率方法得到的公式

實(shí)際上給出了一個(gè)逐步改進(jìn)的費(fèi)率估計(jì)公式。（3）如何選擇合適的方法純保費(fèi)法損失率法基于危險(xiǎn)單位基于保費(fèi)不需要當(dāng)前費(fèi)率需要當(dāng)前費(fèi)率不需要使用當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)使用當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)得到新費(fèi)率得到新費(fèi)率關(guān)于當(dāng)前費(fèi)率的比值純保費(fèi)法是建立在每個(gè)危險(xiǎn)單位的損失基礎(chǔ)上的，它需要嚴(yán)格定義的危險(xiǎn)單位。若危險(xiǎn)單位不知道或各危險(xiǎn)單位間有差異，比如在火災(zāi)險(xiǎn)的情形，則純保費(fèi)法不適用。因?yàn)閾p失率法得到的是當(dāng)前費(fèi)率的變化，所以它需要當(dāng)前的費(fèi)率和保費(fèi)的歷史記錄。而新業(yè)務(wù)的費(fèi)率厘定，我們只能利用相關(guān)公司或相關(guān)險(xiǎn)種的損失數(shù)據(jù)，沒有歷史記錄，那么只能使用純保費(fèi)法。損失率法不適用于新業(yè)務(wù)的費(fèi)率厘定。當(dāng)然，如果沒有任何的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可用，則這兩種方法都不適用。損失率法需要的是當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)，所以在當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)難以計(jì)算時(shí)，純保費(fèi)法更為適用。在某些險(xiǎn)種中，對保單需要進(jìn)行個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)的費(fèi)率調(diào)整，此時(shí)就很難確定損失率法中需要的當(dāng)前水平承擔(dān)保費(fèi)，在這種情況下若采用純保費(fèi)法更為合適。關(guān)于歷史數(shù)據(jù)中的不同費(fèi)率調(diào)整到一個(gè)統(tǒng)一費(fèi)率的問題，下面會專門論述。注意事項(xiàng)（1）經(jīng)驗(yàn)期的選擇使用可以獲得的最近期的損失經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而同時(shí)這樣的損失經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)很可能比成熟期（指具有較多的已經(jīng)結(jié)案的保單的經(jīng)驗(yàn)期）包含了更高比例的未付損失，因此更有可能會在對損失進(jìn)行預(yù)測時(shí)帶來誤差。當(dāng)所涉及的業(yè)務(wù)會有災(zāi)害性的損失時(shí)，比如在易出現(xiàn)龍卷風(fēng)地區(qū)的風(fēng)暴險(xiǎn)項(xiàng)目，經(jīng)驗(yàn)期必須足夠長，以致于能代表災(zāi)害的平均發(fā)生率。經(jīng)驗(yàn)期必須包含足夠的損失經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)以使最后的結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)的可信性。（2）再保險(xiǎn)的影響費(fèi)率的分析要基于再保險(xiǎn)之前的保費(fèi)和損失數(shù)據(jù)。當(dāng)再保險(xiǎn)的成本很大時(shí)，再保險(xiǎn)費(fèi)經(jīng)常作為費(fèi)用準(zhǔn)備的一個(gè)獨(dú)立的部分。（3）保險(xiǎn)項(xiàng)目的差異一個(gè)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中各個(gè)主要的保險(xiǎn)項(xiàng)目應(yīng)該分別處理。不僅各項(xiàng)目的經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)要分開考察，而且保費(fèi)和危險(xiǎn)單位數(shù)據(jù)也要分離。（4）提高限額時(shí)的處理方法限額(Limit)：當(dāng)索賠發(fā)生時(shí)，保險(xiǎn)公司的賠付不超過限額。保險(xiǎn)公司的賠付為Min(X,u)，費(fèi)率為E[Min(X,u)]。在實(shí)踐中，保險(xiǎn)公司通常會對同樣的標(biāo)的提供不同的限額，供投保人選擇。最低的限額叫基本限額(BasicLimit)，其他限額叫提高限額(IncreasedLimit)。責(zé)任險(xiǎn)費(fèi)率的厘定首先確定基本責(zé)任限額的費(fèi)率，然后厘定出提高限額因子。更高的限額的費(fèi)率等于基本限額費(fèi)率乘以提高限額因子(IncreasedLimitFactor)。例如，某保險(xiǎn)公司提供兩種限額，u1和u2，u1<u2，u1稱為基本限額，而u2稱為提高限額，基本責(zé)任限額的費(fèi)率為E[Min(X,u1)]，而提高限額的費(fèi)率為E[Min(X,u2)]。若記提高限額因子為IFL，則有所以，若基礎(chǔ)限額的費(fèi)率為R1，則提高限額的費(fèi)率為R2=R1×IFL。這些提高限額因子會隨時(shí)間變化。另外，當(dāng)通貨膨脹影響購買力時(shí)，投保人一般會傾向于購買有更高限額的保險(xiǎn)產(chǎn)品。在費(fèi)率厘定過程中，應(yīng)該將不同限額下的保費(fèi)和損失調(diào)整到基本限額的基礎(chǔ)上。(5)均衡保費(fèi)均衡保費(fèi)(On-levelPremium)：根據(jù)當(dāng)前費(fèi)率水平算得的保費(fèi)稱為均衡保費(fèi)。危險(xiǎn)擴(kuò)展法（ExtensionofExposureTechnique）：如果時(shí)間和能力上允許，我們可以對每份保單都使用當(dāng)前費(fèi)率重新計(jì)算。(5)均衡保費(fèi)平行四邊形法：假定危險(xiǎn)單位在經(jīng)驗(yàn)期內(nèi)均勻分布。假設(shè)考察的損失經(jīng)驗(yàn)期包括2000年、2001年、2002年，并假定各個(gè)保單的保險(xiǎn)期限為12個(gè)月，最后設(shè)費(fèi)率增長情況如下：經(jīng)驗(yàn)期的第一年（2000）的承擔(dān)危險(xiǎn)：有1997/7/1費(fèi)率水平上承保的，有的是1999/7/1費(fèi)率水平上承保的。生效1997/7/11999/7/12001/7/1費(fèi)率增長（%）17.812.510若假設(shè)7/1/1997費(fèi)率水平相對值為1.000，則7/1/1999費(fèi)率水平相對值是1.125，7/1/2001費(fèi)率水平的相對值為1.1251.100=1.2375。圖4.2.1提供了一種平行四邊形法下的數(shù)據(jù)表示。X—軸代表保單生效日，Y—軸表示承擔(dān)危險(xiǎn)比例。圖4.2.1圖4.2.2：對2000年的承擔(dān)危險(xiǎn)進(jìn)行這種處理的結(jié)果。圖4.2.22000年中分別在1.000和1.125相對水平上承保的承擔(dān)危險(xiǎn)的比例，如圖4.2.3所示。圖4.2.3根據(jù)平行四邊形模型，2000的承擔(dān)危險(xiǎn)中的0.125（=0.5×0.5/2，即圖4.2.3中A的面積）是在1/1/1999和7/1/1999之間承保的。它們的相對費(fèi)率水平是1.000。而承擔(dān)危險(xiǎn)中的0.875(=1-0.125，即圖4.2.3中B的面積)是在1.125的相對費(fèi)率水平上承保的。2000年相對費(fèi)率的平均水平為:（0.1251.000）+（0.8751.125）=1.1094。等費(fèi)率因子（均衡保費(fèi)因子，On-levelfactor）：1.2375/1.1094=1.1155對2001年和2002年重復(fù)上述方法計(jì)算，可得如下結(jié)果：日歷年在相對水平下承擔(dān)危險(xiǎn)的比例等費(fèi)率因子1.0001.1251.237520000.1250.8750.0001.115520010.0000.8750.1251.086420020.0000.1250.8751.0115各年的等費(fèi)率因子分別乘以各日歷年的承擔(dān)保費(fèi)就可近似得到當(dāng)前等費(fèi)率承擔(dān)保費(fèi)，即均衡保費(fèi)日歷年日歷年承擔(dān)保費(fèi)當(dāng)前費(fèi)率因子均衡保費(fèi)（近似）2000$1,926,9811.1155$2,149,5472001$2,299,8651.0864$2,498,5732002$2,562,9961.0115$2,592,470合計(jì)$6,789,842$7,240,5904.3最終損失的預(yù)測及其趨勢分析4.3.1最終損失(L)的預(yù)測—損失進(jìn)展法損失進(jìn)展法：假設(shè)賠案發(fā)生之后，索賠以某種模式經(jīng)歷“未報(bào)告已報(bào)告未賠付賠付完畢”這一過程，并且這樣的模式是平穩(wěn)的,和賠案何時(shí)發(fā)生沒有關(guān)系。流量三角形：將觀測數(shù)據(jù)中的索賠次數(shù)或索賠損失都分別按事故年（或報(bào)告年，或其他原則）與事故年年齡（進(jìn)展年）排列。損失進(jìn)展的預(yù)測－流量三角形法步驟：（1）建立流量三角形；（2）計(jì)算同一個(gè)發(fā)生年的賠案相鄰年齡進(jìn)展因子；（3）選定相鄰年的進(jìn)展因子；（4）將各發(fā)生年的選定進(jìn)展因子連乘得到最終進(jìn)展因子;（5）將最終進(jìn)展因子乘以最近一個(gè)評價(jià)日記錄已發(fā)生的賠款可得到各發(fā)生年的最終索賠預(yù)測值。

（1）建立流量三角形事故年年齡(進(jìn)展年)12(0)24(1)36(2)48(3)60(4)72(5)19971,8042,1732,3742,4162,4162,41619981,9352,3792,4242,5522,55219992,1032,3842,5142,64620002,1692,5802,72220012,3462,78320022,337表4.3.1流量三角形橫向運(yùn)動：表示同一個(gè)事故年發(fā)生的賠案已報(bào)告索賠次數(shù)的進(jìn)展情況。流量三角形縱向運(yùn)動：代表同一個(gè)事故年年齡的已報(bào)告索賠次數(shù)的變化情況。由左下至右上的對角線則代表了同一個(gè)會計(jì)年度末的記錄。最下面的對角線代表最近一個(gè)會計(jì)年度末，即12/31/2002各個(gè)事故年的累積索賠次數(shù)的情況。12/31/2002各個(gè)事故年的累積索賠次數(shù)事故年年齡12243648607219972,41619982,55219992,64620002,72220012,78320022,337索賠次數(shù)流量三角形的一般形式：下表（表4.3.2）的事故年年齡以12個(gè)月，即以年為單位。Ni,j：發(fā)生在第i個(gè)事故年的賠案，事故年年齡j年底（即在第i+j–1年年底）累積已報(bào)告的索賠次數(shù)。年齡（j）事故年（i）12…k-1k1N1,1N1,2…N1,k-1N1,k2N2,1N2,2…N2,k-1k-1Nk-1,1Nk-1,2kNk,1最終損失的預(yù)測：填滿表4.3.2的右下角的空白部分令nij表示發(fā)生在第i個(gè)事故年的賠案，事故年年齡j年間（即在第i+j–1年間）已報(bào)告的索賠次數(shù)，則有假設(shè)可以分離事故年以及事故年年齡對nij的影響，存在αi和βj，使得nij的均值為：E(nij)=αiβj。假設(shè)nij~Poisson(αiβj)，則從而有：流量三角形橫向自左向右每一步增加的比例，

都僅和事故年年齡j有關(guān)，而和賠案發(fā)生在哪一年沒有關(guān)系，即與事故年i沒有關(guān)系。模式是平穩(wěn)的：流量三角形橫向自左向右增加的比例和賠案在哪一年發(fā)生沒有關(guān)系。記為相鄰年齡（j—（j+1））進(jìn)展因子：在

時(shí)，我們有如果所有的進(jìn)展因子

都被估計(jì)出來了，其估計(jì)分別為

（

），則我們?nèi)∥磥淼乃髻r次數(shù),的估計(jì)為相鄰進(jìn)展因子的估計(jì)：極大似然估計(jì)法似然函數(shù)和對數(shù)似然函數(shù)：對數(shù)似然函數(shù)對未知參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)：似然方程組：該似然方程組共有2k個(gè)方程，它們分別為求解上述方程組，得相鄰年(j—(j+1))的進(jìn)展因子的估計(jì)為*事故年年齡j+1列前k-j個(gè)數(shù)的和除以事故年年齡j+1列前k-j個(gè)數(shù)的和。（2）計(jì)算同一個(gè)發(fā)生年的賠案相鄰年齡進(jìn)展因子

接表4.3.1為例：將表4.3.1自第2列起的每一個(gè)數(shù)分別除以同一個(gè)事故年的前一個(gè)數(shù)。得到的比值稱為同一個(gè)事故年的賠案相鄰年齡進(jìn)展因子。事故年12-2424-3636-4848-6060-7219971.20451.09251.01771.00001.000019981.22951.01891.05281.000019991.13361.05451.052520001.18951.055020011.1863估計(jì)1.18751.05441.04131.00001.0000（3）預(yù)測最終損失（索賠數(shù)）的值

最終年齡的進(jìn)展因子的估計(jì)值：將相鄰年齡進(jìn)展因子的估計(jì)值連乘1-62-63-64-65-6進(jìn)展因子1.30381.09791.04131.00001.0000例如，年齡（2—6）進(jìn)展因子的估計(jì)值為1.0979=1.0544×1.0413×1×1（3）預(yù)測最終損失（索賠數(shù)）的值

最終損失（索賠）的預(yù)測值事故年事故年年齡相鄰年齡進(jìn)展因子至最終年齡進(jìn)展因子12/31/2002已報(bào)告索賠最終索賠預(yù)測值199772—1.00002,4162,4161998601.00001.00002,5522,5521999481.00001.00002,6462,6462000361.04131.04132,7222,8342001241.05441.09792,7833,0552002121.18751.30382,3373,047表4.3.34.3.2趨勢的識別新費(fèi)率將什么時(shí)候開始實(shí)施？該費(fèi)率預(yù)計(jì)將應(yīng)用多長時(shí)間？在新費(fèi)率實(shí)施之和，預(yù)計(jì)從何時(shí)開始將發(fā)生索賠？索賠經(jīng)驗(yàn)中是否存在一定趨勢？4.3.2趨勢的識別表4.3.3最終索賠次數(shù)的預(yù)測值分別表示在1997、1998，…，2002年發(fā)生的損失。各事故年的索賠頻率預(yù)測值=最終索賠次數(shù)的預(yù)測值/各年的承保危險(xiǎn)索賠強(qiáng)度=損失/最終索賠次數(shù)的預(yù)測值如果這些預(yù)測值具有隨時(shí)間（事故年）發(fā)展的趨勢，那么根據(jù)此潛在的趨勢可以預(yù)測未來事故年的損失?！兄谛沦M(fèi)率的厘定。4.3.2趨勢的識別分析基于2000事故年的損失數(shù)據(jù)新的費(fèi)率在1/7/2003開始使用，假定新費(fèi)率有效期為12個(gè)月（1/7/2003——6/30/2004），并且假定保險(xiǎn)期限為一年。新費(fèi)率保單的平均有效期從1/1/2004（1/7/2003承保的保單）到12/31/2004（31/6/2004承保的保單）。則新費(fèi)率保單損失發(fā)生的中點(diǎn)是1/7/2004?；?000事故年數(shù)據(jù)預(yù)測的最終損失僅代表了大約到1/7/2000（事故年中點(diǎn)）為止的損失，而根據(jù)新費(fèi)率收的保費(fèi)必須覆蓋大約到1/7/2004為止的損失。如果損失數(shù)據(jù)有可識別的趨勢，則那些趨勢的影響一定會在從1/7/2000到1/7/2004的48個(gè)月中被反映出來。4.3.2趨勢的識別1/1/200031/12/20001/7/2003新費(fèi)率生效30/6/2004經(jīng)驗(yàn)期31/6/20051/1/200412/31/2004經(jīng)驗(yàn)期計(jì)算日期新費(fèi)率生效日期期望有效期4.3.2趨勢的識別4.3.2趨勢的識別索賠強(qiáng)度的趨勢變化顯著影響費(fèi)率厘定：索賠強(qiáng)度會隨時(shí)間而增加（通貨膨脹、訴訟費(fèi)的增加以及醫(yī)療費(fèi)用的上漲等）。索賠頻率也會具有某種趨勢。索賠頻率和索賠強(qiáng)度的趨勢常是分開分析的，但有時(shí)也寧可考察純保費(fèi)的變化趨勢,即將索賠頻率與索賠強(qiáng)度的影響結(jié)合起來考慮。例：考察下面事故年索賠強(qiáng)度的預(yù)測數(shù)據(jù)：

事故年19951996199719981999200020012002預(yù)測的索賠強(qiáng)度（元）3095327639961225144416471828其中x＝發(fā)生年－1994用下面曲線去擬合4.3.2趨勢的識別延長x軸發(fā)現(xiàn)，盡管此三次多項(xiàng)式對觀察數(shù)據(jù)擬合得非常好，但它并不是預(yù)測索賠強(qiáng)度趨勢變化的合理的模型。4.3.2趨勢的識別常用的兩種模型：線性模型：指數(shù)模型：由于指數(shù)模型能表示成：故作變換

和

，從而得：幾點(diǎn)注意索賠頻率和索賠強(qiáng)度的趨勢常是分開分析。模型的選擇對線性模型來說，x每增加一個(gè)單位，預(yù)測值y將增加一個(gè)常量a。對指數(shù)模型來說，x每增加一個(gè)單位，預(yù)測值y將增加一個(gè)常數(shù)倍，預(yù)測值是它前面的一個(gè)預(yù)測值的ea－1倍。我們所預(yù)測的趨勢化的最終索賠強(qiáng)度就是損失率法和純保費(fèi)法中經(jīng)驗(yàn)損失。例：假設(shè)已知發(fā)生年1994－1999年的最終賠款損失、最終索賠數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)，如表3。假設(shè)新修訂的保單費(fèi)率將從2000年1月1日開始施行。請用趨勢預(yù)測事故平均發(fā)生日期為2001年7月1日的最終賠款損失。發(fā)生年最終賠款損失最終索賠數(shù)承保風(fēng)險(xiǎn)單位19943,928,8052,41637,84619954,425,5402,55239,77119965,081,6682,64642,13519975,790,0942,84445,23119986,760,2073,06848,58319997,288,3513,06652,267首先我們對索賠強(qiáng)度進(jìn)行趨勢預(yù)測。采用一元線性回歸方程，

x＝發(fā)生年－1993進(jìn)行擬合，應(yīng)用最小二乘法得到

a＝1455.13，b＝150.77，

從而得到各發(fā)生年的索賠強(qiáng)度的線性擬合值如下。發(fā)生年索賠強(qiáng)度索賠強(qiáng)度的線性擬合值19941,6261,605.9019951,7341,756.6819961,9211,907.4519972,0362,058.2219982,2032,208.9919992,3772,359.76表4對此回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的值829.26，大于1％的顯著水平，說明方程整體顯著。再將1999年的擬合值2359.91除以1998年的擬合值2209.1得到索賠強(qiáng)度的趨勢因子為1.0683。

類似的，使用模型，x＝發(fā)生年－1993對索賠頻率進(jìn)行擬合得到索賠頻率的趨勢因子等于0.0605÷0.0613＝0.9869.將索賠強(qiáng)度和索賠頻率的趨勢因子相乘就得到相鄰發(fā)生年的最終損失的趨勢因子，表5給出了2001年最終損失的趨勢化預(yù)測值。

發(fā)生年最終損失（元）平均事故日期索賠強(qiáng)度趨勢因子索賠頻率趨勢因子2001年的趨勢化最終損失（元）19975,790,0947/1/971.30250.94797,148,68019986,760,2077/1/981.21920.96067,917,30819997,288,3517/1/991.14130.97358,097,763例如，如果用1997年的最終損失預(yù)測得到2001年趨勢化最終損失等于最后將1997、1998、1999年計(jì)算得到的預(yù)測值取平均即得2001年的趨勢化最終損失的預(yù)測值。

4.4費(fèi)用分析假設(shè)在過去一年里，某個(gè)險(xiǎn)種的收入和支出的費(fèi)用如下——損失率法承保保費(fèi)11,540,000承擔(dān)保費(fèi)10,832,000已發(fā)生損失和分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用7,538,000非分?jǐn)倱p失調(diào)整費(fèi)用484,000傭金1,731,000稅收、執(zhí)照及其他費(fèi)用260,000其他承保費(fèi)用(展業(yè)費(fèi)用)646,000一般管理費(fèi)用737,000總的損失和費(fèi)用11,396,000當(dāng)前正在使用的費(fèi)率是否合適？目標(biāo)損失率：T=(1-V-Q)/(1+G)V：與保費(fèi)相關(guān)的費(fèi)用因子V的計(jì)算方法：

傭金與承保保費(fèi)的比1731/11540=0.1500

稅收、執(zhí)照費(fèi)用與承保保費(fèi)的比260/11540=0.0225

其他承保費(fèi)用與承保保費(fèi)的之比646/11540=0.0560

一般管理費(fèi)用承擔(dān)保費(fèi)的之比737/10832=0.0680

與保費(fèi)有關(guān)的費(fèi)用因子合計(jì)V=0.2965G：與保費(fèi)無關(guān)的費(fèi)用與損失之比G=484/7538=0.0624Q：利潤因子,利潤因子為0目標(biāo)損失率為：4.5利潤與安全附加保險(xiǎn)利潤的來源：保險(xiǎn)利潤來源于承保利潤和投資利潤。費(fèi)率中的利潤分析：宏觀環(huán)境的變化，保險(xiǎn)公司比以往更加重視從財(cái)務(wù)分析其經(jīng)營決策，從而下調(diào)了傳統(tǒng)的5%的利潤因子。風(fēng)險(xiǎn)因素:利潤因子中的一部分是用來為不利偏差做準(zhǔn)備的，稱為風(fēng)險(xiǎn)附加。在費(fèi)率厘定的過程中有兩個(gè)不同類型的風(fēng)險(xiǎn)，被稱為參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)和過程風(fēng)險(xiǎn)。他們都可能產(chǎn)生不利偏差。參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)是與參數(shù)的選擇相聯(lián)系的風(fēng)險(xiǎn),這些參數(shù)用來構(gòu)成費(fèi)率厘定過程中使用的模型。過程風(fēng)險(xiǎn)是與對未來的隨機(jī)事件，例如損失的預(yù)測相聯(lián)系的風(fēng)險(xiǎn)。過程風(fēng)險(xiǎn)是客觀存在著的。保費(fèi)計(jì)算原理期望值原理方差原理

標(biāo)準(zhǔn)差原理

零效用原理R為保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金P為承保隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)S所要求的保費(fèi)。U(.)為保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)4.6分類費(fèi)率在為某個(gè)危險(xiǎn)單位厘定費(fèi)率時(shí)，我們必須考慮各種因素，甚至考慮該危險(xiǎn)單位所在的區(qū)域位置。不同水平的因素和不同的地域位置，通常有不同的費(fèi)率水平，這種情況稱為費(fèi)率分類。本節(jié)將說明費(fèi)率中的兩個(gè)基本問題，基礎(chǔ)費(fèi)率問題和其它類別的費(fèi)率關(guān)于基礎(chǔ)費(fèi)率的相對程度的度量問題。4.6分類費(fèi)率費(fèi)率因子(ratingfactor)：對個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分類的特征。如汽車保險(xiǎn)中被保險(xiǎn)人的性別、年齡、駕齡和索賠經(jīng)驗(yàn)等。風(fēng)險(xiǎn)因子(riskfactor)：對索賠頻率或索賠強(qiáng)度有直接影響，但有時(shí)不易度量，通常用費(fèi)率因子代替。如交通密度，可用保單持有人的地址或汽車的用途來代替。在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)體系中，各個(gè)類別的費(fèi)率通常被表示為相對關(guān)系的形式，包括相加關(guān)系（假設(shè)基礎(chǔ)類別費(fèi)率為0）和相乘關(guān)系（假設(shè)基礎(chǔ)類別費(fèi)率為1）。4.6分類費(fèi)率假設(shè)只有兩個(gè)費(fèi)率因子（AandB)，其中A有I個(gè)水平Ai(i=1,….,I),其對應(yīng)的相對費(fèi)率為；費(fèi)率因子B有J個(gè)水平Bj(j=1,….,J)，其對應(yīng)的相對費(fèi)率分別表示為。對于風(fēng)險(xiǎn)類別，用表示該類別的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)，用表示每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的損失，用表示每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的純保費(fèi)（期望損失），則乘法模型：加法模型：估計(jì)上述參數(shù)的方法：單項(xiàng)分類法、迭代法、廣義線性模型。4.6.1單項(xiàng)分析法單項(xiàng)分析法(one-wayanalysis)：每次僅計(jì)算一個(gè)分類變量的不同水平所對應(yīng)的相對費(fèi)率。假設(shè)一組汽車保單根據(jù)車型和地區(qū)兩個(gè)變量進(jìn)行分類，每個(gè)類別的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)和賠付率如表6-1。車型1車型2合計(jì)風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)賠付率風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)賠付率風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)賠付率地區(qū)A200040%800080%1000072%地區(qū)B800040%200080%1000048%合計(jì)1000040%1000080%2000060%表6-1應(yīng)用單項(xiàng)分類法計(jì)算的相對費(fèi)率分析：地區(qū)相對賠付率，以地區(qū)A為基礎(chǔ)費(fèi)率，則地區(qū)B的相對賠付率。車型相對賠付率，以車型1為基礎(chǔ)費(fèi)率，則車型2的相對賠付率為。車型1車型2地區(qū)A12地區(qū)B0.66671.3334表6-2單項(xiàng)分類法的應(yīng)用1、賠付率法例1：假設(shè)汽車保險(xiǎn)中使用兩個(gè)分類變量，即車型和地區(qū)，其中車型分為A,B和C三個(gè)水平，地區(qū)分為甲和乙兩個(gè)水平。根據(jù)車型進(jìn)行分析：可獲得數(shù)據(jù)為過去兩年的已賺保費(fèi)和最終賠款。有關(guān)數(shù)據(jù)見表6-3.車型A車型B車型C合計(jì)或平均（1）第一年的已賺保費(fèi)750002500015000115000（2）第一年的費(fèi)率1008060（3）第二年的已賺保費(fèi)850002600024000135000（4）第二年的費(fèi)率1209070（5）當(dāng)前業(yè)務(wù)的已賺保費(fèi)880002900027000144000（6）當(dāng)前的費(fèi)率1309080（7）當(dāng)前費(fèi)率水平下前兩年的已賺保費(fèi)（=（1）*（6）/（2）+（3）*(6)/(4))1895835412547428.57291136.9表6-3車型的相對費(fèi)率單項(xiàng)分類法的應(yīng)用（1）對過去兩年的已賺保費(fèi)按當(dāng)前費(fèi)率水平進(jìn)行調(diào)整，計(jì)算當(dāng)前費(fèi)率水平下的已賺保費(fèi)（表6-3的（7））和經(jīng)驗(yàn)賠付率（表6-3的（10））（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)賠付率計(jì)算初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)，等于各車型的經(jīng)驗(yàn)賠付率除以所有車型平均的經(jīng)驗(yàn)賠付率。（3）計(jì)算經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度（平方根原則計(jì)算，表6-3的（12）），并應(yīng)用可信度對上述的調(diào)整系數(shù)進(jìn)行修正（表6-3的（13）），例:對于車型B，初步調(diào)整系數(shù)表面費(fèi)率應(yīng)提高2.93%，但可信度為0.2171，因此經(jīng)可信度修正后的提高幅度為0.2171*0.0293=0.64%，即可信度調(diào)整系數(shù)應(yīng)為1.0064.單項(xiàng)分類法的應(yīng)用（4）對可信調(diào)整系數(shù)進(jìn)行平衡處理，以保證當(dāng)前費(fèi)率總水平保持不變（表6-3的（15）行）。（5）用平衡處理以后的可信調(diào)整系數(shù)乘以當(dāng)前的相對費(fèi)率（（16）行），再把車型A的相對費(fèi)率調(diào)整為1，即可得到新的相對費(fèi)率（（18）行）。同理，可以根據(jù)地區(qū)對該例進(jìn)行分析，參加表6-4.經(jīng)過調(diào)整后，各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)類別的相對費(fèi)率為表6-5：獲得調(diào)整以后的相對費(fèi)率后，即可計(jì)算各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)類別的實(shí)際費(fèi)率。例：如需將總平均保費(fèi)水平上調(diào)5%，首先應(yīng)用調(diào)整后的相對費(fèi)率（表6-3，6-4中第（17）行）把基礎(chǔ)類別的費(fèi)率從當(dāng)前的130調(diào)整為130*0.9984*1.038=134.7241，然后再上調(diào)5%為：134.7241*1.05=141.4603.其它類別的新費(fèi)率可根據(jù)表6-5得到，如車型A在乙地區(qū)的費(fèi)率為141.4603*1.0093=142.7759.單項(xiàng)分類法的應(yīng)用車型A車型B車型C地區(qū)甲10.6980833050.615009585地區(qū)乙1.0093410550.704604140.620754424表6-5單項(xiàng)分類法的應(yīng)用賠付率的應(yīng)用步驟：預(yù)測經(jīng)驗(yàn)期的最終賠款，并計(jì)算經(jīng)驗(yàn)期在當(dāng)前費(fèi)率水平下的已賺保費(fèi)。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)賠付率，等于最終賠款與當(dāng)前費(fèi)率水平下的已賺保費(fèi)之比。計(jì)算初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)，等于各類別的經(jīng)驗(yàn)賠付率除以總水平的經(jīng)驗(yàn)賠付率。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度。用可信度對初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)進(jìn)行修正。進(jìn)行平衡處理，得到平衡后的調(diào)整系數(shù)。用平衡后的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)對當(dāng)前的相對費(fèi)率進(jìn)行調(diào)整，得到新的相對費(fèi)率。如果需要調(diào)整保費(fèi)的總體水平，則只需要調(diào)整基礎(chǔ)類別的費(fèi)率水平即可。單項(xiàng)分類法的應(yīng)用2、純保費(fèi)法賠付率法基于最終賠款與已賺保費(fèi)之比計(jì)算相對費(fèi)率，而純保費(fèi)法基于最終賠款與風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)之比計(jì)算相對率?；撅L(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)：保險(xiǎn)公司承保的自然風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)（如車年數(shù)）乘以每個(gè)分類變量的相對費(fèi)率?！龢I(yè)務(wù)構(gòu)成的影響，從而為純保費(fèi)在同一個(gè)數(shù)量級上進(jìn)行比較創(chuàng)造條件。賠付率法中，初步的調(diào)整系數(shù)是根據(jù)賠付率的相對大小確定的；純保費(fèi)法中，初步的調(diào)整系數(shù)是根據(jù)純保費(fèi)的相對大小確定的，純保費(fèi)是最終賠款與基本風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)的比率。單項(xiàng)分類法的應(yīng)用表6-7和表6-8是用純保費(fèi)法對車型和地區(qū)的相對費(fèi)率進(jìn)行調(diào)整的結(jié)果。在純保費(fèi)法中，如果用第一次迭代求得的相對費(fèi)率代替當(dāng)前的相對費(fèi)率，并重新計(jì)算基本風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)，則可獲得有一個(gè)新的相對費(fèi)率。不斷重復(fù)上述過程，最終可得一個(gè)收斂的相對費(fèi)率，與第一次迭代獲得的結(jié)果相比這個(gè)相對費(fèi)率將是一個(gè)更加精確的結(jié)果。如此不斷交叉進(jìn)行，初步的調(diào)整系數(shù)、可信調(diào)整系數(shù)和平衡后的可信調(diào)整系數(shù)都將接近于1——調(diào)整后的相對費(fèi)率最終將收斂于一個(gè)確定值。單項(xiàng)分類法的應(yīng)用純保費(fèi)法的應(yīng)用過程：預(yù)測經(jīng)驗(yàn)期的最終賠款，并計(jì)算經(jīng)驗(yàn)期的基本風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)純保費(fèi)，等于最終賠款與基本風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)之比。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可信度用可信度對初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)進(jìn)行修正，得到可信調(diào)整系數(shù)用可信度對初步的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)進(jìn)行修正，得到可信調(diào)整系數(shù)。進(jìn)行平衡處理，得到平衡后的調(diào)整系數(shù)。用平衡后的費(fèi)率調(diào)整系數(shù)對當(dāng)前的相對費(fèi)率進(jìn)行調(diào)整，得到新的相對費(fèi)率。如果需要調(diào)整保費(fèi)的總體水平，則只需要調(diào)整基礎(chǔ)類別的費(fèi)率水平即可。4.6.2迭代法各個(gè)類別間的相對關(guān)系：相乘關(guān)系、相加關(guān)系相乘關(guān)系：假設(shè)一個(gè)基礎(chǔ)類別的費(fèi)率為1，其他類別的費(fèi)率是基礎(chǔ)類別的若干倍?！朔Ｐ拖嗉雨P(guān)系：假設(shè)一個(gè)基礎(chǔ)類別的費(fèi)率為0，其他類別的費(fèi)率在此基礎(chǔ)上增加一定數(shù)量?！臃Ｐ头诸愘M(fèi)率（相對費(fèi)率）可以使得費(fèi)率的表現(xiàn)形式更加簡潔。如汽車保險(xiǎn)的被保險(xiǎn)人可以根據(jù)地區(qū)（10個(gè)水平）和車型（10個(gè)）分成100類，如果給每個(gè)類別厘定保費(fèi)需要制定100各不同的費(fèi)率，但通過基礎(chǔ)費(fèi)率和相對費(fèi)率的形式，只需要確定一個(gè)基礎(chǔ)費(fèi)率和20各相對費(fèi)率即可（2各費(fèi)率因子，每個(gè)因子有10個(gè)水平，給每個(gè)水平確定一個(gè)相對費(fèi)率），從而大大簡化了費(fèi)率的表現(xiàn)形式。4.6.2迭代法假設(shè)只有兩個(gè)費(fèi)率因子（分別用A和B表示)，其中費(fèi)率因子A有I個(gè)水平Ai(i=1,2,.......,I)，其對應(yīng)的相對費(fèi)率分布表示為

；費(fèi)率因子B有I個(gè)水平Bj(j=1,2,.......,J)，其對應(yīng)的相對費(fèi)率分布表示為

。

：風(fēng)險(xiǎn)類別

的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)。

：每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的損失。

：每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的純保費(fèi)。乘法模型：加法模型：Majorissue：估計(jì)模型中的參數(shù)。4.6.2迭代法迭代法(iterationmethod)：最早由RobertBailey和LeRoySimon于1960年提出，當(dāng)時(shí)被稱作最小偏差法(minimumbiasmethod)，用于同時(shí)確定兩個(gè)或兩個(gè)以上分類變量的相對費(fèi)率。這種方法后來有了各種變形和發(fā)展，形成了一類特定的分類費(fèi)率厘定方法。這類方法的一個(gè)共同特點(diǎn)是通過迭代公式求解相對費(fèi)率。確定迭代公式：平衡法（邊際總和法）、最小二乘法、最小χ2法和極大似然法。4.6.2迭代法（1）邊際總和法(marginaltotalmethod)：根據(jù)保費(fèi)和賠款的邊際總和相等的原則厘定相對費(fèi)率的方法。也稱為平衡法(balanceprinciplemethod)。

：各個(gè)類別的經(jīng)驗(yàn)賠款各個(gè)類別的經(jīng)驗(yàn)保費(fèi)：各個(gè)類別的純保費(fèi)（期望賠款）：4.6.2迭代法（1）邊際總和法(marginaltotalmethod)：（1）（2）由迭代公式（1）（2）估計(jì)參數(shù)的過程：令一個(gè)分類變量的初始值為1，如，并將其帶入（2）求解。把得到的代入（1），可以求得一組新的。重復(fù)前面兩步，如此不斷循環(huán)直到收斂，便可得到參數(shù)的估計(jì)。（2）

最小χ2法最小χ2法在下述目標(biāo)函數(shù)最小化的條件下估計(jì)相對費(fèi)率：上述目標(biāo)函數(shù)與χ2

統(tǒng)計(jì)量具有完全相同的形式。上式關(guān)于參數(shù)分別求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，即得：（3）

最小二乘法最小二乘法在下述目標(biāo)函數(shù)最小化的條件下估計(jì)相對費(fèi)率：使上述目標(biāo)函數(shù)得到最小的參數(shù)估計(jì)為：（4）

極大似然法極大似然法的參數(shù)估計(jì)取決于具體的分布假設(shè)，因此沒有一般形式的迭代公式。假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)類別（i,j）的損失服從指數(shù)分布，均值為似然函數(shù)：求解得：4.6.3廣義線性模型單項(xiàng)法：會產(chǎn)生較大偏差，且缺乏統(tǒng)計(jì)理論的支持。最小偏差法：比單項(xiàng)法有了很大進(jìn)步，但仍然不能提供一個(gè)完整的統(tǒng)計(jì)分析框架。20世紀(jì)末開始，廣義線性模型在分類費(fèi)率厘定中的應(yīng)用得到了迅速發(fā)展，在某些國家已經(jīng)成為厘定分類費(fèi)率的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，尤其是在個(gè)人保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中，廣義線性模型得到了精算師的廣泛認(rèn)可和接受。4.6.3廣義線性模型（1）古典線性回歸模型

：表示為其均值和一個(gè)隨機(jī)變量之和，即古典線性回歸模型的假設(shè)：4.6.3廣義線性模型（1）古典線性回歸模型假設(shè)汽車保險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)分類系統(tǒng)包括兩個(gè)變量：行駛區(qū)域和駕駛員性別。行駛區(qū)域取值為城市和鄉(xiāng)村兩個(gè)水平，駕駛員性別的取值為男和女兩個(gè)水平。假設(shè)實(shí)際觀察到的索賠次數(shù)如表4-21所示。城市鄉(xiāng)村男40002500女20001000表4-21索賠次數(shù)的觀察值4.6.3廣義線性模型四個(gè)解釋變量：男性、女性、城市、鄉(xiāng)村，取值為1或0.古典線性回歸模型：該模型存在線性關(guān)系：因此，可以刪除一個(gè)變量，改寫為：4.6.3廣義線性模型將表4-21中的觀測數(shù)據(jù)帶入模型得：最小二乘法可得：索賠次數(shù)的擬合值：表4-22城市鄉(xiāng)村男38752625女2125875（1）古典線性回歸模型是建立在下列假設(shè)之上：因變量的每個(gè)觀測值相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布解釋變量的一個(gè)線性組合可以估計(jì)因變量的期望值精算應(yīng)用中，上述假設(shè)很難得到滿足：要求因變量服從正態(tài)分布且具有相同方差在很多情況下是不現(xiàn)實(shí)的.在保險(xiǎn)實(shí)際中，因變量的取值通常是非負(fù)的。如果因變量是嚴(yán)格非負(fù)的，那么從直觀上看，當(dāng)因變量的均值趨于零時(shí)，其方差也應(yīng)該趨于零。（因變量是均值的函數(shù)）古典線性模型中，假設(shè)解釋變量通過加法關(guān)系對因變量產(chǎn)生影響，但在某些情況下，解釋變量之間可能存在乘法關(guān)系。4.6.3廣義線性模型（2）廣義線性模型(Generalizedlinearmodels,GLM)簡介GLM假設(shè)因變量來自指數(shù)分布族，其方差隨著均值而變化，解釋變量通過線性相加關(guān)系對因變量的期望值的某種變換產(chǎn)生影響。GLM的假設(shè)可以歸納如下：隨機(jī)成分，即因變量或誤差項(xiàng)的概率分布屬于指數(shù)分布族。系統(tǒng)成分，即解釋變量的線性組合表示為聯(lián)結(jié)函數(shù)：

或4.6.3廣義線性模型指數(shù)分布族：其概率密度函數(shù)可以表示為

為已知函數(shù)，且

大于零，且為聯(lián)系函數(shù)，通常的形式為。

的二階導(dǎo)數(shù)存在且大于零，且。

與參數(shù)無關(guān)。

：自然參數(shù)(naturalparameter)，與均值有關(guān)；

：離散參數(shù)(dispersionparameter)，與方差有關(guān)，其方差為常見的指數(shù)分布族：正態(tài)分布、泊松分布、二項(xiàng)分布、伽馬分布、逆高斯分布。常見的聯(lián)結(jié)函數(shù)：恒等：對數(shù)：倒數(shù)：Logit：非壽險(xiǎn)精算中，常用的聯(lián)結(jié)函數(shù)是對數(shù)函數(shù)、Logit函數(shù)和倒數(shù)函數(shù)。對數(shù)函數(shù)：

即認(rèn)為解釋變量對因變量的影響不是簡單的線性相加關(guān)系，而是相乘關(guān)系。Logit函數(shù)：因變量的預(yù)測值落在0~1之間，適合續(xù)保率或新單簽約率的擬合。倒數(shù)函數(shù)可以表示成一種比例關(guān)系：保險(xiǎn)費(fèi)通常表示為每年多少元，因此其倒數(shù)的含義就是美元的保險(xiǎn)費(fèi)可以承保多長時(shí)間。4.6.3廣義線性模型（3）典型廣義線性模型廣義線性模型的應(yīng)用中，可以根據(jù)保險(xiǎn)數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息選擇誤差項(xiàng)的分布類型。如：如果因變量的方差為常數(shù)，可以選擇正態(tài)分布；如果因變量的方差等于其均值，可以選擇泊松分布；如果因變量的方差等于其均值的平方，可以選擇伽馬分布；如果因變量的方差等于其均值的三次方，可以選擇逆高斯分布。4.6.3廣義線性模型非壽險(xiǎn)費(fèi)率厘定中，通常需要估計(jì)索賠次數(shù)、索賠頻率、索賠強(qiáng)度和續(xù)保率等，根據(jù)這些數(shù)據(jù)的特征，各類典型的廣義線性模型分別是：估計(jì)索賠次數(shù)或索賠頻率時(shí)，典型的廣義線性模型是泊松乘法模型，即使用對數(shù)聯(lián)結(jié)函數(shù)和泊松分布的誤差項(xiàng)。估計(jì)索賠強(qiáng)度時(shí)，典型的廣義線性模型是伽馬乘法模型，即使用對數(shù)聯(lián)結(jié)函數(shù)和伽馬分布的誤差項(xiàng)。估計(jì)續(xù)保費(fèi)率和新業(yè)務(wù)轉(zhuǎn)換率時(shí)，典型的廣義線性模型是Logistic模型，即采用Logit聯(lián)結(jié)函數(shù)和二項(xiàng)分布的誤差項(xiàng)。例：假設(shè)汽車保險(xiǎn)的索賠次數(shù)觀測值如下表，下面用廣義線性模型擬合各個(gè)類別的期望索賠次數(shù)。城市鄉(xiāng)村男40002500女20001000本例中，給類別的索賠次數(shù)觀測值可以表示為：本例有四個(gè)解釋變量，與前述的古典線性回歸模型一樣，去掉一個(gè)參數(shù)，則各個(gè)類別的期望索賠次數(shù)為：本例的設(shè)計(jì)矩陣為：選用對數(shù)聯(lián)結(jié)函數(shù)，則各個(gè)類別的期望索賠次數(shù)（泊松分布參數(shù)）為：參數(shù)為泊松隨機(jī)變量發(fā)生次索賠的概率為：對數(shù)似然函數(shù)為：將各均值代入上式可得本例的似然函數(shù)，最大化似然函數(shù)便可得到本例的參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)值：索賠次數(shù)的擬合值為：城市鄉(xiāng)村男4105.22394.7女1894.71105.2混合泊松回歸與索賠頻率預(yù)測非負(fù)離散非常數(shù)方差方差>均值：過離散（over-dispersion）大量保單沒有索賠發(fā)生：零膨脹（zero-inflation）分層（組內(nèi)相關(guān)）索賠頻率數(shù)據(jù)的特點(diǎn)索賠頻率預(yù)測模型傳統(tǒng)的線性回歸模型最小偏差模型（minimumbiasprocedure)廣義線性模型及其推廣泊松回歸模型過離散回歸模型零膨脹回歸模型分層（多層）回歸模型傳統(tǒng)線性回歸模型的問題：正態(tài)，同方差。索賠頻率：非負(fù)，離散，均值越大，方差越大。最小偏差模型的問題：統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)廣義線性模型：解決上述問題泊松分布：方差等于均值實(shí)際索賠次數(shù)：方差大于均值（過離散）風(fēng)險(xiǎn)防范意識增強(qiáng)，大多數(shù)保單不會發(fā)生事故；應(yīng)用了免賠額或無賠款折扣等條款，許多被保險(xiǎn)人在發(fā)生輕微事故時(shí)不會提出索賠；個(gè)別被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)太大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于總體平均水平。問題：低估標(biāo)準(zhǔn)誤，高估顯著性水平，保留多余的解釋變量，最終導(dǎo)致不合理的費(fèi)率厘定結(jié)果泊松回歸模型假設(shè)泊松分布的概率函數(shù)為結(jié)構(gòu)函數(shù)為混合泊松分布的概率函數(shù)可以表示為混合泊松回歸:假設(shè)Yi服從混合泊松分布過離散：混合泊松回歸模型結(jié)構(gòu)函數(shù)與混合泊松分布：伽瑪結(jié)構(gòu)——負(fù)二項(xiàng)分布逆高斯結(jié)構(gòu)——泊松-逆高斯分布對數(shù)正態(tài)結(jié)構(gòu)——泊松-對數(shù)正態(tài)分布。廣義泊松分布：結(jié)構(gòu)函數(shù)沒有顯式表達(dá)（JoeandZhu,2005）。結(jié)構(gòu)函數(shù)的尾部越厚，混合泊松分布的尾部將會越長：泊松-對數(shù)正態(tài)

》泊松-逆高斯》負(fù)二項(xiàng)雙泊松分布：方差可以大于均值。負(fù)二項(xiàng)回歸模型:索賠頻率預(yù)測模型的比較泊松-逆高斯回歸模型：泊松-對數(shù)正態(tài)回歸模型：廣義泊松回歸模型：雙泊松回歸模型：

當(dāng)q

在區(qū)間（0，1）之間變化時(shí)，q越小，雙泊松的過離散程度越嚴(yán)重。當(dāng)q

1時(shí)，雙泊松分布退化為泊松分布。實(shí)際應(yīng)用序號費(fèi)率因子因子水平1保單類型（Coveragetype）綜合險(xiǎn)（Comprehensive）非綜合險(xiǎn)(Non-comprehensive)2駕駛員性別（Driver'sgender）男性（Male）女性（Female）3車輛用途（Vehicleuse）個(gè)人（Private）商業(yè)（Business）4車輛品牌和年限（VehiclemakeandVehicleyear）國產(chǎn)，0-1年（Local，0-1year）國產(chǎn)，2-3年（Local，2-3year）國產(chǎn)，4-5年（Local，4-5year）國產(chǎn)，6年以上（Local，6+year）進(jìn)口，0-1年（Foreign，0-1year）進(jìn)口，2-3年（Foreign，2-3year）進(jìn)口，4-5年（Foreign，4-5year）進(jìn)口，6年以上（Foreign，6+year）5行駛區(qū)域（Location）其他地區(qū)（Otherplace）北部（North）東部（East）東馬來西亞（EastMalaysia）

費(fèi)率因子及其水平

回歸模型的參數(shù)估計(jì)值

參數(shù)因子水平泊松回歸負(fù)二項(xiàng)回歸泊松