第9章-常微分方程初值問題解法

1第9章常微分方程初值問題數(shù)值解法9.1引言2本章研究的問題:39.1歐拉方法及改進(jìn)的歐拉法9.1.1歐拉公式圖7.1歐拉折線法41歐拉公式(2)(3)562歐拉公式的截?cái)嗾`差(4)73單步法的局部截?cái)嗾`差與階局部截?cái)嗾`差可以理解為計(jì)算一步的誤差.8則稱該方法具有P階精度.94后退的歐拉方法(5)10(6)(6)式稱為后退的歐拉方法,它是隱式的,歐拉公式(2)是顯式的,11(7)1213后退的歐拉方法的局部截?cái)嗾`差:145梯形方法(8)式稱為梯形方法.(8)15梯形方法的局部截?cái)嗾`差:166.改進(jìn)歐拉法及局部截?cái)嗾`差預(yù)測步校正步或者寫成（1）改進(jìn)的歐拉公式:17（2）改進(jìn)的歐拉方法的局部截?cái)嗾`差18考慮改進(jìn)Euler法如果將其改成----------(1)9.2Runge-Kutta法19改進(jìn)Euler法是由梯形公式和Euler公式復(fù)合而成梯形公式具有2階精度(1)式為一種二階Runge-Kutta法同樣可以證明,改進(jìn)Euler法也具有2階精度。20Runge-Kutta方法的推導(dǎo)21Runge-Kutta方法的一般形式：確定了階數(shù)之后，再通過Taylor展開、比較兩邊系數(shù)的方法，確定各待定系數(shù)：22二階顯式Runge-Kutta方法23242526例27結(jié)果及比較28三階顯式Runge-Kutta方法在推導(dǎo)二階顯式方法的過程中，注意到局部截?cái)嗾`差表達(dá)式中h3項(xiàng)包含了以下表達(dá)式：因此若要在局部截?cái)嗾`差中消去h3項(xiàng)，必須增加包含了以上各項(xiàng)的多個方程，同時(shí)我們注意到r=2時(shí)，只有等四個待定系數(shù)，少于方程的數(shù)目，所以這樣的系數(shù)不存在。故：

r=2時(shí)Runge-Kutta方法只能是二階的。要得到三階的方法，則必須有r=3。29三階顯式Runge-Kutta方法30四階顯式Runge-Kutta方法31x四階二階真解四階誤差二階誤差0.01.0000001.0000001.0000000.00000.0000000.11.1048291.1024501.1048291.60E-72.38E-30.21.2185971.2115071.2185973.40E-77.09E-30.31.3401411.3257661.3401415.48E-71.44E-20.41.4681751.4436711.4681757.69E-72.45E-20.51.6012781.5635061.6012799.95E-73.78E-20.61.7378801.6833741.7378811.20E-65.45E-20.71.8762461.8011791.8762471.42E-67.51E-20.82.0144571.9146032.0144591.68E-69.99E-20.92.1503952.0210862.1503971.96E-61.29E-11.02.2817162.1178002.2817182.32E-61.64E-1例32結(jié)果及比較33關(guān)于Runge-Kutta方法34提高Runge-Kutta方法的精度的方法提高精度最簡單的方法是縮短步長，但要以犧牲計(jì)算速度和積累舍入誤差為代價(jià)。35變步長的R