第一章 數(shù)值計(jì)算方法 緒論

中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院制作:劉新海數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)NumericalCalculationAndExperiment教材

(TextBook)

數(shù)值計(jì)算方法（第二版）

李維國(guó)、同登科主編

（中國(guó)石油大學(xué)出版社，2009年）參考書目

(Reference)

數(shù)值計(jì)算方法(上、下冊(cè))

林成森編著（科學(xué)出版社1998年）

Principleof

NumericalAnalysis

數(shù)值分析原理封建湖、車剛明、聶玉峰編著（科學(xué)出版社，2001年）

提問：數(shù)值計(jì)算方法是做什么用的？研究對(duì)象：數(shù)值問題——有限個(gè)輸入數(shù)據(jù)（問題的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個(gè)輸出數(shù)據(jù)（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)明確無歧義的描述。如一階微分方程初值問題求函數(shù)解析表達(dá)式數(shù)學(xué)問題求函數(shù)在某些點(diǎn)的近似函數(shù)值數(shù)值問題程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算設(shè)計(jì)高效、可靠的數(shù)值方法數(shù)值問題求解近似結(jié)果輸出重點(diǎn)討論數(shù)值問題的來源：實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值問題數(shù)值方法的設(shè)計(jì)原則收斂性：方法的可行性穩(wěn)定性：初始數(shù)據(jù)等產(chǎn)生的誤差對(duì)結(jié)果的影響便于編程實(shí)現(xiàn)：邏輯復(fù)雜度要小計(jì)算量要小：時(shí)間復(fù)雜度要小，運(yùn)行時(shí)間要短存貯量要盡量小：空間復(fù)雜度要小可靠性分析計(jì)算復(fù)雜性誤差估計(jì)：運(yùn)算結(jié)果不能產(chǎn)生太大的偏差且能夠控制誤差§1

誤差

/*Error*/一、誤差的來源與分類

/*Source&Classification*/

1、從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差

/*ModelingError*/

2、通過觀測(cè)得到模型中某些參數(shù)（或物理量）的值

——觀測(cè)誤差

/*MeasurementError*/

3、數(shù)學(xué)模型與數(shù)值算法之間的誤差求近似解

——方法誤差

(截?cái)嗾`差

/*TruncationError*/)

4、由于機(jī)器字長(zhǎng)有限，原始數(shù)據(jù)和計(jì)算過程會(huì)產(chǎn)生新的誤差

——舍入誤差

/*RoundoffError*/二、誤差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/

設(shè)為真值（精確值），為的一個(gè)近似值稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。注：誤差可正可負(fù)，常常是無限位的絕對(duì)誤差限/*accuracy*/——絕對(duì)值的上界如：絕對(duì)誤差還不能完全表示近似值的好壞（絕對(duì)誤差/*absoluteerror*/）近似值的誤差與準(zhǔn)確值的比值：稱為近似值的相對(duì)誤差，記作注：實(shí)際計(jì)算時(shí)，相對(duì)誤差通常取因?yàn)椋ㄏ鄬?duì)誤差/*relativeerror*/）相對(duì)誤差也可正可負(fù)（有效數(shù)字/*SignificantDigits*/）相對(duì)誤差限——相對(duì)誤差的絕對(duì)值的上界/*relativeaccuracy*/如：3位6位若近似值與準(zhǔn)確值的誤差絕對(duì)值不超過某一位的半個(gè)單位，該位到的第一位非零數(shù)字共有位，則稱有位有效數(shù)字有效數(shù)字(另外一種定義形式)用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記其中，若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有位有效數(shù)字，精確到。例1：?jiǎn)枺河袔孜挥行?shù)字？請(qǐng)證明你的結(jié)論。證明：有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第位。43規(guī)格化形式注：（1）數(shù)字末尾的0不可隨意省去?。?）若的每一位都是有效數(shù)字，則稱是有效數(shù)特別，經(jīng)“四舍五入”得到的數(shù)均為有效數(shù)

一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動(dòng)（即誤差），而計(jì)算過程中舍入誤差不增長(zhǎng),則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則此算法就稱為不穩(wěn)定的。（數(shù)值穩(wěn)定性/*NumericalStability*/）

對(duì)數(shù)學(xué)問題本身如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，引起輸出數(shù)據(jù)（即問題真解）的很大擾動(dòng)，這就是病態(tài)問題。（病態(tài)問題/*ill-posedproblem*/）

它是數(shù)學(xué)問題本身性質(zhì)所決定的，與算法無關(guān)，也就是說對(duì)病態(tài)問題，用任何算法（或方法）直接計(jì)算都將產(chǎn)生不穩(wěn)定性。

三、數(shù)值算法及穩(wěn)定性

/*NumericalAlgorithmandStability*/此公式精確成立記為則初始誤差Whathappened?!例2計(jì)算

公式一：考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法

/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差快速遞增。初始的小擾動(dòng)

公式二：注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取考察反推一步的誤差：以此類推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法

/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性將會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。例3：蝴蝶效應(yīng)

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺(tái)風(fēng)來了？！紐約北京這是一個(gè)病態(tài)問題蝴蝶效應(yīng)§2誤差分析的方法和原則

/*ErrorAnalysis*/一、誤差分析的方法1、向前誤差分析法：利用誤差限，隨著計(jì)算過程逐步向前進(jìn)行分析，直至估計(jì)出最后的結(jié)果。注：兩個(gè)近似數(shù)，四則運(yùn)算得到的誤差限分別為（1）（2）對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若用x*取代x，將對(duì)y產(chǎn)生什么影響？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheoremx*

與x非常接近時(shí)，可認(rèn)為，則有：即：產(chǎn)生的誤差經(jīng)過作用后被放大/縮小了

倍。故稱

為放大/縮小因子

/*amplificationfactor*/

或

絕對(duì)條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.相對(duì)誤差條件數(shù)

/*relativeconditionnumber*/

f的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小\大，則稱

f在該點(diǎn)是好條件的

/*well-conditioned*/

\壞條件的

/*ill-conditioned*/。注：關(guān)于多元函數(shù)

可類似討論，理論工具：Taylor公式(教材第7頁)例4設(shè),試求函數(shù)的相對(duì)誤差限.解：由題設(shè)知:近似值為,絕對(duì)誤差限為

2、向后誤差分析法：把舍入誤差的累積與導(dǎo)出的已知量的某種攝動(dòng)（微小誤差）等價(jià)起來，

即令利用攝動(dòng)理論，由的界估計(jì)出最后的舍入誤差界。3、區(qū)間分析法：把參加運(yùn)算的數(shù)都看成區(qū)間量，根據(jù)區(qū)間運(yùn)算規(guī)則求得最后結(jié)果的近似值和誤差限。4、概率分析法：利用概率統(tǒng)計(jì)方法，將數(shù)據(jù)和運(yùn)算中的舍入誤差視為適合某種分布的隨機(jī)變量，然后確定計(jì)算結(jié)果的誤差分布。 二、幾點(diǎn)注意事項(xiàng)

/*Remarks*/1、

避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：2、

避免小分母:分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出

/*overflow*/3、避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計(jì)算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時(shí)就成為：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)算法2：先解出再利用注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1+2+3+…+40+1094、

先化簡(jiǎn)再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說