第一章 數(shù)值計算方法 緒論

中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院制作:劉新海數(shù)值計算與實驗NumericalCalculationAndExperiment教材

(TextBook)

數(shù)值計算方法（第二版）

李維國、同登科主編

（中國石油大學(xué)出版社，2009年）參考書目

(Reference)

數(shù)值計算方法(上、下冊)

林成森編著（科學(xué)出版社1998年）

Principleof

NumericalAnalysis

數(shù)值分析原理封建湖、車剛明、聶玉峰編著（科學(xué)出版社，2001年）

提問：數(shù)值計算方法是做什么用的？研究對象：數(shù)值問題——有限個輸入數(shù)據(jù)（問題的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個輸出數(shù)據(jù)（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個明確無歧義的描述。如一階微分方程初值問題求函數(shù)解析表達式數(shù)學(xué)問題求函數(shù)在某些點的近似函數(shù)值數(shù)值問題程序設(shè)計上機計算設(shè)計高效、可靠的數(shù)值方法數(shù)值問題求解近似結(jié)果輸出重點討論數(shù)值問題的來源：實際問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值問題數(shù)值方法的設(shè)計原則收斂性：方法的可行性穩(wěn)定性：初始數(shù)據(jù)等產(chǎn)生的誤差對結(jié)果的影響便于編程實現(xiàn)：邏輯復(fù)雜度要小計算量要?。簳r間復(fù)雜度要小，運行時間要短存貯量要盡量小：空間復(fù)雜度要小可靠性分析計算復(fù)雜性誤差估計：運算結(jié)果不能產(chǎn)生太大的偏差且能夠控制誤差§1

誤差

/*Error*/一、誤差的來源與分類

/*Source&Classification*/

1、從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差

/*ModelingError*/

2、通過觀測得到模型中某些參數(shù)（或物理量）的值

——觀測誤差

/*MeasurementError*/

3、數(shù)學(xué)模型與數(shù)值算法之間的誤差求近似解

——方法誤差

(截斷誤差

/*TruncationError*/)

4、由于機器字長有限，原始數(shù)據(jù)和計算過程會產(chǎn)生新的誤差

——舍入誤差

/*RoundoffError*/二、誤差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/

設(shè)為真值（精確值），為的一個近似值稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差。注：誤差可正可負，常常是無限位的絕對誤差限/*accuracy*/——絕對值的上界如：絕對誤差還不能完全表示近似值的好壞（絕對誤差/*absoluteerror*/）近似值的誤差與準(zhǔn)確值的比值：稱為近似值的相對誤差，記作注：實際計算時，相對誤差通常取因為（相對誤差/*relativeerror*/）相對誤差也可正可負（有效數(shù)字/*SignificantDigits*/）相對誤差限——相對誤差的絕對值的上界/*relativeaccuracy*/如：3位6位若近似值與準(zhǔn)確值的誤差絕對值不超過某一位的半個單位，該位到的第一位非零數(shù)字共有位，則稱有位有效數(shù)字有效數(shù)字(另外一種定義形式)用科學(xué)計數(shù)法，記其中，若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有位有效數(shù)字，精確到。例1：問：有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。證明：有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點后第位。43規(guī)格化形式注：（1）數(shù)字末尾的0不可隨意省去?。?）若的每一位都是有效數(shù)字，則稱是有效數(shù)特別，經(jīng)“四舍五入”得到的數(shù)均為有效數(shù)

一個算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動（即誤差），而計算過程中舍入誤差不增長,則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則此算法就稱為不穩(wěn)定的。（數(shù)值穩(wěn)定性/*NumericalStability*/）

對數(shù)學(xué)問題本身如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動，引起輸出數(shù)據(jù)（即問題真解）的很大擾動，這就是病態(tài)問題。（病態(tài)問題/*ill-posedproblem*/）

它是數(shù)學(xué)問題本身性質(zhì)所決定的，與算法無關(guān)，也就是說對病態(tài)問題，用任何算法（或方法）直接計算都將產(chǎn)生不穩(wěn)定性。

三、數(shù)值算法及穩(wěn)定性

/*NumericalAlgorithmandStability*/此公式精確成立記為則初始誤差Whathappened?!例2計算

公式一：考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法

/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差快速遞增。初始的小擾動

公式二：注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法

/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性將會是一個非常重要的話題。例3：蝴蝶效應(yīng)

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺風(fēng)來了？！紐約北京這是一個病態(tài)問題蝴蝶效應(yīng)§2誤差分析的方法和原則

/*ErrorAnalysis*/一、誤差分析的方法1、向前誤差分析法：利用誤差限，隨著計算過程逐步向前進行分析，直至估計出最后的結(jié)果。注：兩個近似數(shù)，四則運算得到的誤差限分別為（1）（2）對于函數(shù)y=f(x)，若用x*取代x，將對y產(chǎn)生什么影響？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheoremx*

與x非常接近時，可認為，則有：即：產(chǎn)生的誤差經(jīng)過作用后被放大/縮小了

倍。故稱

為放大/縮小因子

/*amplificationfactor*/

或

絕對條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.相對誤差條件數(shù)

/*relativeconditionnumber*/

f的條件數(shù)在某一點是小\大，則稱

f在該點是好條件的

/*well-conditioned*/

\壞條件的

/*ill-conditioned*/。注：關(guān)于多元函數(shù)

可類似討論，理論工具：Taylor公式(教材第7頁)例4設(shè),試求函數(shù)的相對誤差限.解：由題設(shè)知:近似值為,絕對誤差限為

2、向后誤差分析法：把舍入誤差的累積與導(dǎo)出的已知量的某種攝動（微小誤差）等價起來，

即令利用攝動理論，由的界估計出最后的舍入誤差界。3、區(qū)間分析法：把參加運算的數(shù)都看成區(qū)間量，根據(jù)區(qū)間運算規(guī)則求得最后結(jié)果的近似值和誤差限。4、概率分析法：利用概率統(tǒng)計方法，將數(shù)據(jù)和運算中的舍入誤差視為適合某種分布的隨機變量，然后確定計算結(jié)果的誤差分布。 二、幾點注意事項

/*Remarks*/1、

避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗性避免方法：當(dāng)|x|<<1時：2、

避免小分母:分母小會造成浮點溢出

/*overflow*/3、避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計算機內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時就成為：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)算法2：先解出再利用注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1+2+3+…+40+1094、

先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說