第一章 試驗數(shù)據(jù)的誤差分析

第一章試驗數(shù)據(jù)的誤差分析11.1有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念1.1.1真值和平均值

通過測量儀表測量某種物理量，儀表所示值（測量值）與實際值之間存在的差別即是誤差：Δ=|測量值-真值|。

真值即真實值，是指在一定條件下，被測量客觀存在的實際值。真值在不同場合有不同的含義。

理論真值：也稱絕對真值，如平面三角形三內(nèi)角之和恒為18O°。

規(guī)定真值：國際上公認(rèn)的某些基準(zhǔn)量值，如1982年國際計量局召開的米定義咨詢委員會提出新的米定義為“米等于光在真空中1／299792458秒時間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑長度”。這個米基準(zhǔn)就當(dāng)作計量長度的規(guī)定真值。2

相對真值：計量器具按精度不同分為若干等級，上一等級的指示值即為下一等級的真值，此真值稱為相對真值。例如，在力值的傳遞標(biāo)準(zhǔn)中，用二等標(biāo)準(zhǔn)測力機(jī)校準(zhǔn)三等標(biāo)準(zhǔn)測力計，此時二等標(biāo)準(zhǔn)測力機(jī)的指示值即為三等標(biāo)準(zhǔn)測力計的相對真值。對于被測物理量，真值通常是個未知量，由于誤差的客觀存在，真值一般是無法測得的。測量次數(shù)無限多時，根據(jù)正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等的誤差分布規(guī)律，在不存在系統(tǒng)誤差的情況下，它們的平均值極為接近真值。故在實驗科學(xué)中真值的定義為無限多次觀測值的平均值。但實際測定的次數(shù)總是有限的，由有限次數(shù)求出的平均值，只能近似地接近于真值，可稱此平均值為最佳值（或可靠值）。1.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念3常用的平均值有以下幾種：設(shè)有n個試驗值：x1，x2，…，xn1.算術(shù)平均值2.加權(quán)平均值1.1有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念4(1)當(dāng)試驗次數(shù)很多時，可以將權(quán)理解為試驗值xi在很大的測量總數(shù)中出現(xiàn)的頻率ni/n。(2)如果試驗值是在同樣的試驗條件下獲得的，但來源于不同的組，這時加權(quán)平均值計算式中的xi代表各組的平均值，而代表每組試驗次數(shù)。如書上P4例1－1，這時加權(quán)平均值即為總算術(shù)平均值。1.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念組測量值平均值1234100.357,100.343,100.351100.360,100.348100.350,100.344,100.336,100.340,100.345100.339,100.350,100.340100.350100.354100.343100.343例1－1求其加權(quán)平均值1.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念5此即總算術(shù)平均值例1－2測定PH值時，得到兩組數(shù)據(jù)，其平均值為：試求它們的平均值。1.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念6(3)根據(jù)權(quán)與絕對誤差的平方成反比來確定權(quán)數(shù)，如書上P4例1－2。74.均方根平均值5.調(diào)和平均值可見，調(diào)和平均值是試驗值倒數(shù)的算術(shù)平均值的倒數(shù)。1.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念3.幾何平均值81.1.2誤差與偏差1.誤差的產(chǎn)生（1）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是由某些固定不變的因素引起的，這些因素影響的結(jié)果永遠(yuǎn)朝一個方向偏移，其大小及符號在同一組實驗測量中完全相同。當(dāng)實驗條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就是一個客觀上的恒定值，多次測量的平均值也不能減弱它的影響。系統(tǒng)誤差隨實驗條件的改變按一定規(guī)律變化。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因有以下幾方面：①測量儀器的因素，如儀器設(shè)計上的缺點，刻度不準(zhǔn)，儀表未進(jìn)行校正或標(biāo)準(zhǔn)表本身存在偏差，安裝不正確等；②測量方法因素，如近似的測量方法或近似的計算公式等引起的誤差；1.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念9③測量人員的習(xí)慣和偏向或動態(tài)測量時的滯后現(xiàn)象等，如讀數(shù)偏高或偏低所引起的誤差。針對以上具體情況，分別改進(jìn)儀器和實驗裝置，以及提高測試技能，對系統(tǒng)誤差予以解決。（2）隨機(jī)誤差它是由某些不易控制的因素造成的。如外界溫度的微小波動、儀器的輕微振動、電壓的微小波動等引起的誤差。在相同條件下做多次測量，其誤差數(shù)值是不確定的，時大時小，時正時負(fù)，沒有確定的規(guī)律，這類誤差稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差。這類誤差產(chǎn)生原因不明，因而無法控制和補償。若對某一量值進(jìn)行足夠多次的等精度測量，就會發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計規(guī)律，這種規(guī)律可用正態(tài)分布曲線表示。

1.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念正態(tài)分布具有以下特點：①正態(tài)分布曲線對稱，以平均值為中心；②當(dāng)平均值時，曲線處于最高點、當(dāng)x向左右偏離時，曲線逐漸降低，整個曲線呈中間高、兩邊低的形狀；③曲線與橫坐標(biāo)軸所圍成的面積等于1。

隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨近于零，所以多次測量結(jié)果的算術(shù)平均值將更接近于真值。10

過失誤差是一種與實際事實明顯不符的誤差，過失誤差明顯地歪曲試驗結(jié)果。誤差值可能很大，且無一定的規(guī)律。它主要是由于實驗人員粗心大意、操作不當(dāng)造成的，如讀錯數(shù)據(jù)，記錯或計算錯誤，操作失誤等。（3）過失誤差1.1有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念在測量或?qū)嶒灂r，只要認(rèn)真負(fù)責(zé)是可以避免這類誤差的。存在過失誤差的觀測值在實驗數(shù)據(jù)整理時應(yīng)該剔除。112.誤差與偏差的基本概念（1）絕對誤差絕對誤差是指實測值與被測之量的真值之差：絕對誤差=觀察值-真值

(2)相對誤差

相對誤差是指絕對誤差與被測真值（或?qū)嶋H值）的比值：1.1有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念由于誤差是不可避免的，故真值往往是得不到的。所以絕對誤差、相對誤差的概念只有理論上的價值。121.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念（3）偏差

表示測量值與平均值之間的差值。一組試驗數(shù)據(jù)的精密度可以用平均偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差兩種方法來表示。我們可以根據(jù)測量儀器的精度等級或最小刻度來計算最大絕對誤差

。例如某壓強(qiáng)表注明的精度等級為1.5級，則表明該表絕對誤差為最大量程的1.5%，如果最大量程為0.4MPa，則該壓強(qiáng)表的絕對誤差為0.006MPa；又如某天平的最小刻度為0.1mg，則其最大絕對誤差為0.1mg。②標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差又稱均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)差。A、當(dāng)試驗次數(shù)n無窮大時，稱為總體標(biāo)準(zhǔn)差：①平均偏差設(shè)試驗值和算術(shù)平均值之間的偏差為di，則平均偏差定義式為：131.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念141.1有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念

誤差與偏差的含義不同，必須加以區(qū)別。但是由于在一般情況下，真實值是不知道的(測量的目的就是為了測得真實值)，因此處理實際問題時常常在盡量減小系統(tǒng)誤差的前提下，把多次平均測量值當(dāng)作真實值，把偏差當(dāng)作誤差。

例：分析鐵礦石中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），計算測量結(jié)果的平均值、平均偏差、相對平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、相對標(biāo)準(zhǔn)偏差。B、試驗次數(shù)一般為有限次，于是稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差：各次測量值的偏差分別是：0.11%，-0.14%，-0.04%，0.16%，-0.09%解：1.1有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念15在Excel中，可以用有關(guān)內(nèi)置函數(shù)來計算這些試驗值的常用統(tǒng)計量：3.試驗數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度誤差可能由隨機(jī)誤差或系統(tǒng)誤差單獨造成，也可能是二者的疊加，引入精密度、正確度、準(zhǔn)確度三術(shù)語來說明這一問題。（1）精密度

精密度反映了隨機(jī)誤差大小的程度，是指在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度，即試驗值分散程度。161.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念（2）正確度

準(zhǔn)確度反映了系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合，表示了試驗結(jié)果與真值的一致程度。精密度、正確度、準(zhǔn)確度三者之間的關(guān)系可用下圖來說明：圖A精密度不好，但正確度好；圖B的精密度好，但正確度不好；圖C的精密度和正確度都好，即準(zhǔn)確度好。171.1

有關(guān)數(shù)據(jù)處理的基本概念

正確度反映了系統(tǒng)誤差的大小，是指在一定的試驗條件下，所有系統(tǒng)誤差的綜合。（3）準(zhǔn)確度1.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗1.2.1隨機(jī)誤差的估計1.極差：極差是指一組試驗值中最大值與最小值的差值。2.標(biāo)準(zhǔn)差：若隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，則可用標(biāo)準(zhǔn)差來反映隨機(jī)誤差的大小，標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的分散性越低，精密度越高，隨機(jī)誤差越小，試驗數(shù)據(jù)的正態(tài)分布曲線越尖。3.方差：方差即標(biāo)準(zhǔn)差的平方，分為總體方差和樣本方差，顯然方差也反映了數(shù)據(jù)的分散程度，即隨機(jī)誤差的大小。181.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗隨機(jī)誤差的大小可以用試驗數(shù)據(jù)的精密度來反映，而精密度的好壞可用方差來度量，因此可用方差檢驗判斷試驗結(jié)果的隨機(jī)誤差之間的關(guān)系。191.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗201.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗211.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗221.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗231.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗241.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗251.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗1.2.2系統(tǒng)誤差的檢驗——秩和檢驗法

秩和檢驗法可以檢驗兩組數(shù)據(jù)間是否存在顯著性差異，如果一組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差時，可用該法判斷另一組數(shù)據(jù)有無系統(tǒng)誤差。設(shè)有兩組實驗數(shù)據(jù)：x1(1)，x2(1)，…，xn1(1)與x1(2)，x2(2)，…，xn2(2)

，其中n1，n2分別是兩組試驗數(shù)據(jù)的個數(shù)，假設(shè)這兩組試驗數(shù)據(jù)是相互獨立的，n1≦n2。首先將這n1+n2個試驗數(shù)據(jù)混在一起，按從小到大的次序排列，每個試驗值在序列中的次序號叫該值的秩，然后將屬于第1組數(shù)據(jù)的秩相加，其和記為R1，同理可得R2。如果兩組數(shù)據(jù)之間無顯著差異，則R1就不應(yīng)該太小或太大，對于給定的顯著水平和n1，n2，由秩和臨界值表（見附錄1）可查得R1的上下限T1和T2。261.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗如果R1>T2或R1<T1,則認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，如果T1<R1<T2，則兩組數(shù)據(jù)無顯著差異。如書P10-11例1－5。注意：在進(jìn)行秩和檢驗時，如果幾個數(shù)據(jù)相等，則它們的秩應(yīng)該相等，等于相應(yīng)幾個秩的算術(shù)平均值。271.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗例1－5甲乙兩組數(shù)據(jù)為：甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8已知甲組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差，試判斷乙組數(shù)據(jù)是否有系統(tǒng)誤差。秩1234567891011.511.5131415甲乙

8.68.89.19.19.910.06.87.37.48.08.18.48.78.99.2對于=0.05，查秩和臨界值表，得T1=33，T2=63由于R1>T2，故兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，乙組數(shù)據(jù)有系統(tǒng)誤差。1.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗281.2.3過失誤差的檢驗

在一組條件完全相同的重復(fù)試驗中，個別的測量值可能會出現(xiàn)異常。如測量值過大或過小，這些過大或過小的測量數(shù)據(jù)是不正常的，或稱為可疑的。對于這些可疑數(shù)據(jù)應(yīng)該用數(shù)理統(tǒng)計的方法判別其真?zhèn)?，并決定取舍。常用的方法有拉依達(dá)法、格拉布斯法。1.拉依達(dá)法當(dāng)試驗數(shù)據(jù)較多時使用拉依達(dá)法最為簡單，因為此法無須查表，但是試驗數(shù)據(jù)較少時，不能應(yīng)用拉依達(dá)法，即n<10時用3s作界限，或n<5時用2s作界限均無法舍去異常數(shù)據(jù)。注意：計算s時應(yīng)該包括可疑數(shù)據(jù)xp。如果則應(yīng)將xp從該組試驗值中剔除。例子見書上P11例1－6291.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗例1－6有一組數(shù)據(jù)：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，用拉依達(dá)法判斷偏差較大的0.167這一數(shù)據(jù)是否屬于異常值？計算包括0.167在內(nèi)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差：1.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗302.格拉布斯法格拉布斯法能夠適用于試驗數(shù)據(jù)較少時的檢驗。當(dāng)則應(yīng)該將xp從該組試驗值中剔除。這里稱為格拉布斯檢驗臨界值，它與試驗次數(shù)n及顯著水平有關(guān)，附錄2給出了的數(shù)值。例子見書上P12例1－7。311.2

試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗例1－7有一組數(shù)據(jù)：10.29，10.33，10.38，10.40，10.43，10.46，10.52，10.82(%)，試問是否有數(shù)據(jù)應(yīng)該被剔除？（=0.05）(1)檢驗10.82(2)檢驗10.521.2試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗321.3有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示1.3.1有效數(shù)字能夠代表一定物理量的數(shù)字，稱為有效數(shù)字。有效數(shù)字只能具有一位可疑值，有效數(shù)字的末位數(shù)往往是估計出來的，具有一定的誤差。測量中所使用的儀器儀表只能達(dá)到一定的精度，因此有效數(shù)字的位數(shù)可反映試驗的精度或表示所用試驗儀表的精度，不能隨便多寫或少寫。數(shù)字0是否是有效數(shù)字，取決于它在數(shù)據(jù)中的位置。一般第一個非0數(shù)前的數(shù)字都不是有效數(shù)字，而第一個非0數(shù)后的數(shù)字都是有效數(shù)字。例如29mm和29.00mm并不等價，前者為兩位有效數(shù)字，后者是四位有效數(shù)字，它們是用不同精度的儀器測量得到的數(shù)值。小數(shù)點的位置并不影響有效數(shù)字的位數(shù)，例如50mm，0.050m，5.0×104um的有效數(shù)字位數(shù)都為2，三個數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度是相同的。改變單位不能改變有效數(shù)字的位數(shù)，如5.0×104um，不能寫成50000um。1.3.2有效數(shù)字的運算規(guī)則331.3

有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示341.3

有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示3.乘方、開方運算:

乘方、開方后的結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與其底數(shù)相同，也可比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。2.42=5.8或5.764.對數(shù)運算:

對數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。例如：lg5.6=0.755.常數(shù)及自然數(shù)：在所有計算式中，常數(shù)π,e等、自然數(shù)等的有效數(shù)字位數(shù)，認(rèn)為無限制，需要幾位就取幾位。

351.3

有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示1.3.3有效數(shù)字的修約規(guī)則常用的“四舍五入”的方法對數(shù)值進(jìn)行取舍，得到的均值偏大