第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1-3節(jié)

第2章地球體與地圖投影地圖投影需要解決的矛盾地球是圓的，地圖是平的，究竟采用什么方法，才能將球面的景物精確地描繪到平面圖紙上。（經(jīng)緯網(wǎng)、高程網(wǎng)）大與小的矛盾。（比例尺）地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是指使地圖上各種地理要素與相應(yīng)的地面景物之間保持一定對應(yīng)關(guān)系的經(jīng)緯網(wǎng)、坐標網(wǎng)、大地控制點、比例尺等數(shù)學(xué)要素。第1節(jié)地球體一、地球體的基本特征（一）地球的自然表面浩瀚宇宙之中:地球是一個表面光滑、藍色美麗的正球體。機艙窗口俯視大地:地表是一個有些微起伏、極其復(fù)雜的表面。

——

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。事實是：

地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。（二）地球的物理表面

當海洋靜止時，自由水面與該面上各點的重力方向（鉛垂線）成正交，這個面叫水準面。

大地水準面:假定海水靜止不動,將海水面無限延伸,穿出大陸包圍地球的球體。它實際是一個起伏不平的重力等位面——地球物理表面。

大地體:大地水準面包圍的形體。研究大地水準面的意義1.地球形體的一級逼近__大地體： 對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當。2.起伏波動在制圖學(xué)中可忽略：

對大地測量和地球物理學(xué)有研究價值，但在制圖業(yè)務(wù)中，均把地球當作正球體。3.

實質(zhì)是重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點到大地水準面的高度）。

(三）地球的數(shù)學(xué)表面在測量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來代替大地球體，這個旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。它是一個規(guī)則的數(shù)學(xué)表面，所以人們視其為地球體的數(shù)學(xué)表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準面。橢球體三要素:

長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對

a，b，f

的具體測定就是近代大地測量的一項重要工作。 對地球形狀a，b，f

測定后，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準面符合最好的一個地球橢球體——參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。通過數(shù)學(xué)方法將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，并求出兩者各點間的偏差，從數(shù)學(xué)上給出對地球形狀的三級逼近——參考橢球體。由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。我國所采用的參照橢球體1954年北京坐標系采用1940年克拉索夫斯基橢球體參數(shù)；1980年西安坐標系采用1975年IUGG（國際大地測量與地球物理聯(lián)合會）橢球體參數(shù)；2000年國家大地坐標系全球定位系數(shù)則采用WGS-84世界大地坐標系統(tǒng)，G873)橢球體。參考橢球面自然表面物理表面數(shù)學(xué)表面地球體大地水準面測量計算的基礎(chǔ)面測量實施的基礎(chǔ)面自然面、物理面、數(shù)學(xué)面關(guān)系圖自然表面大地水準面參考橢球面二、地理坐標用經(jīng)線、緯線、經(jīng)度、緯度表示地面點位的球面坐標。天文經(jīng)緯度大地經(jīng)緯度地心經(jīng)緯度①天文經(jīng)緯度：表示地面點在大地水準面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度：觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②大地經(jīng)緯度：表示地面點在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度λ

、大地緯度

和大地高h表示。大地經(jīng)度λ

：指參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負。大地緯度：指參考橢球面上某點的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負。曲面上某一點的法線指的是經(jīng)過這一點并且與曲面垂直的那條直線。

③地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點，地心經(jīng)度等同大地經(jīng)度L，地心緯度是指參考橢球面上某點和橢球中心連線與赤道面之間的夾角Ψ。在大地測量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標。在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標。在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。第2節(jié)大地測量系統(tǒng)一、中國的大地坐標系

1952年前:海福特（Hayford）橢球體；

1953—1980年:克拉索夫斯基橢球體（坐標原點是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺）；

1980年以后：

GRS1975（國際大地測量與地球物理學(xué)聯(lián)合會IUGG1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點。陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點——大地原點。ICA-75橢球參數(shù)a=6378140mb=6356755mf=1/298.257二、中國的大地控制網(wǎng)

平面控制網(wǎng):按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標的地面點組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成。

由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點遍布全國各地。（一）平面控制網(wǎng)三角測量：建立平面控制網(wǎng)，使以大地原點為基礎(chǔ)，在全國范圍內(nèi)選擇一系列控制點，建立起一系列的三角形，通過測定所有三角形的內(nèi)角，利用正弦定理即可推算各三角形邊長及各控制點的坐標。導(dǎo)線測量：把各個控制點連接成連續(xù)的折線，然后測定這些折線的邊長和轉(zhuǎn)角，最后根據(jù)起算點的坐標和方位角推算其他各點坐標。包括閉合導(dǎo)線、附合導(dǎo)線。布設(shè)原則：由高級到低級，由整體到局部，步步有檢核。方位（角）的概念從北方起算順時針方向到某方向線繞過的角度稱為該方向線的方位角。

（0°－360°）OBA從北方或南方順時針或逆時針到某方向線繞過的角度稱為該方向線的象限角。

（0°－90°）BACDNEWSN等級邊長分布密度分布方向一等三角鎖20~25km鎖與鎖間距200km沿經(jīng)緯線分布二等三角網(wǎng)13km150km2有一控制點（1：10萬，1：5萬》3點）在一等加密三等三角網(wǎng)8km50km2有一控制點（1：5萬2~3點）在二等加密四等三角網(wǎng)4km20km2有一控制點（1：1萬~2點）在三等加密高程控制網(wǎng):

按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點組成，以水準測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。水準測量方法：是借助儀器所提供的水平視線來測定兩點間的高差。三角高程測量：是根據(jù)三角原理球的兩點間高差的一種方法。中國高程起算面是黃海平均海水面。（二）高程控制網(wǎng)一等水準線是國家高程控制骨干，一般沿地質(zhì)基礎(chǔ)穩(wěn)定、交通不甚繁忙、路面坡度平緩的交通干線布設(shè)，并構(gòu)成網(wǎng)狀；二等水準路線，沿公路、鐵路、河流布設(shè)，同樣也構(gòu)成網(wǎng)狀；三、四等水準路線，直接提供地形測量的高程控制點。青島觀象山水準原點我國采用的高程系1956年黃海高程系取1950年－1956年共7年的驗潮資料水準原點高程為：72.289米1985年國家高程基準取1953年－1979年共27年的驗潮資料水準原點高程為：72.260米地方高程系絕對高程（海拔）：地面點到大地水準面的垂直距離相對高程：地面點到任一水準面的垂直距離。高差：某兩點的高程之差。li國家測繪局國家測繪局國家測繪局國家測繪局三、全球定位系統(tǒng)-GPS 全球定位系統(tǒng)(GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無線電導(dǎo)航系統(tǒng)，可提供高精度、全天候、實時動態(tài)定位、定時及導(dǎo)航服務(wù)。（一）衛(wèi)星定位的技術(shù)優(yōu)勢觀測點之間無需通視提供3維坐標定位精度高觀測時間短全天候定位操作簡便（二）GPS系統(tǒng)的組成部分

空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星（白色）。它們在高度20200km的近圓形軌道上運行，分布在六個軌道面上，軌道傾角55°，兩個軌道面之間在經(jīng)度上相隔60°，每個軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點，任意時刻，至少同時可見到四顆衛(wèi)星。

地面支撐系統(tǒng)：1個主控站，3個注入站，5個監(jiān)測站。它向GPS導(dǎo)航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運動及其軌道的參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預(yù)定軌道運行；保持各顆衛(wèi)星處于GPS時間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。

用戶設(shè)備部分：GPS接收機——接收衛(wèi)星信號，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機所在點位的導(dǎo)航和定位信息。通常會顯示出用戶的位置、速度和時間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到航路點的距離和航向或提供圖示。第3節(jié)地圖投影（一）地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特點1.所有經(jīng)線都是通過兩極的大圓且長度相等；所有緯線都是圓，圓半徑由赤道向兩極遞減，極地成為一點。2.經(jīng)線表示南北方向；緯線表示東西方向。3.經(jīng)線和緯線是相互垂直的。

一、地圖投影的概念4.同一經(jīng)線上緯差相等的經(jīng)線弧長相等；同一條緯線上經(jīng)差相等的緯線弧長相等，在不同的緯線上，經(jīng)差相等的緯線弧長不等，由赤道向兩極遞減。5.同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積相等，同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積不等，緯度越高，梯形面積越小（由低緯向高緯逐漸縮?。?。（二）地圖表面和地球球面的矛盾

地圖通常是繪在平面介質(zhì)上的，而地球體表面是曲面，因此制圖時首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要發(fā)生斷裂或褶皺。無論是將球面沿經(jīng)線切開，或是沿緯線切開，或是在極點結(jié)合，或是在赤道結(jié)合，他們都是有裂隙的。地圖表面和地球球面的矛盾（三）地圖投影的概念

地圖投影：在地球橢球面和平面之間建立點與點之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。

數(shù)學(xué)上的投影面1面2幾何學(xué)－－透視原理承影面燈源物體（投）影物體的形狀、燈源的位置、以及承影面的形狀都將影響投影的結(jié)果。地圖投影地圖投影是在幾何投影的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的平面球面F（，）＝f（x,y）地圖投影的實質(zhì)就是球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面圖紙上。二、地圖投影變形變形是必然的－－球面不可展（一）投影變形的性質(zhì)

把地圖上和地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)進行比較，可以發(fā)現(xiàn)變形表現(xiàn)在長度、面積和角度三個方面。

（二）變形橢圓

取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。變形橢圓為經(jīng)線長度比；為緯線長度比微小圓→變形橢圓

該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即：以O(shè)'為原點，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標軸的橢圓方程式。代入：X2+Y2=1，得特別方向：變形橢圓上相互垂直的兩個方向及經(jīng)向和緯向.

長軸方向(長度比)a短軸方向(長度比)b經(jīng)線方向(長度比)m

緯線方向(長度比)n統(tǒng)稱主方向阿波隆尼定理(Apollonius):

橢圓內(nèi)兩共軛半徑的平方和等于其長短半徑的平方和；

兩個共軛半徑與它們的交角正弦的乘積等于其長短半徑的乘積。根據(jù)阿波隆尼定理有:m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b

橢圓共軛直徑:過橢圓內(nèi)任一條直徑(圖中LL)的平行弦中點的軌跡(圖中KK)。KKLOθabmnL

(三）長度比和長度變形

長度比（m）:投影面上一微小線段dS′（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段dS（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲?。>0變大=0不變<0變小長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。長度變形(Vm):長度比與1的差。（四）面積比和面積變形

面積比（P）:投影面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（小圓面積）dF之比．面積變形（Vp）:面積比與1的差。>0變大=0不變<0變小P=a·b=m

·

n(q=90)P=m

·

n

·sinq(q≠90)面積比是變量，隨位置的不同而變化。（五）角度變形

角度變形：投影面上任意兩方向線夾角與球面上相應(yīng)兩方向線夾角之差。以ω表示角度最大變形。 設(shè)A點的坐標為（x、y），A′點的坐標為(x

′、y′)，則(自學(xué)）將兩式相除，得：顯然當（a+a

′）=90°時，右端取最大值，則最大方向變形：以w表示角度最大變形：若已知

m,n,q，則：（五）等變形線

在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來表示制圖區(qū)域的變形分布特征。

等變形線就是變形值相等各點的連線。它是根據(jù)計算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點無變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。

等變形線通常是用點虛線來表示的。

三、地圖投影方法（一）幾何投影法

地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，如平面、圓柱面和圓錐面。幾何透視法是一種比較原始的投影方法，有很大的局限性，難于糾正投影變形，精度較低。絕大多數(shù)地圖投影都采用數(shù)學(xué)解析法。數(shù)學(xué)解析法是在球面與投影面之間建立點與點的函數(shù)關(guān)系，通過數(shù)學(xué)的方法確定經(jīng)緯線交點位置的一種投影方法。大多數(shù)的數(shù)學(xué)解析法往往是在透視投影的基礎(chǔ)上，發(fā)展建立球面與投影面之間點與點的函數(shù)關(guān)系的，因此兩種投影方法有一定聯(lián)系。

（二）數(shù)學(xué)解析法（二）數(shù)學(xué)解析法——以正軸圓錐投影為例經(jīng)線投影為放射直線，經(jīng)差l與投影面上d成正比：d=c·l（c為圓錐系數(shù)，0<c<1）。緯線投影為同心圓弧，其半徑r是緯度的函數(shù)，r

=f（）。圓錐投影的一般公式為：X=r

s-

r

cosδr

=f()

Y=r

sind