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第2章地球體與地圖投影地圖投影需要解決的矛盾地球是圓的,地圖是平的,究竟采用什么方法,才能將球面的景物精確地描繪到平面圖紙上。(經(jīng)緯網(wǎng)、高程網(wǎng))大與小的矛盾。(比例尺)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是指使地圖上各種地理要素與相應(yīng)的地面景物之間保持一定對(duì)應(yīng)關(guān)系的經(jīng)緯網(wǎng)、坐標(biāo)網(wǎng)、大地控制點(diǎn)、比例尺等數(shù)學(xué)要素。第1節(jié)地球體一、地球體的基本特征(一)地球的自然表面浩瀚宇宙之中:地球是一個(gè)表面光滑、藍(lán)色美麗的正球體。機(jī)艙窗口俯視大地:地表是一個(gè)有些微起伏、極其復(fù)雜的表面。
——
珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。事實(shí)是:
地球不是一個(gè)正球體,而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長(zhǎng),北極略突出、南極略扁平,近于梨形的橢球體。(二)地球的物理表面
當(dāng)海洋靜止時(shí),自由水面與該面上各點(diǎn)的重力方向(鉛垂線)成正交,這個(gè)面叫水準(zhǔn)面。
大地水準(zhǔn)面:假定海水靜止不動(dòng),將海水面無(wú)限延伸,穿出大陸包圍地球的球體。它實(shí)際是一個(gè)起伏不平的重力等位面——地球物理表面。
大地體:大地水準(zhǔn)面包圍的形體。研究大地水準(zhǔn)面的意義1.地球形體的一級(jí)逼近__大地體: 對(duì)地球形狀的很好近似,其面上高出與面下缺少的相當(dāng)。2.起伏波動(dòng)在制圖學(xué)中可忽略:
對(duì)大地測(cè)量和地球物理學(xué)有研究?jī)r(jià)值,但在制圖業(yè)務(wù)中,均把地球當(dāng)作正球體。3.
實(shí)質(zhì)是重力等位面: 可使用儀器測(cè)得海拔高程(某點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的高度)。
(三)地球的數(shù)學(xué)表面在測(cè)量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來(lái)代替大地球體,這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為地球橢球體,簡(jiǎn)稱橢球體。它是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué)表面,所以人們視其為地球體的數(shù)學(xué)表面,也是對(duì)地球形體的二級(jí)逼近,用于測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面。橢球體三要素:
長(zhǎng)軸a(赤道半徑)、短軸b(極半徑)和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m
b=6356752.3m
equatorialdiameter=12756.3km
polardiameter=12713.5km
equatorialcircumference=40075.1km
surfacearea=510064500km2
a-b6378137-6356752.3f=——=————————
a63781371—=298.257f對(duì)
a,b,f
的具體測(cè)定就是近代大地測(cè)量的一項(xiàng)重要工作。 對(duì)地球形狀a,b,f
測(cè)定后,還必須確定大地水準(zhǔn)面與橢球體面的相對(duì)關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好的一個(gè)地球橢球體——參考橢球體,這項(xiàng)工作就是參考橢球體定位。通過(guò)數(shù)學(xué)方法將地球橢球體擺到與大地水準(zhǔn)面最貼近的位置上,并求出兩者各點(diǎn)間的偏差,從數(shù)學(xué)上給出對(duì)地球形狀的三級(jí)逼近——參考橢球體。由于國(guó)際上在推求年代、方法及測(cè)定的地區(qū)不同,故地球橢球體的元素值有很多種。我國(guó)所采用的參照橢球體1954年北京坐標(biāo)系采用1940年克拉索夫斯基橢球體參數(shù);1980年西安坐標(biāo)系采用1975年IUGG(國(guó)際大地測(cè)量與地球物理聯(lián)合會(huì))橢球體參數(shù);2000年國(guó)家大地坐標(biāo)系全球定位系數(shù)則采用WGS-84世界大地坐標(biāo)系統(tǒng),G873)橢球體。參考橢球面自然表面物理表面數(shù)學(xué)表面地球體大地水準(zhǔn)面測(cè)量計(jì)算的基礎(chǔ)面測(cè)量實(shí)施的基礎(chǔ)面自然面、物理面、數(shù)學(xué)面關(guān)系圖自然表面大地水準(zhǔn)面參考橢球面二、地理坐標(biāo)用經(jīng)線、緯線、經(jīng)度、緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。天文經(jīng)緯度大地經(jīng)緯度地心經(jīng)緯度①天文經(jīng)緯度:表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置,用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度:觀測(cè)點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測(cè)點(diǎn)之間的兩面角。天文緯度:在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②大地經(jīng)緯度:表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置,用大地經(jīng)度λ
、大地緯度
和大地高h(yuǎn)表示。大地經(jīng)度λ
:指參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正,西經(jīng)為負(fù)。大地緯度:指參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線(法線)與赤道平面的夾角。北緯為正,南緯為負(fù)。曲面上某一點(diǎn)的法線指的是經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)并且與曲面垂直的那條直線。
③地心經(jīng)緯度:即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點(diǎn),地心經(jīng)度等同大地經(jīng)度L,地心緯度是指參考橢球面上某點(diǎn)和橢球中心連線與赤道面之間的夾角Ψ。在大地測(cè)量學(xué)中,常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在地圖學(xué)中,以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中,通常將橢球體當(dāng)成正球體看,采用地心經(jīng)緯度。第2節(jié)大地測(cè)量系統(tǒng)一、中國(guó)的大地坐標(biāo)系
1952年前:海福特(Hayford)橢球體;
1953—1980年:克拉索夫斯基橢球體(坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺(tái));
1980年以后:
GRS1975(國(guó)際大地測(cè)量與地球物理學(xué)聯(lián)合會(huì)IUGG1975推薦)新參考橢球體系,并確定陜西涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)。陜西省涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)——大地原點(diǎn)。ICA-75橢球參數(shù)a=6378140mb=6356755mf=1/298.257二、中國(guó)的大地控制網(wǎng)
平面控制網(wǎng):按統(tǒng)一規(guī)范,由精確測(cè)定地理坐標(biāo)的地面點(diǎn)組成,由三角測(cè)量或?qū)Ь€測(cè)量完成。
由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成,控制點(diǎn)遍布全國(guó)各地。(一)平面控制網(wǎng)三角測(cè)量:建立平面控制網(wǎng),使以大地原點(diǎn)為基礎(chǔ),在全國(guó)范圍內(nèi)選擇一系列控制點(diǎn),建立起一系列的三角形,通過(guò)測(cè)定所有三角形的內(nèi)角,利用正弦定理即可推算各三角形邊長(zhǎng)及各控制點(diǎn)的坐標(biāo)。導(dǎo)線測(cè)量:把各個(gè)控制點(diǎn)連接成連續(xù)的折線,然后測(cè)定這些折線的邊長(zhǎng)和轉(zhuǎn)角,最后根據(jù)起算點(diǎn)的坐標(biāo)和方位角推算其他各點(diǎn)坐標(biāo)。包括閉合導(dǎo)線、附合導(dǎo)線。布設(shè)原則:由高級(jí)到低級(jí),由整體到局部,步步有檢核。方位(角)的概念從北方起算順時(shí)針?lè)较虻侥撤较蚓€繞過(guò)的角度稱為該方向線的方位角。
(0°-360°)OBA從北方或南方順時(shí)針或逆時(shí)針到某方向線繞過(guò)的角度稱為該方向線的象限角。
(0°-90°)BACDNEWSN等級(jí)邊長(zhǎng)分布密度分布方向一等三角鎖20~25km鎖與鎖間距200km沿經(jīng)緯線分布二等三角網(wǎng)13km150km2有一控制點(diǎn)(1:10萬(wàn),1:5萬(wàn)》3點(diǎn))在一等加密三等三角網(wǎng)8km50km2有一控制點(diǎn)(1:5萬(wàn)2~3點(diǎn))在二等加密四等三角網(wǎng)4km20km2有一控制點(diǎn)(1:1萬(wàn)~2點(diǎn))在三等加密高程控制網(wǎng):
按統(tǒng)一規(guī)范,由精確測(cè)定高程的地面點(diǎn)組成,以水準(zhǔn)測(cè)量或三角高程測(cè)量完成。依精度不同,分為四等。水準(zhǔn)測(cè)量方法:是借助儀器所提供的水平視線來(lái)測(cè)定兩點(diǎn)間的高差。三角高程測(cè)量:是根據(jù)三角原理球的兩點(diǎn)間高差的一種方法。中國(guó)高程起算面是黃海平均海水面。(二)高程控制網(wǎng)一等水準(zhǔn)線是國(guó)家高程控制骨干,一般沿地質(zhì)基礎(chǔ)穩(wěn)定、交通不甚繁忙、路面坡度平緩的交通干線布設(shè),并構(gòu)成網(wǎng)狀;二等水準(zhǔn)路線,沿公路、鐵路、河流布設(shè),同樣也構(gòu)成網(wǎng)狀;三、四等水準(zhǔn)路線,直接提供地形測(cè)量的高程控制點(diǎn)。青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)我國(guó)采用的高程系1956年黃海高程系取1950年-1956年共7年的驗(yàn)潮資料水準(zhǔn)原點(diǎn)高程為:72.289米1985年國(guó)家高程基準(zhǔn)取1953年-1979年共27年的驗(yàn)潮資料水準(zhǔn)原點(diǎn)高程為:72.260米地方高程系絕對(duì)高程(海拔):地面點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的垂直距離相對(duì)高程:地面點(diǎn)到任一水準(zhǔn)面的垂直距離。高差:某兩點(diǎn)的高程之差。li國(guó)家測(cè)繪局國(guó)家測(cè)繪局國(guó)家測(cè)繪局國(guó)家測(cè)繪局三、全球定位系統(tǒng)-GPS 全球定位系統(tǒng)(GlobalPositioningSystem--GPS):是以人造衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無(wú)線電導(dǎo)航系統(tǒng),可提供高精度、全天候、實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位、定時(shí)及導(dǎo)航服務(wù)。(一)衛(wèi)星定位的技術(shù)優(yōu)勢(shì)觀測(cè)點(diǎn)之間無(wú)需通視提供3維坐標(biāo)定位精度高觀測(cè)時(shí)間短全天候定位操作簡(jiǎn)便(二)GPS系統(tǒng)的組成部分
空間部分:21顆工作衛(wèi)星,3顆備用衛(wèi)星(白色)。它們?cè)诟叨?0200km的近圓形軌道上運(yùn)行,分布在六個(gè)軌道面上,軌道傾角55°,兩個(gè)軌道面之間在經(jīng)度上相隔60°,每個(gè)軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置,保障了在地球上任意地點(diǎn),任意時(shí)刻,至少同時(shí)可見(jiàn)到四顆衛(wèi)星。
地面支撐系統(tǒng):1個(gè)主控站,3個(gè)注入站,5個(gè)監(jiān)測(cè)站。它向GPS導(dǎo)航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)及其軌道的參數(shù);監(jiān)控衛(wèi)星沿著預(yù)定軌道運(yùn)行;保持各顆衛(wèi)星處于GPS時(shí)間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。
用戶設(shè)備部分:GPS接收機(jī)——接收衛(wèi)星信號(hào),經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機(jī)所在點(diǎn)位的導(dǎo)航和定位信息。通常會(huì)顯示出用戶的位置、速度和時(shí)間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù),如到航路點(diǎn)的距離和航向或提供圖示。第3節(jié)地圖投影(一)地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特點(diǎn)1.所有經(jīng)線都是通過(guò)兩極的大圓且長(zhǎng)度相等;所有緯線都是圓,圓半徑由赤道向兩極遞減,極地成為一點(diǎn)。2.經(jīng)線表示南北方向;緯線表示東西方向。3.經(jīng)線和緯線是相互垂直的。
一、地圖投影的概念4.同一經(jīng)線上緯差相等的經(jīng)線弧長(zhǎng)相等;同一條緯線上經(jīng)差相等的緯線弧長(zhǎng)相等,在不同的緯線上,經(jīng)差相等的緯線弧長(zhǎng)不等,由赤道向兩極遞減。5.同一緯度帶內(nèi),經(jīng)差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積相等,同一經(jīng)度帶內(nèi),緯差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積不等,緯度越高,梯形面積越小(由低緯向高緯逐漸縮?。?。(二)地圖表面和地球球面的矛盾
地圖通常是繪在平面介質(zhì)上的,而地球體表面是曲面,因此制圖時(shí)首先需要把曲面展成平面,然而,球面是個(gè)不可展的曲面,要把球面直接展成平面,必然要發(fā)生斷裂或褶皺。無(wú)論是將球面沿經(jīng)線切開(kāi),或是沿緯線切開(kāi),或是在極點(diǎn)結(jié)合,或是在赤道結(jié)合,他們都是有裂隙的。地圖表面和地球球面的矛盾(三)地圖投影的概念
地圖投影:在地球橢球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。
數(shù)學(xué)上的投影面1面2幾何學(xué)--透視原理承影面燈源物體(投)影物體的形狀、燈源的位置、以及承影面的形狀都將影響投影的結(jié)果。地圖投影地圖投影是在幾何投影的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的平面球面F(,)=f(x,y)地圖投影的實(shí)質(zhì)就是球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面圖紙上。二、地圖投影變形變形是必然的--球面不可展(一)投影變形的性質(zhì)
把地圖上和地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)進(jìn)行比較,可以發(fā)現(xiàn)變形表現(xiàn)在長(zhǎng)度、面積和角度三個(gè)方面。
(二)變形橢圓
取地面上一個(gè)微分圓(小到可忽略地球曲面的影響,把它當(dāng)作平面看待),它投影到平面上通常會(huì)變?yōu)闄E圓,通過(guò)對(duì)這個(gè)橢圓的研究,分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。變形橢圓為經(jīng)線長(zhǎng)度比;為緯線長(zhǎng)度比微小圓→變形橢圓
該方程證明:地球面上的微小圓,投影后通常會(huì)變?yōu)闄E圓,即:以O(shè)'為原點(diǎn),以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。代入:X2+Y2=1,得特別方向:變形橢圓上相互垂直的兩個(gè)方向及經(jīng)向和緯向.
長(zhǎng)軸方向(長(zhǎng)度比)a短軸方向(長(zhǎng)度比)b經(jīng)線方向(長(zhǎng)度比)m
緯線方向(長(zhǎng)度比)n統(tǒng)稱主方向阿波隆尼定理(Apollonius):
橢圓內(nèi)兩共軛半徑的平方和等于其長(zhǎng)短半徑的平方和;
兩個(gè)共軛半徑與它們的交角正弦的乘積等于其長(zhǎng)短半徑的乘積。根據(jù)阿波隆尼定理有:m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b
橢圓共軛直徑:過(guò)橢圓內(nèi)任一條直徑(圖中LL)的平行弦中點(diǎn)的軌跡(圖中KK)。KKLOθabmnL
(三)長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形
長(zhǎng)度比(m):投影面上一微小線段dS′(變形橢圓半徑)和球面上相應(yīng)微小線段dS(球面上微小圓半徑,已按規(guī)定的比例縮?。┲?。>0變大=0不變<0變小長(zhǎng)度比是變量,隨位置和方向的變化而變化。長(zhǎng)度變形(Vm):長(zhǎng)度比與1的差。(四)面積比和面積變形
面積比(P):投影面上微小面積(變形橢圓面積)dF′與球面上相應(yīng)的微小面積(小圓面積)dF之比.面積變形(Vp):面積比與1的差。>0變大=0不變<0變小P=a·b=m
·
n(q=90)P=m
·
n
·sinq(q≠90)面積比是變量,隨位置的不同而變化。(五)角度變形
角度變形:投影面上任意兩方向線夾角與球面上相應(yīng)兩方向線夾角之差。以ω表示角度最大變形。 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x、y),A′點(diǎn)的坐標(biāo)為(x
′、y′),則(自學(xué))將兩式相除,得:顯然當(dāng)(a+a
′)=90°時(shí),右端取最大值,則最大方向變形:以w表示角度最大變形:若已知
m,n,q,則:(五)等變形線
在各種投影圖上,都存在著誤差或變形。并且各不同點(diǎn)的變形數(shù)量常常是不一樣的,為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來(lái)表示制圖區(qū)域的變形分布特征。
等變形線就是變形值相等各點(diǎn)的連線。它是根據(jù)計(jì)算的各種變形的數(shù)值(如p,w)繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的,如面積等變形線。等變形線在不同的投影圖上,具有不同的形狀,在方位投影中,因投影中心點(diǎn)無(wú)變形,從投影中心向外變形逐漸增大,等變形線成同心圓狀分布。
等變形線通常是用點(diǎn)虛線來(lái)表示的。
三、地圖投影方法(一)幾何投影法
地圖投影最初建立在透視的幾何原理上,它是把橢球面直接透視到平面上,或透視到可展開(kāi)的曲面上,如平面、圓柱面和圓錐面。幾何透視法是一種比較原始的投影方法,有很大的局限性,難于糾正投影變形,精度較低。絕大多數(shù)地圖投影都采用數(shù)學(xué)解析法。數(shù)學(xué)解析法是在球面與投影面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系,通過(guò)數(shù)學(xué)的方法確定經(jīng)緯線交點(diǎn)位置的一種投影方法。大多數(shù)的數(shù)學(xué)解析法往往是在透視投影的基礎(chǔ)上,發(fā)展建立球面與投影面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系的,因此兩種投影方法有一定聯(lián)系。
(二)數(shù)學(xué)解析法(二)數(shù)學(xué)解析法——以正軸圓錐投影為例經(jīng)線投影為放射直線,經(jīng)差l與投影面上d成正比:d=c·l(c為圓錐系數(shù),0<c<1)。緯線投影為同心圓弧,其半徑r是緯度的函數(shù),r
=f()。圓錐投影的一般公式為:X=r
s-
r
cosδr
=f()
Y=r
sind
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