第1章隨機(jī)事件及概率5-6節(jié)

隨機(jī)事件的獨(dú)立性與伯努利概型一、事件的相互獨(dú)立二、伯努利概型基本內(nèi)容：第五、六節(jié)

2023/2/51一、事件相互獨(dú)立1.問題的引入設(shè)A，B是試驗(yàn)E的兩事件，現(xiàn)比較P(A|B)與P(A).一般地,P(A|B)

≠P(A).只有B的發(fā)生對(duì)A發(fā)生的概率無影響，才會(huì)有P(A|B)

=P(A),若P(B)>0，可定義這時(shí)有2023/2/52引例：設(shè)Ai表示“第i次取得一等品”,事件A1的發(fā)生并不影響事件A2發(fā)生的概率大小.結(jié)果表明:設(shè)在10個(gè)元件中有7個(gè)一等品，放回地連續(xù)抽取兩次，每次抽取一個(gè)元件.分析：由題意知試比較有2023/2/53注：對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A與B,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立

(簡(jiǎn)稱為獨(dú)立).若2.事件的兩兩獨(dú)立定義.解釋:A與B相互獨(dú)立，是指A(或B)的發(fā)生與B(或A)的發(fā)生的概率無關(guān).2023/2/542o獨(dú)立與互不相容的關(guān)系它們是兩個(gè)不同的概念，無必然的聯(lián)系.(1)A與B相互獨(dú)立：P(AB)=P(A)P(B)(2)A與B互不相容:意義：A的發(fā)生與否對(duì)B的發(fā)生的(概率)無影響.意義:A與B不能同時(shí)發(fā)生,是事件間本身的關(guān)系.容易證明，若P(A)>0,P(B)>0,則A,B相互獨(dú)立與A,B互不相容不能同時(shí)成立的.2023/2/55性質(zhì):(2)若事件A與B相互獨(dú)立，也相互獨(dú)立.則下列各對(duì)事件推論：若這四對(duì)事件中,只要有一對(duì)獨(dú)立，則其余三對(duì)也獨(dú)立.2023/2/56只證事件從而由此得因?yàn)樽C(2):AB2023/2/57例1.一個(gè)家庭中有三個(gè)小孩,假定生男孩和女孩是等可能的,A=“一個(gè)家庭中有男孩、又有女孩”B=“一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩”討論A與B的獨(dú)立性？解：有三個(gè)小孩的家庭的樣本空間為2023/2/58于是有因此事件A與B相互獨(dú)立.2023/2/593.多個(gè)事件的獨(dú)立性(1)三個(gè)事件的獨(dú)立性定義1.

設(shè)三個(gè)事件A、B、C，如果滿足下述等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)則稱事件A、B、C兩兩獨(dú)立.2023/2/510定義2.設(shè)三個(gè)事件A、B、C，如果滿足下述等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱事件A、B、C相互獨(dú)立.注：3個(gè)事件相互獨(dú)立3個(gè)事件兩兩獨(dú)立（兩兩獨(dú)立）2023/2/511

例2:一個(gè)均勻的正四面體,其第一面染成紅色，第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以A,B,C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問A，B，C是否相互獨(dú)立?解:由于在四面體中紅、白、黑分別出現(xiàn)兩面,

因此又由題意知伯恩斯坦反例2023/2/512故有因此A,B,C不相互獨(dú)立.則三事件A,B,C兩兩獨(dú)立.由于2023/2/513(2)n個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)n個(gè)事件若其中任意兩個(gè)事件有則稱這n個(gè)事件兩兩獨(dú)立.定義1.2023/2/514定義2.設(shè)有n個(gè)事件若其中任意k個(gè)事件有則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立.n個(gè)事件相互獨(dú)立需要證多少個(gè)等式？注：n個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事件兩兩獨(dú)立2023/2/515則有性質(zhì)：相互獨(dú)立，2.設(shè)n個(gè)事件1.若n個(gè)事件A1,A2,…,An(n≥2)相互獨(dú)立，則將A1,A2,…,An中任意多個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件，所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立.2023/2/516事件A表示“系統(tǒng)L-R能正常工作”,例3.用4個(gè)元件組成一個(gè)系統(tǒng)如圖,各個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的,每個(gè)元件的可靠性(正常工作的概率)為p(0<p<1),求系統(tǒng)的可靠性.1234LR解:設(shè)事件Ai表示“第i個(gè)元件能正常工作”(i=1,2,3,4),則由于2023/2/517則有所以2023/2/518二、伯努利概型則稱E為伯努利試驗(yàn)或伯努利概型.

考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的試驗(yàn),它只出現(xiàn)(或只考慮)兩種結(jié)果,如某批產(chǎn)品抽樣檢查得到合格或不合格;射擊手命中目標(biāo)或不命中;發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號(hào)0或1;擲一次骰子點(diǎn)數(shù)“6”是否出現(xiàn)等.一般地,試驗(yàn)E只有兩種結(jié)果A和A，而P(A)=p(0<p<1),2023/2/5191.n重伯努利概型將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次,我們把這n次獨(dú)立重復(fù)伯努利試驗(yàn)總起來看成一個(gè)試驗(yàn),稱這種試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)(n重伯努利概型).注：n重伯努利試驗(yàn)有3個(gè)特點(diǎn)：(1)每次試驗(yàn)的結(jié)果只能是A或A;(2)A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率p保持不變;(3)各次試驗(yàn)相互獨(dú)立;2023/2/520例4.連續(xù)拋擲一枚硬幣兩次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況.2重伯努利概型例5.拋一顆骰子n次，觀察是否“出現(xiàn)3點(diǎn)”.n重伯努利概型A={正面},A={反面}且P(A)=1/2,A={出現(xiàn)3點(diǎn)},A={不出現(xiàn)3點(diǎn)}分析：且P(A)=1/6，分析：每次試驗(yàn)有2種結(jié)果每次試驗(yàn)有2種結(jié)果又試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次又試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行2次2023/2/5212.二項(xiàng)概率公式定理.在伯努利概型中,設(shè)事件A在各次試驗(yàn)中A恰好出現(xiàn)k次的概率為發(fā)生的概率為P(A)=p(0<p<1),則在n次試驗(yàn)中,2023/2/522證明：在n重伯努利概型中，事件A恰好出現(xiàn)k次：共有Cnk種方式,pk(1-p)n-k=pkqn-k

k次n-k次k-1次n-k-1次……且兩兩互不相容.每一種方式發(fā)生的概率均為2023/2/523因此事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生k次的概率為由于故稱此公式為二項(xiàng)概率公式.2023/2/524設(shè)某種藥對(duì)某種疾病的治愈率為80%,設(shè)Ak表示“恰好有k個(gè)人被治愈”,

現(xiàn)有10個(gè)患這種疾病的病人同時(shí)服用這種藥，(2)至少有6人被治愈的概率。求解：例6.3.應(yīng)用(1)恰有6人被治愈的概率；A6表示“恰好有6個(gè)人被治愈”,

據(jù)題意分析知,該模型屬于10重伯努利模型.2023/2/525設(shè)某種藥對(duì)某種疾病的治愈率為80%,設(shè)Ak表示“恰好有k個(gè)人被治愈”,

A表示“至少有6人被治愈”.由于所以現(xiàn)有10個(gè)患這種疾病的病人同時(shí)服用這種藥，(2)至少有6人被治愈的概率。求互不相容，且解：例6(續(xù)).2023/2/526內(nèi)容小結(jié)2.掌握伯努利概型及二項(xiàng)概率公式,并熟練利用1.理解事件的獨(dú)立性定義；熟練掌握利用獨(dú)立性計(jì)算事件的概率；此公式計(jì)算事件的概率。2023/2/527作業(yè)習(xí)題一(28)：24、26、27、282023/2/528備用題解:(1)因?yàn)锳，B不相容，所以所以2023/2/529(2)因?yàn)锳，B獨(dú)立，所以2023/2/5302.(血型問題)A,B,AB型的概率分別為0.46，0.40，0.11，0.03.現(xiàn)任選五人，求下列事件的概率：(1)兩個(gè)人為O型,其他三人分別為其他三種血型；(2)三人為O型,兩人為A型；(3)沒有一個(gè)人為AB型；解：設(shè)事件A=“兩個(gè)人為O型,其他三人分別為其他三種血型”；事件B=“三人為O型,兩人為A型”某國家的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，一個(gè)人的血型為O,2023/2/531事件C=“沒有一個(gè)人為AB型”,則2023/2/5323.向單位圓x2+y2<1內(nèi)隨機(jī)地投下3點(diǎn),則這3點(diǎn)中恰有2點(diǎn)落在第一象限中的概率為多少？解：“投下的每一點(diǎn)”可看作有兩種可能結(jié)果：A表示點(diǎn)落在第一象限中;第一象限中,落下3點(diǎn)相當(dāng)于3重伯努利試驗(yàn)，于是所求概率為A表示點(diǎn)不落在