直線與圓錐曲線含解析

直線與圓錐曲線1．過(guò)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線()A．有且只有一條B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有且只有四條解析：選B設(shè)該拋物線焦點(diǎn)為，(，y)，(，y)，則||＝||＋||＝x＋2＋xB＋p＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合條件的直線有且只有兩條．22．(2019·張掖高三診斷)過(guò)拋物線2＝4的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于，兩點(diǎn)，yxAB若，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為10，則||＝()A3AB1314A.3B.3C．5D.16310解析：選D過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式為|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋3＝16.33．(2018·聊城二模 )已知直線l與拋物線 C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，若線段 AB的中點(diǎn)為(2,1)，則直線l的方程為()A．y＝x－1B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3D．y＝2x－32＝4x1，①解析：選D設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y1222①－②得y1－y2＝4(x1－x2)，22由題可知x1≠y1－y244kAB＝2，∴直線l的方程為y－1＝2(－2)，即xx－x2y＋y22x112x－y－3＝0.故選D.x2y2π4．(2019·廈門(mén)模擬)過(guò)雙曲線C：4－9＝1的左焦點(diǎn)作傾斜角為6的直線l，則直線l與雙曲線C的交點(diǎn)情況是( )A．沒(méi)有交點(diǎn)B．只有一個(gè)交點(diǎn)C．有兩個(gè)交點(diǎn)且都在左支上D．有兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上1解析：選D直線的方程為＝3，代入x2y2＝1，整理得232ly(x＋13)：－x－8133C49x－160＝0，＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直線l與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)符號(hào)不同，故兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上．5．已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A，B，則|AB|＝()A．3B．4C．32D．42解析：選C由題意可設(shè)為＝＋，代入＝－22＋＋－3＝0，設(shè)(1，lyxyx＋3得xABy)，B(x，y)，則x＋x＝－1，xx＝b－3，y＋y＝x＋b＋x＋b＝－1＋2b.所以AB中點(diǎn)122121212121，－1＋b，該點(diǎn)在x＋y＝0上，即－11＋b＝0，得b＝1，所以|AB|＝坐標(biāo)為－2＋－2221＋12·x1＋x22－4x1x2＝32.6．(2019·青島模擬)已知點(diǎn)A是拋物線：2＝2(＞0)的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)Cxpyp點(diǎn)A作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，若△APQ的面積為4，則p的值為()1A.2B．13C.2D．2ppy＝kx－，2解析：選D設(shè)過(guò)點(diǎn)A與拋物線相切的直線方程為y＝kx－2.由2得xx2＝2py2pkx＋p2＝0，由＝4k2p2－4p2＝0，可得k＝±1，則Qp，p，P－p，p，221∴△APQ的面積為 ×2p×p＝4，∴p＝2.故選D.2x2y27．已知雙曲線C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，過(guò)點(diǎn)P(3,6)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為(12,15)，則雙曲線C的離心率為()ABNA．23B.2355C.D.522解析：選B設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中點(diǎn)為N(12，15)，得x1＋x2＝24，y122x1y1＋y＝30，由a2－b2＝1，2x2y2a2－b2＝1，x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2兩式相減得：a2＝b2，y1－22x1＋24215－64b225則x1－x2＝a2y1＋y2＝5a2.由直線AB的斜率k＝12－3＝1，∴5a2＝1，則a2＝4，∴雙2曲線的離心率cb23e＝a＝1＋a＝2.8．(2019·福州模擬)已知拋物線：2＝2(＞0)的焦點(diǎn)為，過(guò)F且斜率為1的直EypxpF線交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，MN⊥y軸于點(diǎn)，若四邊形的面積等于7，則E的方程為()NCMNFA．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8xpp解析：選CF2，0，直線AB的方程為y＝x－2.y2＝2px，可得x2－3px＋p2聯(lián)立得方程組p＝0，y＝x－2，4設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝3p，則y1＋y2＝x1＋x2－p＝2p，35p∴)，直線的方程為＝－M2，p，∴(0，p＋.NMCyx23p5p·p5p，∴四邊形CMNF的面積為S－S2＋22·p＝42∴C2，0梯形＝22＝7，OCMN△ONF1p7p又p＞0，∴p＝2，即拋物線E的方程為y2＝4x.故選C.x2 y29．(2018·湖北十堰二模 )如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線 C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與C的兩個(gè)分支分別交于點(diǎn)A，B.若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A．4B.723D.3C.3解析：選B∵△ABF2為等邊三角形，3|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°.由雙曲線的定義可得 |AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＝2a.又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a.|AF2|＝4a，|AF1|＝6a.12中，由余弦定理可得122122221°，在△AFF|FF|＝|AF|＋|AF|－2|AF|·|AF|cos60222122∴(2c)＝(6a)＋(4a)－2×4a×6a×2，即c＝7a，cc2∴e＝a＝a2＝7.故選B.10．(2019·貴陽(yáng)模擬)已知雙曲線x2－y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為1，2，動(dòng)直線l：yAA22111222)，＝kx＋m與圓x＋y＝1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P(x，y)，P(x，y則x2－x1的最小值為()A．22B．2C．4D．32解析：選A∵l與圓相切，|m|∴原點(diǎn)到直線的距離 d＝ ＝1，1＋k22y＝kx＋，222m∴m＝1＋k，由x2－y2＝1得(1－k)x－2mkx－(m＋1)＝0，1－k2≠0，＝422＋－k22＋＝2＋1－k2＝8＞0，∴m2x1x2＝1＋m2＜0，k－122mk∴k＜1，∴－1＜k＜1，由于x1＋x2＝1－k2，21＝122122222∴x－xx＋x－4xx＝|1－k2|＝1－k2，∵0≤k2＜1，∴當(dāng)k2＝0時(shí)，x2－x1取最小值22.故選A.2＝4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B―→11．(2019·安慶模擬)設(shè)拋物線x在拋物線上，且滿足AF＝―→―→3λFB，若|AF|＝，則λ的值為_(kāi)_______．2解析：設(shè)(1，y1)，(2，2)，AxBxy由拋物線x2＝4y得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，4準(zhǔn)線方程為y＝－1，―→331∵|AF|＝2，∴y1＋1＝2，解得y1＝2，∴x1＝±2，由拋物線的對(duì)稱性取x1＝2，∴A1AF的方程為y＝－2x＋1，2，2，∴直線4由y＝－2＋1，x＝2，x＝－22，4x解得1或＝2，x2＝4y.y＝2y∴(－22，2)，∴|―→|＝2＋1＝3，BFB―→＝λ―→―→―→31∵AFFB，∴|AF|＝λ|FB|，∴＝3λ，解得λ＝.22答案：12x2212．(2019·武漢調(diào)研)已知直線MN過(guò)橢圓2＋y＝1的左焦點(diǎn)F，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．直|PQ|2線PQ過(guò)原點(diǎn)O且與直線MN平行，直線PQ與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則||＝________.MN解析：法一：由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為x＝＋1，則直線MNMNmyPQ的方程為 x＝my.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).22y1mm122m1222∴||＝1＋2|1－2|＝m＋122·2.MNmyym＋2

x＝my＋1，x22＋y2＝1?(m2x＝my，222＋y234342222m＋1∴|PQ|＝1＋m|y3－y4|＝222＋2.m|Q|2故|MN|＝22.2b2法二：取特殊位置，當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)，易得|MN|＝a＝2，|PQ|＝2b＝2，則|PQ|2|MN|＝2 2.5答案：2 213．(2019·石家莊重中高中摸底 )已知拋物線 C：y2＝2px(p＞0)，直線l：y＝ 3(x－16，l與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝3，則p＝________.y2＝2px，解析：由y＝3x－消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝2p＋6，x1x2＝1，所以|AB|＝2x1＋x22－4x1x2＝23p＋216－4＝，所以p＝2.93答案：214．(2018·深圳二模)設(shè)過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點(diǎn)P(異于原點(diǎn)O)的直線與拋物線y2＝8px(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)，直線OP與拋物線y2＝8px(p＞0)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，則S△ABQ________.S△ABO解析：設(shè)直線 OP的方程為y＝kx(k≠0)，y＝kx，2p2p聯(lián)立得y2＝2px，解得Pk2，k，y＝kx，8p8p聯(lián)立得y2＝8px，解得Qk2，k，424221＋2∴|OP|＝k4＋k2＝k2，|PQ|＝36p236p26p1＋k2k4＋k2＝k2，S△Q|PQ|AB＝3.∴＝|△ABO|答案：315．已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F，E上一點(diǎn)(3，m)到焦點(diǎn)的距離為4.求拋物線E的方程；過(guò)F作直線l，交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，若直線AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1，求直線l的方程．解：(1)拋物線E：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為 x＝－p，26p由拋物線的定義可知 3－－2 ＝4，解得p＝2，∴拋物線 E的方程為y2＝4x.法一：由(1)得拋物線E的方程為y2＝4x，焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(x1，y1)，B(x2，y2)，2＝4x1，則y12＝4x2，y2兩式相減，整理得2－y1＝4(x1≠x2)．yx2－x1y2＋y1∵線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1，∴直線l的斜率kAB＝4＝4＝－2，y2＋y1－∴直線l的方程為y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.法二：由(1)得拋物線E的方程為y2＝4，焦點(diǎn)(1,0)，xF設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，由y2＝4x，消去x，得y2－4my－4＝0.x＝＋1my設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x，y)，B(x，y)，1122∵線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1，y1＋y24m1∴2＝2＝－1，解得m＝－2，∴直線的方程為＝－1＋1，即2＋－2＝0.lx2yxy16．(2019·佛山模擬)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,0)且與拋物線E：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在第四象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)A是PC中點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；以AB為直徑的圓交直線OB于點(diǎn)D，求|OB|·|OD|的值．解：(1)∵A是PC的中點(diǎn)，P(2,0)，C在y軸上，∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，又A在第四象限，∴A(1，－2)．∴直線l的方程為y＝2x－4.顯然直線l的斜率不為0，設(shè)l的方程為x＝＋2，(1，1)，(2，2)，聯(lián)立得方程組x＝my＋2，消去xy2＝4x，myAxyBxy得y2－4－8＝0，my722y1y2∴y1y2＝－8，故x1x2＝4·4＝4，∵D在以AB為直徑的圓上，且在直線―→―→OB上，∴AD⊥OD，―→―→，λy2)，設(shè)OD＝λOB＝(λx2―→―→―→λx2－x1，λy2－y1)，則AD＝OD－OA＝(∴―→·―→＝(λ2－x1)λ2＋(λ2－1)λy2＝0，ADODxxyy2222即λx2－4λ＋λy2＋8λ＝0，易知λ≠0，∴λ(x22＋y22)＝－4.22222y222222|λ|(x2＋y2)＝4.y217．(2019·廣州調(diào)研)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：a2＋x2126b2＝1(a＞b＞0)的上焦點(diǎn)為F1，橢圓C的離心率為2，且過(guò)點(diǎn)1，3.求橢圓C的方程；設(shè)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于點(diǎn)B(B不在y軸上)，垂直于l的直線―→―→，且|MO|＝|MA|，求直線l的