積分變換在偏微分

積分變換在偏微分方程中的應(yīng)用答辯人：王成林171406130指導(dǎo)老師：韓獻(xiàn)軍答辯時(shí)間：2010年5月26日摘要我們主要研究的是偏微分方程對(duì)應(yīng)的常微分方程的Green函數(shù)，利用這個(gè)Green函數(shù)可以把原來的偏微分方程的初（邊）值問題化為一個(gè)積分方程的形式，進(jìn)而對(duì)積分方程進(jìn)行解的討論。顯然，不同的偏微分方程的不同的初（邊）值問題對(duì)應(yīng)于不同的常微分方程。常微分方程Green函數(shù)的介紹Green函數(shù)，又稱點(diǎn)源數(shù)或者影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)重要概念。這概念之所以重要是由于以下原因：從物理上看，一個(gè)數(shù)學(xué)物理方程表示的是一種特定的場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間的關(guān)系（例如熱傳導(dǎo)方程表示溫度場(chǎng)和熱源的關(guān)系，Poisson方程表示靜電場(chǎng)和電荷分布的關(guān)系等等），而Green函數(shù)則代表一個(gè)點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)，知道了一個(gè)點(diǎn)源的場(chǎng)，就可以用迭加的方法算出任意源的場(chǎng)（空間連續(xù)分布的“源”可以堪稱是“無窮多”點(diǎn)源的迭加）。例如，靜電場(chǎng)的電勢(shì)u滿足Poisson方程

(2.1)其中，是電荷密度，根據(jù)庫(kù)倫定律，位于點(diǎn)的一個(gè)正電荷在無界空間中點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)是

(2.2)由此可求得任意電荷分布密度為的“源”在點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢(shì)為

(2.3)

其中d為空間體積元的簡(jiǎn)寫。式(2.2)中稱為方程(2.1)左邊Laplace算符在無界空間中的Green函數(shù)，用它可以求出方程(2.1)在無界空間的解式(2.3)。在一般的數(shù)學(xué)物理問題中，要求的是滿足一定邊界條件和（或）初始條件的解，相應(yīng)的Green函數(shù)也就比舉例的Green函數(shù)要復(fù)雜一些，因?yàn)樵谶@種情形下，一個(gè)點(diǎn)源所產(chǎn)生的場(chǎng)還受到邊界條件和（或）初始條件的影響，而這些影響本身也是待定的。

幾類常見的常微分方程的Green函數(shù)

3.1Cauchy問題的Green函數(shù)考慮經(jīng)典力學(xué)中受迫阻尼振子方程的Cauchy問題，t>0;x(t)=;(3.1.1)其中算子

L=-()（3.1.2）為阻尼常數(shù)，為系統(tǒng)頻率。根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，不妨把式(3.1.1)寫成

Lx=（3.1.3）如果定義函數(shù)G(t，)滿足

LG()=，>0(3.1.4)根據(jù)L的線性性質(zhì)應(yīng)有（3.1.5）事實(shí)上，上式兩邊作用L，并利用(3.1.4)Lx==（3.1.6）因此只要求得，即可求得非齊次方程(3.1.1)的一個(gè)特解，為了滿足初始條件，注意到齊次方程存在二個(gè)線性獨(dú)立解和，于是可得式(3.1.1)的通解為（3.1.7）其中常數(shù)a和b由初始條件決定。由式(3.1.4)決定的函數(shù)稱為Cauchy問題的Green函數(shù)。

邊值問題的Green函數(shù)考慮二階非齊次方程的邊值問題（3.2.1）其中

L=-（3.2.2）

>0和0.由于上述問題的方程非齊次，但邊界條件齊次，故稱為半齊次Strum-liouville邊值問題。定義Green函數(shù)G(X,)滿足LG=（3.2.3）式（3.2.1）的解可表示為（3.2.4）由于滿足齊次邊界條件，故u（x）也滿足。因此上式是（3.2.1）的解，但此解是否唯一?顯然，如果齊次方程的齊次邊值問題有非零解（即是L的本征值），上式不是式（3.2.1）的唯一解，因?yàn)榧俣M足

L=0（3.2.5）及齊次邊界條件，則

也是式(3.1.1)的解。此時(shí)，并不是對(duì)任何f（x），邊值問題式(3.1.1)都有解。事實(shí)上，由關(guān)系（3.2.6）因Lu=f（x）和L，故有

=（3.2.7）又因和u滿足齊次邊界條件，容易證明上式右邊為零，因此得相容性條件

=0（3.2.8）即必須與正交，式（3.2.1）才有解。與Cauchy問題的Green函數(shù)作一比較：在Cauchy問題中，齊次方程滿足Cauchy數(shù)據(jù)的非零解總存在，但在邊值問題中，齊次方程滿足齊次邊界條件的非零解不一定存在。假定0，即=0不是L的本征值。這時(shí)，可以證明Green函數(shù)存在且唯一。設(shè)與是式（3.2.3）的兩個(gè)解，則

滿足齊次邊界及齊次方程，故利用式（3.2.3）邊界條件第二式，容易證明；故恒有，亦即。下面用構(gòu)造法求，設(shè)和分別是齊次方程Lu=0的兩個(gè)解，取滿足x=a處的齊次邊界條件，而滿足x=b處的齊次邊界條件。和顯然線性獨(dú)立。因?yàn)槿绻途€性相關(guān)，則=常數(shù)，因此，同時(shí)滿足x=a與b兩端邊