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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn),若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.2.設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.3.已知底面為正方形的四棱錐,其一條側(cè)棱垂直于底面,那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的()A. B. C. D.4.如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng).C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)D.去年同期河南省的GDP總量不超過(guò)4000億元.5.已知點(diǎn)是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn),過(guò)作拋物線的切線,切點(diǎn)為,若點(diǎn)恰好在以,為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.一個(gè)組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.7.已知集合,,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.38.隨著人民生活水平的提高,對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況,圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí),一級(jí)空氣質(zhì)量最好,一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過(guò)天的月份有個(gè)B.第二季度與第一季度相比,空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.9.已知函數(shù),則下列判斷錯(cuò)誤的是()A.的最小正周期為 B.的值域?yàn)镃.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱10.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓的右焦點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.11.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.12.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.25二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________14.已知向量滿足,,則______________.15.在中,已知,,是邊的垂直平分線上的一點(diǎn),則__________.16.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),,.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上存在零點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍;若存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)在時(shí)取得最大值,求正實(shí)數(shù)的最大值;若直線與曲線和都相切,且在軸上的截距為,求實(shí)數(shù)的值.18.(12分)設(shè)函數(shù)()的最小值為.(1)求的值;(2)若,,為正實(shí)數(shù),且,證明:.19.(12分)橢圓:()的離心率為,它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)是直線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,求證:直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí).①求函數(shù)在處的切線方程;②定義其中,求;(2)當(dāng)時(shí),設(shè),(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若對(duì)任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,求的取值范圍.21.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)和產(chǎn)品銷量(萬(wàn)臺(tái))的具體數(shù)據(jù):月份56789101112研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)2361021131518產(chǎn)品銷量(萬(wàn)臺(tái))1122.563.53.54.5(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求出與的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(Ⅱ)該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度:以(單位:萬(wàn)臺(tái))表示日銷售,當(dāng)時(shí),不設(shè)獎(jiǎng);當(dāng)時(shí),每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元;當(dāng)時(shí),每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元;當(dāng)時(shí),每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售(萬(wàn)臺(tái))服從正態(tài)分布(其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一),請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月(按30天計(jì)算)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù):,,,,參考公式:相關(guān)系數(shù),其回歸直線中的,若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,計(jì)算,,,,根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.2、C【解析】
恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則恰有兩個(gè)不同的解,求出可確定是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定,令通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)t應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn),所以恰有兩個(gè)不同的解,顯然是它的一個(gè)解,另一個(gè)解由方程確定,且這個(gè)解不等于1.令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而,且.所以,當(dāng)且時(shí),恰有兩個(gè)極值點(diǎn),即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,函數(shù)與方程的應(yīng)用,屬于中檔題.3、C【解析】試題分析:通過(guò)對(duì)以下四個(gè)四棱錐的三視圖對(duì)照可知,只有選項(xiàng)C是符合要求的.考點(diǎn):三視圖4、C【解析】
利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng):與去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長(zhǎng),所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng),故B正確;對(duì)于C選項(xiàng):2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是:江蘇、山東、浙江、河南、遼寧,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,均居同一位的省有2個(gè),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng):去年同期河南省的GDP總量,故D正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了圖表分析,學(xué)生的分析能力,推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.6、C【解析】
根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個(gè)三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個(gè)底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個(gè)底面腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題、組合幾何體的體積問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.7、D【解析】
轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【詳解】由題意得,,集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算,考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.9、D【解析】
先將函數(shù)化為,再由三角函數(shù)的性質(zhì),逐項(xiàng)判斷,即可得出結(jié)果.【詳解】可得對(duì)于A,的最小正周期為,故A正確;對(duì)于B,由,可得,故B正確;對(duì)于C,正弦函數(shù)對(duì)稱軸可得:解得:,當(dāng),,故C正確;對(duì)于D,正弦函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為:解得:若圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則解得:,故D錯(cuò)誤;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換,三角函數(shù)的性質(zhì),熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標(biāo),然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因?yàn)?所以,所以.所以,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn),考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,則=2,化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率,動(dòng)點(diǎn)軌跡,屬于中檔題.12、C【解析】
通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時(shí),,于是有,則.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)和系數(shù)問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
,可得在時(shí),最小值為,時(shí),要使得最小值為,則對(duì)稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),要想在處取最小,則對(duì)稱軸要滿足并且,即,解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題,對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值,然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.14、1【解析】
首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出,再根據(jù)計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以又所以所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
作出圖形,設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn),可得出且,進(jìn)而可計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算,涉及平面向量數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量,考查計(jì)算能力,屬于中等題.16、1【解析】
由題意可得,再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,,通項(xiàng)公式為,令,求得,可得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)等于,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、;4;12.【解析】
由題意可知,,求導(dǎo)函數(shù),方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;由,則,分步討論,并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究,得出正實(shí)數(shù)的最大值;設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為,因?yàn)?,所以切線斜率,切線方程為,設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為,因?yàn)椋郧芯€斜率,即切線方程為,整理得.所以,求得,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,最后求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可知,,則,即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解,解得;因?yàn)?,則,①當(dāng),即時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,不符題意;②當(dāng)時(shí),令,解得:,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以不存在,使得在上的最大值為,不符題意;③當(dāng)時(shí),,解得:,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,若,則在上單調(diào)遞減,所以,若,則上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由題意可知,,即,整理得,因?yàn)榇嬖冢仙鲜?,所以,解得,綜上,的最大值為4;設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為,因?yàn)?,所以切線斜率,即切線方程整理得:由題意可知,,即,即,解得所以切線方程為,設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為,因?yàn)?,所以切線斜率,即切線方程為,整理得.所以,消去,整理得,且因?yàn)?,解得,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,所以,?【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的研究,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于難題.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)分類討論,去絕對(duì)值求出函數(shù)的解析式,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),得出的單調(diào)性,得出取最小值,即可求的值;(2)由(1)得出,利用“乘1法”,令,化簡(jiǎn)后利用基本不等式求出的最小值,即可證出.【詳解】(1)解:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),取最小值.(2)證明:由(1)可知.要證明:,即證,因?yàn)?,,為正?shí)數(shù),所以.當(dāng)且僅當(dāng),即,,時(shí)取等號(hào),所以.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式和基本不等式的應(yīng)用,還運(yùn)用“乘1法”和分類討論思想,屬于中檔題.19、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組,即可得出橢圓方程;(2)設(shè)點(diǎn),,,由,,結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)得出,,即,滿足,由的任意性,得出直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【詳解】(1)依題意得,解得即橢圓:;(2)設(shè)點(diǎn),,其中,由,得,即,注意到,于是,因此,滿足由的任意性知,,,即直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程,直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,屬于中檔題.20、(1)①;②8079;(2).【解析】
(1)①時(shí),,,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根據(jù)若對(duì)任意給定的,,在區(qū)間,上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,得到函數(shù)在區(qū)間,上不單調(diào),從而求得的取值范圍.【詳解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切線方程為.②,.令,則,.因?yàn)棰?所以②,由①+②得,所以.所以.(2),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減∵,,所以,函數(shù)在上的值域?yàn)?因?yàn)?,,故,,①此時(shí),當(dāng)變化時(shí)、的變化情況如下:—0+單調(diào)減最小值單調(diào)增∵,,∴對(duì)任意給定的,在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件,即令,,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單
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