zw-模塊復(fù)習課函數(shù)的應(yīng)用

XXX大學XXX老師人教版·高中數(shù)學章末提升智維私教985/211重點高校大學生實時一對一第四課函數(shù)的應(yīng)用【網(wǎng)絡(luò)體系】【核心速填】1.函數(shù)零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點之間的關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?y=f(x)有零點.2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的零點(1)當Δ=b2-4ac>0時,有兩個零點,即.(2)當Δ=b2-4ac=0時,有一個零點,即.(3)當Δ=b2-4ac<0時,_______.無零點3.f(a)·f(b)<0與函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)零點個數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)若不連續(xù),則f(a)·f(b)<0與函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的零點的個數(shù)沒有關(guān)系(即:零點存在性定理僅對連續(xù)函數(shù)適用).(2)連續(xù)函數(shù)y=f(x)若滿足_____________,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點;反過來函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點不一定有f(a)·f(b)<0,若y=f(x)為單調(diào)函數(shù),則一定有_____________.f(a)·f(b)<0f(a)·f(b)<04.冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長差異(1)冪函數(shù)y=xa(a>0)在區(qū)間(0,+∞)上的增長_________.(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)在區(qū)間(0,+∞)上_________呈“爆炸式”快速增長.(3)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)在區(qū)間(0,+∞)上增長先快后慢,逐步趨于_____.相對平穩(wěn)先慢后快平穩(wěn)【易錯提醒】1.函數(shù)零點的三個關(guān)注點(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù),不是一個點.(2)函數(shù)是否有零點是針對對應(yīng)方程是否有實數(shù)根而言的,反映在圖象上就是函數(shù)圖象與x軸有無交點.(3)方程有幾個解,則其對應(yīng)的函數(shù)就有幾個零點.若函數(shù)y=f(x)有零點,則零點一定在其定義域內(nèi).2.定義域在函數(shù)中的“優(yōu)先”地位(1)在研究函數(shù)時,首先要考慮定義域,在實際應(yīng)用問題中,除了從式子本身考慮外,還要注意自變量的實際意義.(2)在解決二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值時,要注意二次函數(shù)頂點的橫坐標是否在給定的區(qū)間內(nèi).類型一函數(shù)的零點問題【典例1】(1)(塘沽高一檢測)設(shè)方程|x2-3|=a的解的個數(shù)為m,則m不可能等于(

)A.1

B.2

C.3

D.4(2)記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱x0為函數(shù)f(x)的不動點.①當a=1,b=-2時,求f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)的“不動點”;②已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個“不動點”,求證:f(x)必有奇數(shù)個“不動點”.【解析】(1)選A.在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)y=|x2-3|和y=a的圖象,如圖所示:由圖象知,方程解的個數(shù)為0,2,3或4,不可能有1個解.(2)①當a=1,b=-2時,由f(x)=x得x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,所以f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)的“不動點”為-1和3.②函數(shù)f(x)的“不動點”即方程f(x)=x,亦即f(x)-x=0的根,因為f(x)為奇函數(shù),所以f(x)-x為奇函數(shù),設(shè)方程f(x)-x=0在(0,+∞)上有k(k∈N)個實數(shù)根,則它在(-∞,0)上也有k個實數(shù)根,又因為f(x)-x為奇函數(shù),所以f(0)-0=0,即0是f(x)-x=0的根,所以方程f(x)-x=0共有2k+1(k∈N)個實數(shù)根,所以函數(shù)f(x)有2k+1(k∈N)個“不動點”.即f(x)必有奇數(shù)個“不動點”.【延伸探究】在本題(2)的條件下,若函數(shù)f(x)=x2-x+a+1有且只有兩個相異的“不動點”,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意得方程x2-x+a+1=x有兩個不等實根,此方程可化為x2-2x+a+1=0,由Δ=(-2)2-4(a+1)>0,解得a<0.【方法技巧】確定函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)解方程f(x)=0有幾個根.(2)利用圖象找y=f(x)的圖象與x軸的交點或轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).(3)利用f(a)·f(b)與0的關(guān)系進行判斷.【變式訓練】已知關(guān)于x的方程a·4x+b·2x+c=0(a≠0),常數(shù)a,b同號,b,c異號,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.此方程無實根B.此方程有兩個互異的負實根C.此方程有兩個異號實根D.此方程僅有一個實根【解析】選D.令t=2x,則原方程可化為at2+bt+c=0,Δ=b2-4ac,又因為a,b同號,b,c異號,所以a與c異號,Δ>0,設(shè)方程at2+bt+c=0的兩個根為t1,t2,則t1+t2=<0,t1t2=所以方程at2+bt+c=0有一正一負兩個根,因為2x>0,所以2x取值唯一,故原方程只有一個實根.【補償訓練】若方程2ax2-x-1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一解,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意可知,a≠0.若方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個相等的實根,則此時無解.若方程有兩個不等實根,其中只有一個在區(qū)間(0,1)內(nèi),則令f(x)=2ax2-x-1,此時有f(0)f(1)=(0-0-1)(2a-1-1)<0,解得a>1,即實數(shù)a的取值范圍為(1,+∞).類型二二分法的應(yīng)用【典例2】用二分法求方程的近似解(精確度0.01).【解析】設(shè)f(x)=當x＜0時,f(x)＞0，沒有零點.當x＞0時，設(shè)0＜x1＜x2,則f(x1)-f(x2)=因為0＜x1＜x2,所以所以f(x1)-f(x2)＜0.所以f(x)=在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因為f(1)=所以當x∈(1,+∞)時，f(x)＞0,所以f(x)在(1,+∞)上沒有零點，f(x)在(0,1)上時，f(0.1)≈-2.102＜0,f(0.5)≈2.1618＞0,所以f(x)在(0.1,0.5)上有且只有一個零點，下面用二分法逐次計算：(0.1,0.5)→(0.1,0.3)→(0.2,0.3)→(0.2,0.25)→(0.2,0.225)→(0.2125,0.225)→(0.2125,0.21875).因為|0.21875-0.2125|=0.00625＜0.01，所以可取0.21875作為函數(shù)零點的近似值.因此原方程的近似解為0.21875.【方法技巧】用二分法求方程近似解注意的問題(1)看清題目的精確度,它決定著二分法的結(jié)束.(2)根據(jù)f(a0)·f(b0)<0確定初始區(qū)間,高次方程要先確定有幾個解再確定初始區(qū)間.(3)初始區(qū)間的選定一般在兩個整數(shù)間,不同初始區(qū)間結(jié)果是相同的,但二分的次數(shù)相差較大.(4)取區(qū)間中點c計算中點函數(shù)值f(c),確定新的零點區(qū)間,直到所取區(qū)間(an,bn)中,an與bn達到精確度要求.【變式訓練】(南京高一檢測)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一個近似解時,現(xiàn)在已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi),則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為

.【解析】設(shè)f(x)=x3-2x-1,其零點為x0,則f(1)=13-2×1-1=-2<0,f(2)=23-2×2-1=3>0.取區(qū)間(1,2)的中點x1=1.5,計算f(1.5)=1.53-2×1.5-1=-0.625<0,因為f(1.5)·f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).答案:(1.5,2)(說明:寫成閉區(qū)間也算對)【補償訓練】函數(shù)與函數(shù)y=lgx的圖象的交點的橫坐標(精確度0.1)約是()A.1.7125B.1.8025C.1.8125D.1.8775【解析】選C.設(shè)f(x)=經(jīng)計算所以方程在(1，2)內(nèi)有解，設(shè)為x=x0.取區(qū)間(1,2)的中點x1=1.5,用計算器算得f(1.5)≈-0.1775,因為f(1.5)f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).取區(qū)間(1.5,2)的中點x2=1.75,用計算器算得f(1.75)≈-0.0543,因為f(1.75)f(2)<0,所以x0∈(1.75,2).取區(qū)間(1.75,2)的中點x3=1.875,用計算器算得f(1.875)≈0.0004,因為f(1.75)f(1.875)<0,所以x0∈(1.75,1.875).取區(qū)間(1.75,1.875)的中點x4=1.8125,用計算器算得f(1.8125)≈-0.0264,因為f(1.8125)f(1.875)<0,所以x0∈(1.8125,1.875).由于|1.875-1.8125|=0.0625<0.1,所以函數(shù)f(x)=的零點即與y=lgx圖象交點的橫坐標的近似值可取1.8125.類型三函數(shù)建模思想【典例3】(1)某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動,規(guī)定一次購物付款總額:①如果不超過200元,則不給予優(yōu)惠;②如果超過200元但不超過500元,則按標價給予9折優(yōu)惠;③如果超過500元,其500元內(nèi)的按第②條給予優(yōu)惠,超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.某人兩次去購物,分別付款168元和423元,假設(shè)他一次性購買上述兩次同樣的商品,則應(yīng)付款是(

)A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元(2)(太原高一檢測)某集團公司計劃分三期建立垃圾資源化處理工廠,如表:第1期:2010年初投入1億元興建垃圾堆肥廠年處理有機肥十多萬噸年綜合收益2千萬元第2期:2012年初投入4億元興建垃圾焚燒發(fā)電一廠年發(fā)電量1.3億千瓦時年綜合收益4千萬元第3期:2014年初投入2億元興建垃圾焚燒發(fā)電二廠年發(fā)電量1.3億千瓦時年綜合收益4千萬元如果每期的投入在當年即可見效,且不考慮存貸款利息,設(shè)2010年為第一年,第x年的總收益為f(x)(單位:千萬元),試求f(x)的表達式,并預(yù)測到哪一年能收回全部投資款.【解析】(1)選C.由題意知，付款額y與購物總額x的關(guān)系為由于168＜180，故168元沒有優(yōu)惠，實付購物額為168元.當x=500時，y=0.9×500=450(元).因為423<450,所以購物總額在(200，500］內(nèi)，由0.9x=423,解得x=470,兩次購物總額為168+470=638(元).當x=638時，y=0.9×500+0.7×(638-500)=546.6(元).(2)由題意得顯然當x≤4時，不能收回全部投資款.而x≥5時，由f(x)=10x-24>70，得x>9.4，取x=10，所以到2019年可以收回全部投資款.【方法技巧】1.建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題的步驟(1)對實際問題進行抽象概括,確定變量之間的主被動關(guān)系,并用x,y分別表示.(2)建立函數(shù)模型,將變量y表示為x的函數(shù),此時要注意函數(shù)的定義域.(3)求解函數(shù)模型,并還原為實際問題的解.2.建模的三個原則(1)簡化原則:建立模型,要對原型進行一定的簡化,抓主要因素、主變量,盡量建立較低階、較簡便的模型.(2)可推演原則:建立的模型一定要有意義,既能對其進行理論分析,又能計算和推理,且能推演出正確結(jié)果.(3)反映性原則:建立的模型必須真實地反映原型的特征和關(guān)系,即應(yīng)與原型具有“相似性”,所得模型的解應(yīng)具有說明現(xiàn)實問題的功能,能回到具體研究對象中去解決問題.【變式訓練】(龍巖高一檢測)《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定,個人所得稅起征點為3500元(即3500元以下不必納稅,超過3500元的部分為當月應(yīng)納稅所得額),應(yīng)繳納的稅款按下表分段累計計算:全月應(yīng)納稅所得額稅率%不超過1500元的部分3超過1500元至4500元部分10(1)列出公民全月工資總額x(0<x<8000)元與當月應(yīng)繳納稅款額y元的函數(shù)關(guān)系式.(2)劉麗十二月份繳納個人所得稅款300元,那么她當月工資總額是多少?【解析】(1)依題意可得：①當0＜x≤3500時，y=0.②當3500＜x≤5000時，y=(x-3500)·3%=0.03x-105.③當5000＜x＜8000時，y=45+(x-5000)·10%=0.1x-455,綜上可得(2)因為需交稅300元，故有5000＜x＜8000,所以300=0.1x-455,所以x=7550.答：劉麗十二月份工資總額為7550元.【補償訓練】高一某個研究性學習小組進行市場調(diào)查,某生活用品在過去100天的銷售量和價格均為時間t的函數(shù),且銷售量近似地滿足g(t)=-t+110(1≤t≤100,t∈N),前40天的價格為f(t)=t+8(1≤t≤40,t∈N),后60天的價格為f(t)=-0.5t+69(41≤t≤100,t∈N).(1)試寫出該種生活用品的日銷售額S與時間t的函數(shù)關(guān)系式.(2)試問在過去100天中是否存在最高銷售額,若存在,是哪天?【解析】(1)S=g(t)·f(t)(2)當1≤t≤40時，S=-t2+102t+880=-(t-51)2+880+512,在［1,40］上為增函數(shù)，所以當t=40時，Smax=-402+102×40+880=3360;當41≤t≤100時，S=0.5t2-124t=0.5(t-124)2-×1242,在［41，100］上函數(shù)為減函數(shù)，所以t=41時，Smax=412×0.5-124×41=3346.5.所以在過去100天中第40天的銷售額最高，最高值為3360元.類型四分類討論、函數(shù)與方程思想【典例4】(石家莊高一檢測)試討論函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1-a(a∈R)的零點個數(shù).【解析】令f(x)=0即x2-2|x|-1=a,令g(x)=x2-2|x|-1,h(x)=a,則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)與h(x)交點的個數(shù),如圖:①當a<-2時,g(x)的圖象與直線h(x)=a無交點,方程x2-2|x|-1=a無實根,故函數(shù)f(x)無零點.②當a=-2或a>-1時,g(x)的圖象與直線h(x)=a有兩個交點,方程x2-2|x|-1=a有兩個實根,故函數(shù)f(x)有兩個零點.③當-2<a<-1時,g(x)的圖象與直線h(x)=a有四個交點,方程x2-2|x|-1=a有四個實根,故函數(shù)f(x)有四個零點.④當a=-1時,g(x)的圖象與直線h(x)=a有三個交點,方程x2-2|x|-1=a有三個實根