zw-模塊復(fù)習(xí)課函數(shù)的應(yīng)用

XXX大學(xué)XXX老師人教版·高中數(shù)學(xué)章末提升智維私教985/211重點(diǎn)高校大學(xué)生實(shí)時(shí)一對(duì)一第四課函數(shù)的應(yīng)用【網(wǎng)絡(luò)體系】【核心速填】1.函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)之間的關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?y=f(x)有零點(diǎn).2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的零點(diǎn)(1)當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),即.(2)當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),即.(3)當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí),_______.無(wú)零點(diǎn)3.f(a)·f(b)<0與函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)若不連續(xù),則f(a)·f(b)<0與函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)沒(méi)有關(guān)系(即:零點(diǎn)存在性定理僅對(duì)連續(xù)函數(shù)適用).(2)連續(xù)函數(shù)y=f(x)若滿足_____________,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);反過(guò)來(lái)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)不一定有f(a)·f(b)<0,若y=f(x)為單調(diào)函數(shù),則一定有_____________.f(a)·f(b)<0f(a)·f(b)<04.冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異(1)冪函數(shù)y=xa(a>0)在區(qū)間(0,+∞)上的增長(zhǎng)_________.(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)在區(qū)間(0,+∞)上_________呈“爆炸式”快速增長(zhǎng).(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)在區(qū)間(0,+∞)上增長(zhǎng)先快后慢,逐步趨于_____.相對(duì)平穩(wěn)先慢后快平穩(wěn)【易錯(cuò)提醒】1.函數(shù)零點(diǎn)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù),不是一個(gè)點(diǎn).(2)函數(shù)是否有零點(diǎn)是針對(duì)對(duì)應(yīng)方程是否有實(shí)數(shù)根而言的,反映在圖象上就是函數(shù)圖象與x軸有無(wú)交點(diǎn).(3)方程有幾個(gè)解,則其對(duì)應(yīng)的函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn).若函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn),則零點(diǎn)一定在其定義域內(nèi).2.定義域在函數(shù)中的“優(yōu)先”地位(1)在研究函數(shù)時(shí),首先要考慮定義域,在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,除了從式子本身考慮外,還要注意自變量的實(shí)際意義.(2)在解決二次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值時(shí),要注意二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在給定的區(qū)間內(nèi).類(lèi)型一函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【典例1】(1)(塘沽高一檢測(cè))設(shè)方程|x2-3|=a的解的個(gè)數(shù)為m,則m不可能等于(

)A.1

B.2

C.3

D.4(2)記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn).①當(dāng)a=1,b=-2時(shí),求f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)的“不動(dòng)點(diǎn)”;②已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”,求證:f(x)必有奇數(shù)個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”.【解析】(1)選A.在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)y=|x2-3|和y=a的圖象,如圖所示:由圖象知,方程解的個(gè)數(shù)為0,2,3或4,不可能有1個(gè)解.(2)①當(dāng)a=1,b=-2時(shí),由f(x)=x得x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,所以f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)的“不動(dòng)點(diǎn)”為-1和3.②函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”即方程f(x)=x,亦即f(x)-x=0的根,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x)-x為奇函數(shù),設(shè)方程f(x)-x=0在(0,+∞)上有k(k∈N)個(gè)實(shí)數(shù)根,則它在(-∞,0)上也有k個(gè)實(shí)數(shù)根,又因?yàn)閒(x)-x為奇函數(shù),所以f(0)-0=0,即0是f(x)-x=0的根,所以方程f(x)-x=0共有2k+1(k∈N)個(gè)實(shí)數(shù)根,所以函數(shù)f(x)有2k+1(k∈N)個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”.即f(x)必有奇數(shù)個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”.【延伸探究】在本題(2)的條件下,若函數(shù)f(x)=x2-x+a+1有且只有兩個(gè)相異的“不動(dòng)點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意得方程x2-x+a+1=x有兩個(gè)不等實(shí)根,此方程可化為x2-2x+a+1=0,由Δ=(-2)2-4(a+1)>0,解得a<0.【方法技巧】確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)解方程f(x)=0有幾個(gè)根.(2)利用圖象找y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)或轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)利用f(a)·f(b)與0的關(guān)系進(jìn)行判斷.【變式訓(xùn)練】已知關(guān)于x的方程a·4x+b·2x+c=0(a≠0),常數(shù)a,b同號(hào),b,c異號(hào),則下列結(jié)論中正確的是(

)A.此方程無(wú)實(shí)根B.此方程有兩個(gè)互異的負(fù)實(shí)根C.此方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根D.此方程僅有一個(gè)實(shí)根【解析】選D.令t=2x,則原方程可化為at2+bt+c=0,Δ=b2-4ac,又因?yàn)閍,b同號(hào),b,c異號(hào),所以a與c異號(hào),Δ>0,設(shè)方程at2+bt+c=0的兩個(gè)根為t1,t2,則t1+t2=<0,t1t2=所以方程at2+bt+c=0有一正一負(fù)兩個(gè)根,因?yàn)?x>0,所以2x取值唯一,故原方程只有一個(gè)實(shí)根.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若方程2ax2-x-1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】由題意可知,a≠0.若方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)相等的實(shí)根,則此時(shí)無(wú)解.若方程有兩個(gè)不等實(shí)根,其中只有一個(gè)在區(qū)間(0,1)內(nèi),則令f(x)=2ax2-x-1,此時(shí)有f(0)f(1)=(0-0-1)(2a-1-1)<0,解得a>1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+∞).類(lèi)型二二分法的應(yīng)用【典例2】用二分法求方程的近似解(精確度0.01).【解析】設(shè)f(x)=當(dāng)x＜0時(shí),f(x)＞0，沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)0＜x1＜x2,則f(x1)-f(x2)=因?yàn)?＜x1＜x2,所以所以f(x1)-f(x2)＜0.所以f(x)=在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(1)=所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)＞0,所以f(x)在(1,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn)，f(x)在(0,1)上時(shí)，f(0.1)≈-2.102＜0,f(0.5)≈2.1618＞0,所以f(x)在(0.1,0.5)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，下面用二分法逐次計(jì)算：(0.1,0.5)→(0.1,0.3)→(0.2,0.3)→(0.2,0.25)→(0.2,0.225)→(0.2125,0.225)→(0.2125,0.21875).因?yàn)閨0.21875-0.2125|=0.00625＜0.01，所以可取0.21875作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值.因此原方程的近似解為0.21875.【方法技巧】用二分法求方程近似解注意的問(wèn)題(1)看清題目的精確度,它決定著二分法的結(jié)束.(2)根據(jù)f(a0)·f(b0)<0確定初始區(qū)間,高次方程要先確定有幾個(gè)解再確定初始區(qū)間.(3)初始區(qū)間的選定一般在兩個(gè)整數(shù)間,不同初始區(qū)間結(jié)果是相同的,但二分的次數(shù)相差較大.(4)取區(qū)間中點(diǎn)c計(jì)算中點(diǎn)函數(shù)值f(c),確定新的零點(diǎn)區(qū)間,直到所取區(qū)間(an,bn)中,an與bn達(dá)到精確度要求.【變式訓(xùn)練】(南京高一檢測(cè))在用二分法求方程x3-2x-1=0的一個(gè)近似解時(shí),現(xiàn)在已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi),則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為

.【解析】設(shè)f(x)=x3-2x-1,其零點(diǎn)為x0,則f(1)=13-2×1-1=-2<0,f(2)=23-2×2-1=3>0.取區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)x1=1.5,計(jì)算f(1.5)=1.53-2×1.5-1=-0.625<0,因?yàn)閒(1.5)·f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).答案:(1.5,2)(說(shuō)明:寫(xiě)成閉區(qū)間也算對(duì))【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)與函數(shù)y=lgx的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(精確度0.1)約是()A.1.7125B.1.8025C.1.8125D.1.8775【解析】選C.設(shè)f(x)=經(jīng)計(jì)算所以方程在(1，2)內(nèi)有解，設(shè)為x=x0.取區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)x1=1.5,用計(jì)算器算得f(1.5)≈-0.1775,因?yàn)閒(1.5)f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).取區(qū)間(1.5,2)的中點(diǎn)x2=1.75,用計(jì)算器算得f(1.75)≈-0.0543,因?yàn)閒(1.75)f(2)<0,所以x0∈(1.75,2).取區(qū)間(1.75,2)的中點(diǎn)x3=1.875,用計(jì)算器算得f(1.875)≈0.0004,因?yàn)閒(1.75)f(1.875)<0,所以x0∈(1.75,1.875).取區(qū)間(1.75,1.875)的中點(diǎn)x4=1.8125,用計(jì)算器算得f(1.8125)≈-0.0264,因?yàn)閒(1.8125)f(1.875)<0,所以x0∈(1.8125,1.875).由于|1.875-1.8125|=0.0625<0.1,所以函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)即與y=lgx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的近似值可取1.8125.類(lèi)型三函數(shù)建模思想【典例3】(1)某商場(chǎng)對(duì)顧客實(shí)行購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng),規(guī)定一次購(gòu)物付款總額:①如果不超過(guò)200元,則不給予優(yōu)惠;②如果超過(guò)200元但不超過(guò)500元,則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠;③如果超過(guò)500元,其500元內(nèi)的按第②條給予優(yōu)惠,超過(guò)500元的部分給予7折優(yōu)惠.某人兩次去購(gòu)物,分別付款168元和423元,假設(shè)他一次性購(gòu)買(mǎi)上述兩次同樣的商品,則應(yīng)付款是(

)A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元(2)(太原高一檢測(cè))某集團(tuán)公司計(jì)劃分三期建立垃圾資源化處理工廠,如表:第1期:2010年初投入1億元興建垃圾堆肥廠年處理有機(jī)肥十多萬(wàn)噸年綜合收益2千萬(wàn)元第2期:2012年初投入4億元興建垃圾焚燒發(fā)電一廠年發(fā)電量1.3億千瓦時(shí)年綜合收益4千萬(wàn)元第3期:2014年初投入2億元興建垃圾焚燒發(fā)電二廠年發(fā)電量1.3億千瓦時(shí)年綜合收益4千萬(wàn)元如果每期的投入在當(dāng)年即可見(jiàn)效,且不考慮存貸款利息,設(shè)2010年為第一年,第x年的總收益為f(x)(單位:千萬(wàn)元),試求f(x)的表達(dá)式,并預(yù)測(cè)到哪一年能收回全部投資款.【解析】(1)選C.由題意知，付款額y與購(gòu)物總額x的關(guān)系為由于168＜180，故168元沒(méi)有優(yōu)惠，實(shí)付購(gòu)物額為168元.當(dāng)x=500時(shí)，y=0.9×500=450(元).因?yàn)?23<450,所以購(gòu)物總額在(200，500］內(nèi)，由0.9x=423,解得x=470,兩次購(gòu)物總額為168+470=638(元).當(dāng)x=638時(shí)，y=0.9×500+0.7×(638-500)=546.6(元).(2)由題意得顯然當(dāng)x≤4時(shí)，不能收回全部投資款.而x≥5時(shí)，由f(x)=10x-24>70，得x>9.4，取x=10，所以到2019年可以收回全部投資款.【方法技巧】1.建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括,確定變量之間的主被動(dòng)關(guān)系,并用x,y分別表示.(2)建立函數(shù)模型,將變量y表示為x的函數(shù),此時(shí)要注意函數(shù)的定義域.(3)求解函數(shù)模型,并還原為實(shí)際問(wèn)題的解.2.建模的三個(gè)原則(1)簡(jiǎn)化原則:建立模型,要對(duì)原型進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化,抓主要因素、主變量,盡量建立較低階、較簡(jiǎn)便的模型.(2)可推演原則:建立的模型一定要有意義,既能對(duì)其進(jìn)行理論分析,又能計(jì)算和推理,且能推演出正確結(jié)果.(3)反映性原則:建立的模型必須真實(shí)地反映原型的特征和關(guān)系,即應(yīng)與原型具有“相似性”,所得模型的解應(yīng)具有說(shuō)明現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的功能,能回到具體研究對(duì)象中去解決問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】(龍巖高一檢測(cè))《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定,個(gè)人所得稅起征點(diǎn)為3500元(即3500元以下不必納稅,超過(guò)3500元的部分為當(dāng)月應(yīng)納稅所得額),應(yīng)繳納的稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算:全月應(yīng)納稅所得額稅率%不超過(guò)1500元的部分3超過(guò)1500元至4500元部分10(1)列出公民全月工資總額x(0<x<8000)元與當(dāng)月應(yīng)繳納稅款額y元的函數(shù)關(guān)系式.(2)劉麗十二月份繳納個(gè)人所得稅款300元,那么她當(dāng)月工資總額是多少?【解析】(1)依題意可得：①當(dāng)0＜x≤3500時(shí)，y=0.②當(dāng)3500＜x≤5000時(shí)，y=(x-3500)·3%=0.03x-105.③當(dāng)5000＜x＜8000時(shí)，y=45+(x-5000)·10%=0.1x-455,綜上可得(2)因?yàn)樾杞欢?00元，故有5000＜x＜8000,所以300=0.1x-455,所以x=7550.答：劉麗十二月份工資總額為7550元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】高一某個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查,某生活用品在過(guò)去100天的銷(xiāo)售量和價(jià)格均為時(shí)間t的函數(shù),且銷(xiāo)售量近似地滿足g(t)=-t+110(1≤t≤100,t∈N),前40天的價(jià)格為f(t)=t+8(1≤t≤40,t∈N),后60天的價(jià)格為f(t)=-0.5t+69(41≤t≤100,t∈N).(1)試寫(xiě)出該種生活用品的日銷(xiāo)售額S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.(2)試問(wèn)在過(guò)去100天中是否存在最高銷(xiāo)售額,若存在,是哪天?【解析】(1)S=g(t)·f(t)(2)當(dāng)1≤t≤40時(shí)，S=-t2+102t+880=-(t-51)2+880+512,在［1,40］上為增函數(shù)，所以當(dāng)t=40時(shí)，Smax=-402+102×40+880=3360;當(dāng)41≤t≤100時(shí)，S=0.5t2-124t=0.5(t-124)2-×1242,在［41，100］上函數(shù)為減函數(shù)，所以t=41時(shí)，Smax=412×0.5-124×41=3346.5.所以在過(guò)去100天中第40天的銷(xiāo)售額最高，最高值為3360元.類(lèi)型四分類(lèi)討論、函數(shù)與方程思想【典例4】(石家莊高一檢測(cè))試討論函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1-a(a∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】令f(x)=0即x2-2|x|-1=a,令g(x)=x2-2|x|-1,h(x)=a,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)與h(x)交點(diǎn)的個(gè)數(shù),如圖:①當(dāng)a<-2時(shí),g(x)的圖象與直線h(x)=a無(wú)交點(diǎn),方程x2-2|x|-1=a無(wú)實(shí)根,故函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn).②當(dāng)a=-2或a>-1時(shí),g(x)的圖象與直線h(x)=a有兩個(gè)交點(diǎn),方程x2-2|x|-1=a有兩個(gè)實(shí)根,故函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).③當(dāng)-2<a<-1時(shí),g(x)的圖象與直線h(x)=a有四個(gè)交點(diǎn),方程x2-2|x|-1=a有四個(gè)實(shí)根,故函數(shù)f(x)有四個(gè)零點(diǎn).④當(dāng)a=-1時(shí),g(x)的圖象與直線h(x)=a有三個(gè)交點(diǎn),方程x2-2|x|-1=a有三個(gè)實(shí)根