【新教材教案】9.2.3 總體集中趨勢(shì)的估計(jì) 教學(xué)設(shè)計(jì)-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)

9.2.3總體集中趨勢(shì)估計(jì)本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科-必修二（人教A版第九章9.2.3總集中趨勢(shì)的估計(jì)》，本節(jié)課通過(guò)對(duì)反映樣本數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的回顧，進(jìn)一步學(xué)習(xí)在頻率分布方圖中對(duì)三個(gè)量的算法，同時(shí)加深對(duì)它們的理解和應(yīng)用。進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想與方法。從發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課目

學(xué)素

結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨數(shù)學(xué)建模在體情境中運(yùn)用眾數(shù)中數(shù)平均數(shù)勢(shì)參數(shù)眾、中位數(shù)、平均)．

2.邏輯推理：運(yùn)用眾數(shù)、中位數(shù)平均數(shù)進(jìn)行判斷B.會(huì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：計(jì)算眾、中位數(shù)、平均數(shù)C.理集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含.數(shù)分析：眾數(shù)、中數(shù)、平均數(shù)的含義1.教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的眾、中位數(shù)、平均數(shù)．2.教學(xué)難點(diǎn)：理解集中趨勢(shì)參數(shù)統(tǒng)計(jì)含.多媒體教學(xué)過(guò)程一、溫故知新、定:般地，一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè).、計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百位數(shù)的步:第1步，按從小到大排列原始數(shù).

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)

nn第2步，計(jì)算i=p第3步，若i不整數(shù)，而大于i的鄰整數(shù)為j則分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是數(shù)，則第p百位數(shù)為第i項(xiàng)與(i項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均、根據(jù)頻率分布直方圖（頻率分布表）計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)：首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算估計(jì)百分位

由回顧知識(shí)出數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)，解方程可得．發(fā)提出問(wèn)題，讓學(xué)（①唯一②不一定是本數(shù)據(jù)中的個(gè)數(shù)）平均數(shù)：一般地，如果有個(gè)數(shù),,,...x，2

生感受到對(duì)反映樣本數(shù)字集中趨勢(shì)量；那么=

x...n

n

叫這個(gè)數(shù)的平均數(shù).

平均數(shù)、眾數(shù)、中位眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出次最的數(shù).

數(shù)學(xué)習(xí)的重要性。發(fā)中位數(shù)一組數(shù)據(jù)按大小依次列處在最中間位的一個(gè)數(shù)據(jù)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直（或最間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）平數(shù)：一般地，果有n數(shù),,,...，2

觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。那么x=

n

n

叫這n數(shù)的平均數(shù).1術(shù)均數(shù)=

xxn=xni

i2）如n(n)個(gè)x,...,其中x數(shù)f,1kii1則x(fxf11

xf)kk

ki1

fii出現(xiàn)率則xii12

k

i

ii做一做1．判斷下列說(shuō)法是否正確(確的打√，誤的打×”)(1)改變一組數(shù)據(jù)中的一個(gè)則些平數(shù)一定會(huì)改變．()(2)改變組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)，則其中位數(shù)也一定會(huì)改變)(3)在頻分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo))

;;×、求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（1）、1，2，，33，5，5，8，8，9眾是：3和8（2）、1，2，，33，5，5，8，9眾是：、求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（1）、1，2，，33，4，6，8，8，9中數(shù)是：5（2）1，，3，，3，，88，，9位數(shù)是在一次學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的名動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī)(米)人數(shù)

．50

．60

．65

．70

1

．80分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)。解：在個(gè)據(jù)中，1.75出了，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)據(jù)是中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70答：名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75米）、（）（米）。這數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

1.901.69二、探究新知為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過(guò)樣本的分布規(guī)律估計(jì)總體的分布規(guī)律時(shí)可能不太關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征如于某縣今年小麥的收成情況可會(huì)更關(guān)注該縣今年小麥的總產(chǎn)量或平均每公頃的產(chǎn)量而是產(chǎn)量的分布對(duì)一國(guó)家國(guó)民的身高情況們可能會(huì)更關(guān)注身高的平均數(shù)或中位數(shù)，而不是身高的分布；等.在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到平均數(shù)、中位數(shù)和眾等都是刻畫(huà)中心位的量，它們從不同角刻了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。

通過(guò)具體問(wèn)題，讓學(xué)生感受反映樣本數(shù)字集中趨勢(shì)量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位

下面我們通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義們之?dāng)?shù)學(xué)習(xí)解決實(shí)際問(wèn)間的聯(lián)與區(qū)別，并根據(jù)樣本的中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨

題中的運(yùn)用，發(fā)展學(xué)例

利用下表中戶居民用戶的月用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的理核心素養(yǎng)。平均數(shù)和中位數(shù).9.013.614.95.97.16.45.42.08.65.44.96.82.010.55.116.86.011.11.34.92.310.012.47.85.22.422.43.67.13.218.35.13.012.022.25.52.09.93.65.64.47.95.124.57.54.720.55.55.75.56.02.43.73.84.12.35.37.88.14.36.81.37.04.91.87.128.013.85.54.63.2該市某個(gè)區(qū)有

2000戶，你能估計(jì)該小的月用水量嗎？8.79t所以估計(jì)全市居民用戶的月均用水量約為8.79t其中位數(shù)約為跟蹤練習(xí)1.小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了居民用水量的平均數(shù)和中

位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請(qǐng)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù).y

10077

9.483t,中位數(shù)有變，是

6.6t思考:并與真實(shí)的樣本平均和中位數(shù)作比較。哪個(gè)量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？平均數(shù)由原來(lái)的變9.483t,中數(shù)沒(méi)有變化這因?yàn)闃颖揪鶖?shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有,本中的任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變會(huì)引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)并未利用其他數(shù)據(jù)不任一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起中位數(shù)的改變因此與中位數(shù)較平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信,樣本中的極端值更加敏感.中位數(shù)和均數(shù)的大小數(shù)據(jù)分布態(tài)的關(guān)系平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在下圖的三種頻率分布直方圖形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？

通過(guò)實(shí)例分析，讓學(xué)生掌握反映樣本數(shù)字集中趨勢(shì)量；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法，并熟悉的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心（1）峰，直方圖狀對(duì)稱(chēng)：均數(shù)（2）右邊拖”：平均>位（3）左邊拖”：平均<位

中位

素養(yǎng)。結(jié)：中數(shù)比平數(shù)是“長(zhǎng)尾”那邊例某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服根廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格統(tǒng)計(jì)一年級(jí)生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示，校服

165170

合計(jì)

規(guī)格頻數(shù)

16726如果用一個(gè)量來(lái)代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格在中位數(shù)均和數(shù)中個(gè)比較合適？試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理分析雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表的它們事實(shí)上是幾種不同的類(lèi)別，對(duì)于這樣的分類(lèi)數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合.解了直觀地觀察數(shù)據(jù)的特們條形圖來(lái)表示表中的數(shù)據(jù)（下圖可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格數(shù)高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合.由于全國(guó)各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合眾數(shù)：①現(xiàn)數(shù)多②個(gè)多個(gè)，0個(gè)；③只能傳數(shù)據(jù)中信息很少一部，對(duì)極端值敏感；④賴(lài)分，定差⑤適用于分類(lèi)型數(shù)集中趨的估計(jì).（校規(guī)，別質(zhì)等等對(duì)值型數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的述：平均數(shù)（用量身，入產(chǎn)等

中位數(shù).

眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱(chēng)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

優(yōu)點(diǎn)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)即序靠前或靠后的數(shù)據(jù)的響體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)

缺點(diǎn)任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大對(duì)極端值不敏感眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值不敏感探究:樣本的平均數(shù)、中位和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無(wú)法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)，例如我們?cè)趫?bào)紙網(wǎng)絡(luò)上獲得往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，這時(shí)該如何估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？在頻率分布直方圖中失了大的原始數(shù)據(jù)知分組和每組的頻率我們無(wú)法知道每個(gè)組內(nèi)的據(jù)是如何分布的時(shí)常假設(shè)它們?cè)诮M內(nèi)均勻分布樣可獲得樣本的平均數(shù)位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾你能以下圖居民用水的頻率分布直方圖提供的信息樣本的

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)?因?yàn)闃悠骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)它的頻率的乘積之在頻率分布直方圖中平數(shù)可以每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之近似代如圖所示，可以測(cè)出中每個(gè)小矩形的高度，于是平均數(shù)的近似值為這個(gè)結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算的樣本平均數(shù)相不大4.27.2x0.322

28.2

根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，的個(gè)體小于或等于中位數(shù)也的個(gè)體大于或等于中位數(shù)因在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等這個(gè)結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)相不.中數(shù):百位由于

因此中位數(shù)落在區(qū)間[內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得x≈6.71.因此，中位數(shù)約為如圖所法:0.50.23

中為在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)[內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)作為眾數(shù)的估計(jì)值如所示眾常用在描述分類(lèi)型數(shù)據(jù)中，在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，眾“5.7讓們知道月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)的居民用戶最多，這個(gè)信息具有實(shí)際意義。平均數(shù)：率分布直方圖中個(gè)小矩面積乘以各個(gè)矩形底邊中點(diǎn)的坐標(biāo)的中數(shù)把率布方分面相的右部

眾數(shù)：最矩形的底邊點(diǎn)的橫坐

在頻率分布直方圖中，我們無(wú)法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時(shí)假它們?cè)诮M內(nèi)均勻就以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾頻分直方圖損失了一樣本數(shù)據(jù)得到的是一個(gè)估值且所得估值與數(shù)分組有關(guān)有隨機(jī)性跟蹤訓(xùn)練

1.高中師從一學(xué)的數(shù)成績(jī)隨機(jī)40名學(xué)生成績(jī)成六90,100得如圖示的分布方圖（1）求率分直方中實(shí)的值（2）估學(xué)生成績(jī)眾數(shù)位數(shù)平均(2)眾數(shù)75.設(shè)位數(shù)為x由于前三個(gè)矩形面積之和為，第四個(gè)矩形面積為0.3,0.35＋，此中位數(shù)位于第四個(gè)形內(nèi)，得0.3+0.03(－70)=0.5，所以.2.某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)均整的率分布方圖如圖所示．(1)求這測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；(2)求這測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)(3)求這測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)．解1）由知數(shù)

75

(2)設(shè)中位數(shù)為，由圖知前三個(gè)矩形面積之和為，第四個(gè)矩形面積為0.30.3＋，此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)得－70)=0.5，所以x40＋50＋解由干圖知這次數(shù)學(xué)成績(jī)的平數(shù)為：＋22×0.015×10＋

60＋70＋80＋90100＋×0.025×10222＝（4）若例3條不變，求80分下的學(xué)生人數(shù)．分的頻率為(0.005＋0.015＋＋＝0.7，所以80分下的學(xué)生人數(shù)為80×0.756.三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)已知某2019年年空氣質(zhì)量等級(jí)如下表所示

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該市2019年年空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)、中

位數(shù)和第百位(注已知該市屬于“嚴(yán)污”級(jí)的空氣質(zhì)量指數(shù)不超過(guò)某工廠人員及工資構(gòu)成如下：人

經(jīng)理

管理人

高級(jí)技

工人

學(xué)徒

合計(jì)員日

員

工200工資人數(shù)合計(jì)

611006900（1）指出這個(gè)問(wèn)題中日工資的眾數(shù)、位數(shù)、平均數(shù)（2）這個(gè)問(wèn)題中，工資的平均數(shù)能客地反映該廠的工資水平嗎？為什么？分析：數(shù)為，中位數(shù)為220，平均數(shù)為300因平均數(shù)為300，表格中所列出的數(shù)據(jù)可見(jiàn)有經(jīng)理在平均數(shù)以上余人都在平均數(shù)以下用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工

廠的工資水平。利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時(shí)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線受個(gè)極端值的影響只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的大集中點(diǎn)客觀反映總體特征．(2)當(dāng)平數(shù)大于中位數(shù)時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值．3.某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)均整的率分布方圖如圖所示．(1)求這測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；(2)求這測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；(3)求這測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分．70＋解析:由圖知眾數(shù)為75.2(2)由圖，設(shè)中位數(shù)為，由于前三個(gè)矩形面積之和為，四個(gè)矩形面積為0.3,0.3＋