理論力學(xué) 第2版 15動(dòng)靜法

第十五章動(dòng)靜法用求解靜力學(xué)平衡問題的方法來處理動(dòng)力學(xué)問題第一節(jié)質(zhì)點(diǎn)的慣性力與動(dòng)靜法一、質(zhì)點(diǎn)的慣性力定義為質(zhì)點(diǎn)的慣性力，與質(zhì)點(diǎn)的加速度方向相反，即質(zhì)點(diǎn)慣性力的方向簡便，適用性廣泛大小等于其加速度與質(zhì)量的乘積第一節(jié)質(zhì)點(diǎn)的慣性力與動(dòng)靜法二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法·達(dá)朗貝爾原理作用在質(zhì)點(diǎn)上的所有力和虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系三、用動(dòng)靜法求解動(dòng)力學(xué)問題的基本步驟（1）確定研究對(duì)象（2）受力分析（3）運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力（4）列平衡方程（5）解方程，求未知量[例1]如圖，小車以等加速度

a0沿平直路面運(yùn)動(dòng)，一質(zhì)量為

m

的小球用長為

l的細(xì)繩懸掛在小車頂部。試求繩的傾角

和繩中的張力。解：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，小球重力

mg

、繩子拉力FT與慣性力FI在形式上構(gòu)成平衡力系。建立圖示坐標(biāo)軸，，解得繩的傾角和繩中的張力分別為代入列平衡方程[例2]如圖，重為

P=9.8

N

的小球系于長

l=

30

cm

的繩上，繩的另一端系在固定點(diǎn)

O，與鉛直線的夾角

=60°。已知小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求小球的速度和繩子的拉力。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，小球重力

P

、繩子拉力FT與慣性力

FI在形式上構(gòu)成平衡力系解：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力選取自然坐標(biāo)軸，解得小球的速度和繩子的拉力分別為列平衡方程[例3]如圖，球磨機(jī)的滾筒內(nèi)裝有鋼球和需要研磨的物料，以勻角速度

繞水平中心軸

O

轉(zhuǎn)動(dòng)。鋼球被筒壁帶到一定高度后脫離筒壁，沿拋物線軌跡落下?lián)羲槲锪?。已知滾筒的半徑為

r

，試求鋼球脫離筒壁的角度

。，

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，鋼球重力

P

、筒壁的法向約束力

FN、切向約束力

Ft與慣性力

FI在形式上構(gòu)成平衡力系解：取鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力，

解得筒壁的法向約束力在鋼球脫離筒壁的瞬時(shí)，由此得鋼球脫離筒壁的角度沿法向軸列平衡方程第二節(jié)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法·達(dá)朗貝爾原理

——作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力和虛加在所有質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系[例4]如圖，細(xì)繩繞過半徑

r=

100

mm、質(zhì)量可忽略不計(jì)的定滑輪，繩的兩端分別懸掛物塊

A、B，兩物塊重

PA

=4

kN、PB=1kN，滑輪上作用一矩

M

=

0.4

kN·m

的力偶。假設(shè)繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，并不計(jì)軸承摩擦，試求物塊的加速度和軸承

O

的約束力。，

解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理，作用于系統(tǒng)上的所有外力與虛加在所有質(zhì)點(diǎn)的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系，

建立直角坐標(biāo)軸，列平衡方程解得物塊的加速度與軸承

O

的約束力分別為第三節(jié)剛體上慣性力系的簡化一、平移剛體上慣性力系的合成平移剛體上的慣性力系可以合成為一個(gè)作用線通過質(zhì)心的合力，推論：剛體作平移的充要條件為所受外力合力的作用線通過質(zhì)心該慣性合力矢[例5]如圖，質(zhì)量為

m

的汽車以加速度

a

沿著水平路面行駛。汽車重心

C

離地面的高度為

h、汽車的前、后輪軸到重心的水平距離分別為

c

、b。試求汽車前、后輪的正壓力，并確定汽車以多大的加速度行駛方能使前、后輪的正壓力相等。汽車作直線平移，在質(zhì)心

C處虛加慣性合力,解：取汽車為研究對(duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，作用于汽車上的所有外力與虛加的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系解得汽車前、后輪的正壓力令

FNA=

FNB

，即得使前、后輪的正壓力相等所需加速度列平衡方程二、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上慣性力系的簡化（2）轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面前提：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的慣性力系可簡化為位于質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的一個(gè)主矢和一個(gè)慣性主矢：慣性主矩：其作用線通過轉(zhuǎn)軸

z式中，m

為剛體質(zhì)量、aC為剛體質(zhì)心加速度Jz為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸

z

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為剛體的角加速度（1）剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面其中主矩，第三節(jié)剛體上慣性力系的簡化慣性主矢：慣性主矩：討論：（1）若轉(zhuǎn)軸

z

通過質(zhì)心

C，F(xiàn)IR=0，慣性力系合成為一個(gè)合力偶（2）若勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，合成為一個(gè)作用線通過轉(zhuǎn)軸

z

的合力（3）若轉(zhuǎn)軸

z

通過質(zhì)心

C，且勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，慣性力系自成平衡則則

MIz=0

，慣性力系則

FIR=0

且

MIz=0，三、平面運(yùn)動(dòng)剛體上慣性力系的簡化（2）剛體的運(yùn)動(dòng)平面平行于質(zhì)量對(duì)稱平面前提：（1）剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面平面運(yùn)動(dòng)剛體上的慣性力系可簡化為位于質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的一個(gè)慣性主矢：慣性主矩：其作用線通過質(zhì)心

C式中，m

為剛體質(zhì)量、aC為剛體質(zhì)心加速度JC為剛體對(duì)質(zhì)心

C

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為剛體的角加速度其中主矢和一個(gè)主矩，[例6]如圖，電動(dòng)絞車安裝在梁上，梁的兩端放在支座

A、B

上。設(shè)梁與絞車共重

P

，絞車半徑為

r

，并與電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子固結(jié)，它們總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO

，質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸

O

處。在驅(qū)動(dòng)力偶矩

M

的作用下，絞車以加速度

a

提升質(zhì)量為

m

的重物，試求加速提升過程中梁對(duì)支座

A、B

的壓力。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，作用于系統(tǒng)上的所有外力與虛加的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系建立直角坐標(biāo)軸，解得列平衡方程[例7]如圖，質(zhì)量為

m1、m2的物塊

A、B

分別系在兩條繩子上，繩子又分別繞在半徑為

r1、r2并固連在一起的兩個(gè)鼓輪上。已知鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸

O

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J，重力為

P，且m1r1>m2r2

，鼓輪的質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸

O

上，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)。試求鼓輪的角加速度及軸承

O

的約束力。式中解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力根據(jù)動(dòng)靜法，作用于系統(tǒng)上的所有外力與虛加的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系建立直角坐標(biāo)軸，解得鼓輪的角加速度與軸承

O

的約束力分別為列平衡方程[例8]如圖，勻質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為

m、半徑為

R

,在外緣上繞有一細(xì)繩，繩的一端固定在天花板上。圓柱體無初速度地自由下降，試求圓柱體質(zhì)心

C

的加速度和繩的拉力。解：取圓柱體為研究對(duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力根據(jù)動(dòng)靜法，作用于圓柱體上的所有外力與虛加的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系式中建立直角坐標(biāo)軸，解得圓柱體質(zhì)心

C

的加速度和繩的拉力分別為列平衡方程[例9]如圖，兩根長為

l

、質(zhì)量為

m

的相同勻質(zhì)桿

OA

與

OB

，一端用鉸鏈連接在鉛垂軸上的

O

點(diǎn)，另一端用水平繩連在軸上的

D點(diǎn)。已知桿與軸的夾角為

，兩桿隨同軸以等角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)，試求桿

OB

所受的繩的拉力和鉸鏈

O

的約束力。解：選取

OB

桿為研究對(duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力取

dx

微小桿段，其加速度虛加慣性力建立直角坐標(biāo)軸，解得繩的拉力和鉸鏈

O

的約束力分別為列平衡方程[例10]如圖，已知飛輪的質(zhì)量

m

=

20

kg

，轉(zhuǎn)軸

AB

垂直于飛輪的質(zhì)量對(duì)稱平面，飛輪質(zhì)心

C

不在轉(zhuǎn)軸上，偏心距

e=0.1

mm。當(dāng)飛輪以轉(zhuǎn)速

n

=

12000

r/min

勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試求向心軸承

A、B

的最大約束力。轉(zhuǎn)軸質(zhì)量忽略不計(jì)。解：選取飛輪與轉(zhuǎn)軸整體為研究對(duì)象受力分析運(yùn)動(dòng)分析，虛加慣性力根據(jù)動(dòng)靜法，作用于飛輪與轉(zhuǎn)軸上的所有外力與虛加的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系當(dāng)飛輪質(zhì)心

C

位于正下方時(shí)，軸承A、B

的約束力最大由對(duì)稱性易得，向心軸承

A、B

的最大約束力討論：在上述計(jì)算結(jié)果中，98

N是飛輪自重引起的，稱為軸承靜注意到，此處的軸承附加動(dòng)約束力高達(dá)靜約束力的

16

倍之多◆工程中應(yīng)盡量消除或減小繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承附加動(dòng)約束力約束力；1580

N

是飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力引起的，稱為軸承附加動(dòng)約束力；軸承靜約束力與附加動(dòng)約束力之和稱為軸承動(dòng)約束力。第四節(jié)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力如圖，任取轉(zhuǎn)軸

z

上一點(diǎn)

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系

Oxyz

，向坐標(biāo)原點(diǎn)

O

簡化，一般可得討論一般情況——主矢主矩矢將其上慣性力系其中，分別稱為剛體對(duì)軸y、z和對(duì)軸z、x的慣性積欲使軸承附加動(dòng)約束力為零，必須滿足◆

滿足