2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市第五中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)模的定義計(jì)算，并化簡得到，再根據(jù)虛部的定義作出判定.【詳解】∵，∴的虛部為，故選：A.2．設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.其中正確命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】對(duì)于①，，則的位置關(guān)系無法確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于②,因?yàn)?，所以過直線作平面與平面相交于直線，則c，因?yàn)?,，故②正確；對(duì)于③，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；故本題正確答案為3．已知向量，，且在上的投影為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)在上的投影為可求得，再根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式求得答案．【詳解】由題意得：在上的投影，即，故，故選：B4．在棱長為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過，，作正方體的截面，則這個(gè)截面的面積為A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，則，連接，則梯形就是過，，正方體的截面，其面積為，故選C.5．如圖，已知是棱長為2的正方體，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，則三棱錐的體積是（

）A．6 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等體積法求解三棱錐的體積作答.【詳解】在正方體中，棱長為2，E為的中點(diǎn)，則，F(xiàn)為上一點(diǎn)，而平面，平面，則點(diǎn)F到平面的距離為長，所以三棱錐的體積.故選：B6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集為，C．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為D．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為，則是奇函數(shù)【答案】D【分析】通過最高點(diǎn)得到的值，通過周期求出的值，通過五點(diǎn)法求出的值，得到函數(shù)的解析式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，．結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，，，故A錯(cuò)誤；不等式，即，，求得，故不等式的解集為，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，沒有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為，則是奇函數(shù)，故D正確．故選：D.7．在四棱錐中，底面為正方形，且平面，，則直線與直線所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，易得，從而直線與直線所成角，即為（或其補(bǔ)角），然后分別在和中，求得AE和OE，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】解：如圖所示：連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，．不妨設(shè)．因?yàn)樗倪呅问钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以．所以直線與直線所成角，即為（或其補(bǔ)角）．因?yàn)槠矫?，又，平面，所以，．在中，，，，所以；在中，，，，所以，所以；在中，，，，所以，即直線與直線所成角的余弦值是．故選：A．8．在銳角△ABC中，，，則△ABC的周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用面積公式和余弦定理可得，然后根據(jù)正弦定理及三角變換可得，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍的問題.【詳解】∵，∴，∴，即，為銳角，∴，又，由正弦定理可得，所以，其中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，又，∴，故的周長的取值范圍是．故選：C.二、多選題9．在四個(gè)正方體中，，，均為所在棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，作正方體的截面，則在各個(gè)正方體中，直線與平面垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】選項(xiàng)A，B，C，根據(jù)，，均為所在棱的中點(diǎn)，由平面的基本性質(zhì)得到，，，，，六點(diǎn)共面，然后由正方體的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，且平面與平面重合判斷；選項(xiàng)D，根據(jù)不為直角判斷.【詳解】如圖所示：在正方體中，設(shè)點(diǎn)，，均為所在棱的中點(diǎn)，則有，，，，，六點(diǎn)共面.由題易知直線，與平面垂直，選項(xiàng)A，B，C中的平面與平面重合，滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)D，由于，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，故為異面直線，所成的角且，即不為直角，故與不垂直，故與平面不垂直，故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定以及平面的基本性質(zhì)，還考查了空間想象和分析問題的能力，屬于中檔題.10．在中，，，分別為，，的對(duì)邊，下列敘述正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若為銳角三角形，則C．若，則為鈍角三角形D．若，則【答案】BCD【分析】由正弦定理得到，求得或，可判定A不正確；由銳角三角形，得到，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定B正確；由，得到中一定有一個(gè)小于0成立，可判定C正確；由正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，即，因?yàn)椋傻没?，即或，所以為等腰或直角三角形，所以A不正確；對(duì)于B中，由為銳角三角形，可得，則，因?yàn)?，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)?，由，可得中一定有一個(gè)小于0成立，不妨設(shè)，可得，所以為鈍角三角形，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，可得，所以，可得，因?yàn)椋傻?，所以，即，所以，所以D正確.故選：BCD.11．設(shè)函數(shù)．已知在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則下列四個(gè)說法正確的是（

）A．的取值范圍是B．在上單調(diào)遞增C．在上存在，，滿足D．在上有且僅有1個(gè)最大值【答案】AC【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及條件可得，即，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】∵在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，由，得，∴，即，故A正確；由，此時(shí)，，所以在上不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由上知在能取到最大值和最小值，所以存在，，滿足，故C正確；由上可知，時(shí)，，由，可得，所以在上可能有2個(gè)最大值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．如圖，已知棱長為1的正方體中，下列命題正確的是（

）A．正方體外接球的半徑為B．點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則四面體的體積不變C．與所有12條棱都相切的球的體積為D．M是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點(diǎn)，則長的最小值是【答案】BC【分析】對(duì)于A，利用正方體的性質(zhì)即得，對(duì)于B，判斷出四面體的高為1，底面積不變即得，對(duì)于C．先求出球的半徑，即可求體積，對(duì)于D．判斷出線段長度的最小值是到球心的距離減去內(nèi)切球的半徑，直接求解即可.【詳解】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可知正方體外接球的直徑為其體對(duì)角線，故正方體外接球的半徑為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則四面體的高為1，底面積不變，則體積不變，故B正確；對(duì)于C，與所有12條棱都相切的球的直徑等于面的對(duì)角線，則，，則球的體積，故C正確；對(duì)于D，正方體的內(nèi)切球?yàn)檎襟w的中心，內(nèi)切球的半徑為，可知線段長度的最小值是到球心的距離減去內(nèi)切球的半徑，正方體的棱長為1，，到球心的距離為，所以的最小值是，故D錯(cuò)誤.故選：BC．三、填空題13．若，則的最小值為__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件兩次運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.14．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為______．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為，根據(jù)已知條件得出正方體上底面截球所得的截面圓的半徑，球心到截面圓圓心的距離，利用勾股定理即可求出球的半徑，再帶入球體積公式即可.【詳解】由題意得正方體上底面到水面的高為，設(shè)球體的半徑為，由題意如圖所示：三角形為直角三角形，為球與正方體的交點(diǎn)，則，，，所以：，解得，所以球的體積.故答案為：15．正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)，分別在和上，并且，平面，則線段的長為______．【答案】##【分析】連接并延長與交于點(diǎn)，連接，證明，根據(jù)比例關(guān)系得到，再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：連接并延長與交于點(diǎn)，連接，為中點(diǎn)，連接，，故，，平面，平面平面，平面，故，故，，故，，，故.故答案為：16．銳角的內(nèi)角所對(duì)邊分別是a，b，c且，，若A，B變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍______．【答案】【分析】首先利用正弦定理得出角的關(guān)系，再結(jié)合銳角三角形得出角的范圍，最后根據(jù)存在最大值求出的取值范圍即可.【詳解】，，由正弦定理得：，即：，或（舍）是銳角三角形，，解得：（其中）使存在最大值，只需存在，滿足解得：.故答案為：.四、解答題17．已知梯形ABCD，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖，如圖，其中，，．求：(1)梯形ABCD的面積；(2)梯形ABCD以BC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積和體積．【答案】(1)(2)，【分析】（1）將直觀圖還原為原圖形后利用公式可求其面積.（2）所得幾何體是圓柱與圓錐的組合體，利用公式可求其表面積和體積.【詳解】（1）直觀圖還原為原圖形，是直角梯形ABCD，如圖，其中，，，∴梯形ABCD的面積為.（2），直角梯形繞BC旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體是圓柱與圓錐的組合體，其表面積，體積.18．已知.(1)求圖象的對(duì)稱軸方程；(2)若對(duì)任意的恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換整理得，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱軸得求解；（2）代入整理，利用換元和參變分離得，即．【詳解】（1）即則∴圖象的對(duì)稱軸方程為．（2）∵，則令則∵，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立∴19．如圖，三棱錐的底面是直角三角形，，，平面，是的中點(diǎn)．(1)若此三棱錐的體積為，求異面直線與所成角的大?。?2)若，①求點(diǎn)到平面的距離．②過點(diǎn)作平面與平面垂直，且和直線平行，求平面截三棱錐的截面的面積．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)三棱錐體積公式，結(jié)合異面直線所成角的定義、勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）①：根據(jù)三棱錐的體積性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可；②：根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合矩形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意知：，解得，取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)可得，故或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角．∵，平面，平面，故，，，，，，，，故為等邊三角形，，故異面直線與所成角的大小為．（2）①若，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，即，所以，得；②分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、，四邊形即為截面，因?yàn)?、是、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)是，是的中點(diǎn)，所以，所以，因此四邊形是平行四邊形，因?yàn)橹悬c(diǎn)是，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為矩形，，，?0．已知，函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，求解即可；（2）根據(jù)題意得到，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得其最值，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，解得或.所以不等式的解為（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，可得，即，即，所以，設(shè)，因?yàn)?，則，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)樵趨^(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，所以，所以.故a的取值范圍為【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：①若在上恒成立，則；②若在上恒成立，則；③若在上有解，則；④若在上有解，則.21．如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角的大?。?，，，求的最大值．（仰角為直線AP與平面ABC所成角）【答案】.【分析】根據(jù)仰角的定義，作圖，利用圖中的幾何關(guān)系列出函數(shù)式，借助二次函數(shù)求解作答.【詳解】過點(diǎn)P做直線BC的垂線，垂直為D，如圖，則由仰角的定義得，由題意，設(shè)則，點(diǎn)D與B不重合時(shí)，在中，

，點(diǎn)D與B重合時(shí)，上式也成立，在中，

，當(dāng)時(shí)，取最大值，綜上，的最大值為.22．已知正方體的棱長為3，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，．若直線與平面所成角為．(1)求二面角的平面角的大?。?2)求線段的長度．