2021-2022學(xué)年山東省濰坊市壽光市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年山東省濰坊市壽光市第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，，則（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】先求出,再利用向量的模長計(jì)算公式即可【詳解】因?yàn)樗怨蔬x:A2．直線與直線2x－y+7=0平行，則=（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)直線平行可得方程，即可得到答案.【詳解】?jī)芍本€平行，所以有,故選：B.3．在等比數(shù)列中，且，則（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，若，則，即可計(jì)算出的值.【詳解】由題意可知，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，若，則；所以，因?yàn)?，所?故選：C.4．已知是空間向量的一個(gè)基底，是空間向量的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出在基底下的坐標(biāo)為，利用對(duì)照系數(shù)，得到方程組，求出結(jié)果.【詳解】∵在基底下的坐標(biāo)為∴設(shè)在基底下的坐標(biāo)為則對(duì)照系數(shù)，可得：解得：∴在基底下的坐標(biāo)為故選：C5．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極小值，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根極值與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系確定在附近的正負(fù)，得的正負(fù)，從而確定正確選項(xiàng)．【詳解】由題意可得，而且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，排除B、D；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，若，，所以函數(shù)的圖象可能是C．故選：C6．如圖所示，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的性質(zhì)，推出，，通過求解三角形轉(zhuǎn)化求解離心率即可．【詳解】解：雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且，可得，，，，所以，可得，，所以雙曲線的離心率為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．7．若圓與圓恰有2條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩圓相交可得參數(shù)范圍．【詳解】因?yàn)閳A與圓恰有2條公切線，所以解得故選：B．8．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3加1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如果對(duì)于正整數(shù)，經(jīng)過步變換，第一次到達(dá)1，就稱為步“雹程”.如取，由上述運(yùn)算法則得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過7個(gè)步驟變成1，得.則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則只能是4 B．當(dāng)時(shí)，C．隨著的增大，也增大 D．若，則的取值集合為【答案】C【分析】根據(jù)“冰雹猜想”進(jìn)行推理即可判定.【詳解】對(duì)于A，，逆推，只能是4，故A對(duì)；對(duì)于B，時(shí)，，，故B對(duì)；對(duì)于C，時(shí)，，時(shí)，，，故C錯(cuò)，對(duì)于D，時(shí)，逆推，故D對(duì).故選：C.二、多選題9．兩個(gè)學(xué)校，開展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開始后兩學(xué)校的用電量，與時(shí)間t（天）的關(guān)系如圖所示，則一定有（

）A．比節(jié)能效果好B．的用電量在上的平均變化率比的用電量在上的平均變化率小C．兩學(xué)校節(jié)能效果一樣好D．與自節(jié)能以來用電量總是一樣大【答案】AB【分析】根據(jù)兩函數(shù)切線斜率的變化以及切線斜率的幾何意義、平均變化率的定義對(duì)各選項(xiàng)的正誤進(jìn)行判斷，可得出正確選項(xiàng).【詳解】由圖象可知，對(duì)任意的，曲線在處的切線比曲線在處的切線要“陡”，所以比節(jié)能效果好，A正確，C錯(cuò)誤；由圖象可知，，則的用電量在上的平均變化率比的用電量在上的平均變化率小，B選項(xiàng)正確；由于曲線和曲線不重合，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB10．如圖，在長方體中，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，，P，D三點(diǎn)共線B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，平面D．當(dāng)時(shí)，平面【答案】ACD【分析】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量公式，可得答案.【詳解】由題意，如圖建系：則，，設(shè)，，則，可得，，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)P為對(duì)角線的中點(diǎn)，根據(jù)長方體性質(zhì)可得三點(diǎn)共線，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，∴，解得，所以，則，因此不正確，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，設(shè)平面的法向量為，，∴，，當(dāng)時(shí)，，，故，∴，∴，又平面，∴平面，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，則，∴，而，∴，∴平面，故D正確．故選：ACD11．已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，PQ是過焦點(diǎn)F的一條弦，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2B．焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程C．的最小值是3D．以弦PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切【答案】ACD【分析】對(duì)A：由拋物線方程及焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為即可求解；對(duì)B：由拋物線方程即可求解；對(duì)C：利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，從而即可求解；對(duì)D：利用拋物線的定義，及圓心到直線的距離等于圓的半徑則直線與圓相切，從而即可求解.【詳解】解：對(duì)B：由拋物線，可得，準(zhǔn)線

，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)A：由拋物線，可得，即，所以焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)C：過點(diǎn)P作，垂足為，由拋物線的定義可得，所以（為點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離），當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是3，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：過點(diǎn)P、Q分別作，，垂足分別為、，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為M，則弦PQ為直徑的圓的圓心為M，過點(diǎn)M作，垂足為，則為直角梯形的中位線，，又根據(jù)拋物線的定義有，，所以，所以以弦PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.12．函數(shù)的所有極值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列，設(shè)是的前項(xiàng)和，則（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．C．為函數(shù)的極小值點(diǎn) D．【答案】BD【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再求出，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，即可得或，，易得函?shù)的極值點(diǎn)為或，，從小到大為，，…，不是等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；，B正確；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；，，則根據(jù)誘導(dǎo)公式得，D正確；故選：BD．三、填空題13．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則公差__________.【答案】【分析】根據(jù)題意列出方程，即可求得答案.【詳解】由題意等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，可得，且，則，且，解得，故答案為：14．一條直線經(jīng)過，并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為__________．【答案】【分析】先求出直線的傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，則可求出直線的斜率，進(jìn)而可求出直線的方程【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以直線的方程為，即，故答案為：15．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M，E，F(xiàn)分別為PQ，AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線EM與AF所成的角的余弦值是_______．【答案】【詳解】試題分析：以為坐標(biāo)原點(diǎn),射線所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系．令兩正方形邊長均為2．則,,,設(shè)異面直線與所成的角為,．【解析】異面直線所成的角．四、雙空題16．如圖，圓O與離心率為的橢圓相切于點(diǎn)M(0,1)，過點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l1，l2，兩直線與兩曲線分別交于點(diǎn)A，C與點(diǎn)B，D(均不重合)．若P為橢圓上任一點(diǎn)，記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為d1，d2，則的最大值是_________；此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_________．【答案】

；

【詳解】分析：由題意首先求得橢圓方程，然后結(jié)合勾股定理可得的數(shù)學(xué)表達(dá)式，結(jié)合縱坐標(biāo)的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意知：解得，可知：橢圓C的方程為，圓O的方程為.設(shè)，因?yàn)?則,因?yàn)?，所?因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值為,此時(shí)點(diǎn).點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程的求解，橢圓中的最值問題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.五、解答題17．已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求；（2）由題可得切點(diǎn)到直線的距離最小，即得.【詳解】（1）∵函數(shù)，∴的定義域?yàn)椋嘣谔幥芯€的斜率為，由切線方程可知切點(diǎn)為，而切點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；（2）由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.18．已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)公差為，由，且，，構(gòu)成等比數(shù)列，利用“”法和“”法求解；（2）由（1）得到，利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，即得，設(shè)公差為，則有，，，又因?yàn)?，，?gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故得，由題意得，，，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.（2）設(shè)，則①，在上式兩邊同時(shí)乘以2得，，②，得，，,所以．19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P，B，C坐標(biāo)分別為，E為線段BC上一點(diǎn)，直線EP與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A．(1)當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求過點(diǎn)E且在兩坐標(biāo)軸上截距絕對(duì)值相等的直線方程；(2)求與面積之和S的最小值．【答案】(1)或或；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，分直線過原點(diǎn)與不過原點(diǎn)，結(jié)合直線方程的截距式求解作答.（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，根據(jù)給定條件求出t的范圍，再將S表示為t的函數(shù)，并求出最小值作答.【詳解】（1）令過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距絕對(duì)值相等的直線為l，當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，直線l在x，y軸上的截距都為0，其方程為，當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為或，于是得或，解得或，直線l的方程為或，所以所求方程為：或或.（2）依題意，直線，因點(diǎn)E在線段BC上，則設(shè)點(diǎn)，，設(shè)，，由得：，顯然，則，有，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以與面積之和S的最小值.20．如圖，四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面間的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接?，易證四邊形為平行四邊形，故，再由線面平行的判定定理即可得證；（2）由平面，知點(diǎn)到平面的距離即為所求.設(shè)，取的中點(diǎn)，連接?，可證，，進(jìn)而推出平面；于是以為原點(diǎn)，?分別為?軸，在平面內(nèi)，作平面，建立空間直角坐標(biāo)系，可證，從而求得，，寫出點(diǎn)?的坐標(biāo)，根據(jù)法向量的性質(zhì)求得平面的法向量，由點(diǎn)到平面的距離即可得解.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接?，為的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.（2）平面，點(diǎn)到平面的距離即為所求.設(shè)，取的中點(diǎn)，連接?，則四邊形為矩形，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，?平面，平面，，平面，平面，平面平面，以為原點(diǎn)，?分別為?軸，在平面內(nèi)，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，平面，，在中，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，，點(diǎn)到平面的距離，故直線與平面間的距離為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間中點(diǎn)到平面的距離，向量方法:先在平面內(nèi)選一點(diǎn)，確定的坐標(biāo)，在確定平面的法向量，最后代入公式求解.也通常采用三棱錐等體積求解.21．已知雙曲線(1)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(2)直線l：與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）設(shè)，，采用“點(diǎn)差法”可求得直線的斜率，即可求得答案；（2）根據(jù)直線l：與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，聯(lián)立方程可得到，從而求得點(diǎn)M坐標(biāo)，由此表示出過M且與l垂直的直線方程，求得，化簡(jiǎn)可得其關(guān)系，即可得答案.【詳解】（1）設(shè)，，則，兩式相減得，即，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，即直線的斜率為1，所以直線的方程為，即,聯(lián)立方程組,得，滿足，故直線的方程為（2）聯(lián)立方程組,得，因?yàn)橹本€l：與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知都不等于0，，得，則,則,所以M的坐標(biāo)為，其中，因?yàn)檫^點(diǎn)M且與l垂直的直線方程為，令，得，令，，所以，故點(diǎn)的軌跡方程為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）涉及到弦的中點(diǎn)問題時(shí)，一般采用“點(diǎn)差法”解答，較為簡(jiǎn)便；（2）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，要能根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ敕ǖ玫絼?dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的變化關(guān)系，化簡(jiǎn)可解.22．如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD（包含邊界和內(nèi)部，A為坐標(biāo)原點(diǎn)），AD長為10米，在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)M叫成功點(diǎn).(1)求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程；(2)P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線FP的距離為，且直線FP與點(diǎn)M的