2021-2022學(xué)年上海市曹楊高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市曹楊第二中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．兩條異面直線所成角的取值范圍是________【答案】【分析】由異面直線所成角的定義求解．【詳解】解：由異面直線所成角的定義可知：過空間一點，分別作相應(yīng)直線的平行線，兩條相交直線所成的直角或銳角為異面直線所成的角，故兩條異面直線所成的角的取值范圍是故答案為：【點睛】本題主要考查異面直線所成的角，同時還考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．2．設(shè)等差數(shù)列的前項和為整數(shù)，若，則公差________.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】因為是等差數(shù)列,所以，又因為，所以.故答案為:.3．已知直線、及平面，若且，則與平面的位置關(guān)系為________.【答案】或【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合線面位置關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為且，直線與平面的位置關(guān)系為或.故答案為：或.4．若數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和，為正整數(shù)，則實數(shù)的值為____.【答案】1【分析】利用與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式求解.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，又是等比數(shù)列，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，此數(shù)列的前項和，則的值為.故答案為：1.5．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則________.（其中為正整數(shù)）【答案】【分析】求出新等比數(shù)列的公比代入求和公式即可.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，，所以.則.故答案為：4.6．若一個圓錐的側(cè)面是半徑為6的半圓圍成，則這個圓錐的表面積為________.【答案】【分析】求出底面半徑，代入公式即可.【詳解】因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為的半圓，所以圓錐的母線長為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，所以圓錐的表面積為.故答案為：.7．如圖所示，在地面上兩點測得建筑物的仰角為，，若，則該建筑物的高度為________.【答案】【分析】先將未知量轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，再利用勾股定理即可求解.【詳解】因為在地面上兩點測得建筑物的仰角為，所以，即，又因為，所以，所以，所以，即該建筑物的高度為..故答案為：.8．有一個細(xì)胞團(tuán)開始時有4個細(xì)胞，每次分裂前死去1個，再由剩余的每個細(xì)胞分裂成2個，則（為正整數(shù)）次分裂之后共有細(xì)胞的個數(shù)是_______.【答案】【分析】設(shè)次分類后共有個細(xì)胞,則根據(jù)題意可得遞推公式,通過構(gòu)造等比數(shù)列即可求得通項公式.【詳解】由題意可設(shè)次分類后共有個細(xì)胞，則第次分裂后共有細(xì)胞個數(shù)為，即,且，對數(shù)列等式兩端同時減去2,可得，即,，所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列，所以,化簡可得，即次分裂之后共有個細(xì)胞.故答案為:9．梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形的面積為，則原梯形的面積為_______.【答案】【分析】根據(jù)原圖形面積是直觀圖面積的倍即可求解.【詳解】設(shè)直觀圖的上下底為，高為，則直觀圖的面積為，則原梯形的上下底為，高為，所以原梯形的面積等于,即原圖形面積是梯形的面積倍，因為梯形的面積為，所以原梯形的面積是.故答案為:4.10．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，為正整數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的最小值聯(lián)系即可求解.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取到最小值，因為數(shù)列滿足，若，則是數(shù)列的最小項，所以，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.11．中，邊上的中垂線分別交于，若，則_______.【答案】【分析】利用平面向量的基本定理和余弦定理即可求解.【詳解】因為，所以，且，所以，所以，且，在中，由余弦定理得即，所以.故答案為:4.12．定義，設(shè)函數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，且，則首項_______.【答案】##0.125【分析】根據(jù)題設(shè)對函數(shù)的定義結(jié)合等比數(shù)列運(yùn)算求解.【詳解】因為對任意實數(shù)，定義，函數(shù)，數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，且.①當(dāng)時，因為，所以，由等比數(shù)列通項公得，所以，整個數(shù)列為，因為，所以代入得即由對數(shù)運(yùn)算所以式化簡得，即，所以.②當(dāng)時，，此時.，所以不成立.③當(dāng)時，，所以，整個數(shù)列為，所以，因為，代入得，即由對數(shù)運(yùn)算，所以式化簡得.因為當(dāng)時，，所以等式左邊大于，等式右邊小于，方程無解.綜上所述，.故答案為：.二、單選題13．“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義,結(jié)合充要條件定義判斷即可.【詳解】充分條件:若“數(shù)列為等差數(shù)列”成立，則有（常數(shù)），所以(常數(shù))，所以數(shù)列為等比數(shù)列.必要條件:若“數(shù)列為等比數(shù)列”，所以為常數(shù)，所以為常數(shù)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以數(shù)列為等差數(shù)列是數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件.故選:.14．在梯形中，，，.將梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知旋轉(zhuǎn)后的幾何體如圖:

直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1，母線長為2的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為故選C.【解析】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積.15．實數(shù)a，b滿足a?b＞0且a≠b，由a、b、、按一定順序構(gòu)成的數(shù)列（）A．可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列B．可能是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列C．不可能是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列D．不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列【答案】B【分析】由實數(shù)a，b滿足a?b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，兩種情況分析根據(jù)等差數(shù)列的定義和等比數(shù)列的定義，討論a、b、、按一定順序構(gòu)成等差（比）數(shù)列時，是否有滿足條件的a，b的值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．【詳解】（1）若a＞b＞0則有a＞＞＞b若能構(gòu)成等差數(shù)列，則a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此時無法構(gòu)成等差數(shù)列若能構(gòu)成等比數(shù)列，則a?b=，得，解得a=b（舍），即此時無法構(gòu)成等比數(shù)列（2）若b＜a＜0，則有若能構(gòu)成等差數(shù)列，則，得2=3a-b于是b＜3a4ab=9a2-6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）當(dāng)b=9a時這四個數(shù)為-3a，a，5a，9a，成等差數(shù)列．于是b=9a＜0，滿足題意但此時?b＜0，a?＞0，不可能相等，故仍無法構(gòu)成等比數(shù)列故選B【點睛】本題考查的知識點是等差數(shù)列的確定和等比數(shù)列的確定，熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．16．如圖所示，在正方體中，分別是的中點，有下列結(jié)論：①；②平面；③與所成角為；④平面，其中正確的序號是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用線面垂直可得線線垂直即可判斷①；利用線面垂直可判斷②；利用異面直線的夾角可判斷③；利用線面平行的判定定理可判斷④.【詳解】連接，則交于，又因為為中點，得，由平面，平面,得，得，故①正確；由平面，得平面，而平面與平面不平行，所以平面錯誤，故②錯誤；因為與所成角就是，連接,則為等邊三角形，所以，故③錯誤；由分別是的中點，得，平面，平面，得平面，故④正確；故選:B.三、解答題17．在中，.(1)求證：；(2)求的長；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用向量的數(shù)量積公式和正弦定理結(jié)合求解；(2)利用向量的減法運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，即，由正弦定理得，，又因為，所以，在等式兩邊同時除以，得；（2）由題意得，所以，即.18．《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖所示，四面體中，平面是棱的中點.(1)證明：，并判斷四面體是否為鱉臑？若是，寫出其每個面的直角；若不是，說明理由；(2)若四面體是鱉臑，且，求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析，四面體是鱉臑，直角分別為，和(2)【分析】(1)利用線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)即可說明；(2)利用等體積法求出椎體的高，進(jìn)而利用三角函數(shù)值求線面夾角的正弦值.【詳解】（1）因為平面平面，所以，因為是棱的中點，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以，所以四面體是鱉臑，直角分別為，和.（2）設(shè)到平面的距離為，因為平面，所以因為四面體是鱉臑，，是棱的中點，，所以，所以，，因為，所以平面，平面，則，即，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的大小為.19．西部某地區(qū)有沙地畝，從年開始每年在沙地植樹造林，第一年年底共植樹畝，以后每一年年底比上一年年底多植樹畝.(1)假設(shè)所植樹苗全部成活，則到哪一年年底植樹后可將沙地全部綠化？(2)若每畝所植樹苗木材量為立方米，每年所值樹木，從它種下的第二年起，木材量自然增長率為，求沙地全部綠化后的那年年底該山林的木材總量(精確到整數(shù)).【答案】(1)年(2)立方米【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式即可求解；（2）利用等比數(shù)列求和公式即可求解【詳解】（1）設(shè)植樹年年底后可將沙地全部綠化，記第年年底植樹量為，由題意得數(shù)列是首項為，公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以，因為，所以，所以到年年底植樹后可以將荒山全部綠化.（2）設(shè)年初木材存量為，到年底木材存量增加為，年初木材存量為，到年底木材存量增加為，，年初木材存量為，到年底木材存量增加為則到年年底木材總量為兩式作差得，所以，答：到全部綠化后的那一年年底，該山林的木材總量立方米.20．已知四棱錐中，平面，底面是邊長為的菱形，，.(1)求證：平面；(2)求到平面的距離；(3)設(shè)與交于點，為中點，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)線面垂直判定定理證明;(2)應(yīng)用等體積法計算可求;(3)應(yīng)用線面垂直的判定定理,結(jié)合二面角平面角定義,找到平面角計算即可.【詳解】（1）因為四邊形是菱形，所以，因為平面，在平面內(nèi)，所以，又因為，平面,平面.所以平面.（2）設(shè)到平面的距離為，因為平面，所以因為底面是邊長為的菱形，，.所以，所以，解得；（3）過作交于，連接，由(1)因為平面，平面,,,平面,平面,所以平面,平面得，平面,平面,所以為的平面角，因為底面是邊長為的菱形，，所以，從而，所以，又二面角為銳角，所以二面角的平面角大小為.21．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，對任意的正整數(shù)，都有.(1)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項；(2)設(shè)，若數(shù)列中去掉的項后，余下的項組成數(shù)列，求；(3)在（2）中，設(shè)，數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)、且，使得、、依次成等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析，(2)(3)存在，【分析】（1）由已知可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式，進(jìn)而可得出數(shù)列的通項公式；（2）求出數(shù)列的通項公式，分析可得出，，進(jìn)而可得出，結(jié)合分組求和法可