2022-2023學年北京市昌平區(qū)高二年級上冊學期期末質(zhì)量抽測數(shù)學試題【含答案】

北京市昌平區(qū)2022-2023學年高二上學期期末質(zhì)量抽測數(shù)學一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．已知直線，則直線的傾斜角為A． B． C． D．2．已知，，，，5，，則A． B． C．12 D．143．在的展開式中二項式系數(shù)最大的項是A．第3項和第4項 B．第4項和第5項 C．第3項 D．第4項4．設橢圓的兩個焦點為，，過點的直線交橢圓于，兩點，如果，那么的值為A．2 B．10 C．12 D．145．已知平行六面體中，設，，，則A． B． C． D．6．設，則“”是“直線與直線平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，計劃于2022年2月4日（星期五）開幕，2月20日（星期日）閉幕．北京冬季奧運會設7個大項，15個分項，109個小項．其中七個大項分別為：滑雪、滑冰、雪車、雪橇、冰球、冰壺、冬季兩項（越野滑雪射擊比賽）．現(xiàn)組委會將七個大項的門票各一張分給甲、乙、丙三所學校，如果要求一個學校4張，一個學校2張，一個學校1張，則共有不同的分法數(shù)為A． B． C． D．8．在四棱錐中，底面是矩形，平面，為中點，，則直線與所成角的大小為A． B． C． D．9．直線與拋物線交于，兩點，為拋物線的焦點，若，則的面積為A． B． C． D．10．已知正三棱錐的底面的邊長為2，是空間中任意一點，則的最小值為A． B． C． D．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11．已知，，是直線的方向向量，，，是直線的方向向量，若直線，則．12．在的展開式中所有的二項式系數(shù)之和為512，則；展開式中常數(shù)項的值為．13．雙曲線的漸近線方程為；若拋物線的焦點是雙曲線的右焦點，則．14．在空間直角坐標系中，已知點，0，，，1，，，0，，若點，2，在平面內(nèi)，則．15．已知圓，直線過點且與圓交于，兩點，當面積最大時，直線的方程為．16．已知正方體的棱長為2，為的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足平面平面．給出下列四個結論：①△的面積的最大值為；②滿足使△的面積為2的點有且只有兩個；③點可以是的中點；④線段的最大值為3．其中所有正確結論的序號是．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（14分）已知過點的直線被圓所截得的弦長為．（Ⅰ）寫出圓的標準方程及圓心坐標、半徑；（Ⅱ）求直線的方程．18．（14分）如圖，在四棱錐中，平面，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線和平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．19．（14分）有7個人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．（Ⅰ）共有多少種不同的坐法？（Ⅱ）如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？（Ⅲ）如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？20．（14分）如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求點到平面的距離．21．（14分）已知橢圓，，，，點在線段上，且，直線的斜率為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若直線與橢圓交于，兩點，弦的中點為，且，求橢圓的方程．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．【分析】根據(jù)已知條件，結合斜率與傾斜角的關系，即可求解．【解答】解：設直線的傾斜角為，直線，，，，．故選：．【點評】本題主要考查斜率與傾斜角的關系，屬于基礎題．2．【分析】利用空間兩點間的距離公式求解即可．【解答】解：，，，，5，，則．故選：．【點評】本題考查空間兩點間的距離公式，是基礎題．3．【分析】利用求展開式中二項式系數(shù)最大項的公式即可求解．【解答】解：因為為偶數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項只有一項，且為第項，故選：．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查學生的運算能力，屬于基礎題．4．【分析】利用橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：橢圓可得長軸長為：10，橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于、兩點，若，則．故選：．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．5．【分析】由已知直接利用空間向量的線性運算求解．【解答】解：如圖，，，，．故選：．【點評】本題考查空間向量的線性運算，考查數(shù)形結合思想，是基礎題．6．【分析】根據(jù)已知條件，結合兩直線平行的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：直線與直線平行，則，解得或，故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件．故選：．【點評】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，屬于基礎題．7．【分析】先將七個大項的門票分成，2，，再分配到3個學校，根據(jù)分步計數(shù)原理可得．【解答】解：先將七個大項的門票分成，2，，再分配到3個學校，故有．故選：．【點評】本題考查了分組分配問題，屬于基礎題．8．【分析】取的中點，連接，由，得到直線與所成角（或所成角的補解）為，再求出即可．【解答】解：取中點，連接，如圖，是的中點，，直線與所成角（或所成角的補解）為，設，則，，，是等邊三角形，．故選：．【點評】本題考查命題真假的判斷和異面直線所成的角，考查運算求解能力，是中檔題．9．【分析】由直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出，的坐標，進而求出弦長的值，再由的值可得參數(shù)的值，可得焦點的坐標，求出點到直線的距離，代入三角形的面積公式可得面積的值．【解答】解：設，，，，聯(lián)立，可得：或，所以而，可得，解得，即，，所以到直線的距離，所以，故選：．【點評】本題考查直線與拋物線的綜合應用即三角形的面積公式的應用，屬于中檔題．10．【分析】利用轉(zhuǎn)化法求向量數(shù)量積的最值即可．【解答】解：設中點為，連接，設中點為，則，所以，當與重合時，取最小值0，此時有最小值，故選：．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11．【分析】由，根據(jù)向量共線的坐標運算求解、的值，再計算即可．【解答】解：，，是直線的方向向量，，，是直線的方向向量，若直線，則，，則，．．故答案為：．【點評】本題考查向量共線的坐標表示，屬于基礎題．12．【分析】利用求所有二項式系數(shù)之和的公式，求出的值，再求出展開式的通項公式，令的指數(shù)為0即可求解．【解答】解：由已知可得所有的二項式系數(shù)之和為，解得；展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為，故答案為：9；84．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．13．【分析】直接利用雙曲線方程求出，，求解漸近線方程，求解即可得到雙曲線的離心率．【解答】解：雙曲線，可得，，則，所以漸近線方程為：；雙曲線的焦點坐標，拋物線的焦點是雙曲線的右焦點，所以，可得，故答案為：；6．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，拋物線的簡單性質(zhì)的應用，是基礎題．14．【分析】根據(jù)空間向量的坐標表示和共面定理，列方程組求出的值．【解答】解：因為，0，，，1，，，0，，所以，1，，，0，，又點，2，在平面內(nèi)，所以，其中、；由，，，所以，解得．故答案為：．【點評】本題考查了空間向量的坐標表示和共面定理應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題．15．【分析】當直線的斜率不存在時，，當直線的斜率存在時，設的方程為，，圓心到直線的距離為，由平面幾何知識得，推導出當且僅當時，取得最大值2，由此能求出直線的方程．【解答】解：當直線的斜率不存在時，的方程為，則、的坐標為，，，當直線的斜率存在時，設的方程為，，則圓心到直線的距離為，由平面幾何知識得，，當且僅當，即時，取得最大值2，，的最大值為2，此時，由，解得．此時，直線的方程為．故答案為：．【點評】本題考查面積最大時直線的方程的求法，解題時要認真審題，均值不等式的合理運用，屬于中檔題．16．【分析】先找出的運動軌跡，再結合圖像逐項分析，即可得解．【解答】解：連接，，，、分別為、的中點，易得，從而知，又，又，得平面平面，故點在矩形（除線段上運動，對于①，由圖可知，當與重合時，此時三角形面積最大，最大值為，故①對；對于②，由圖可知，當或時，△的面積為2，故②對；對于③，由圖易知，點不可能在線段，故③錯；對于④，由圖易知，當與重合時，此時長度最大，最大值為，故④對；故答案為：①②④；【點評】本題考查了立體幾何中的軌跡問題，難點是確定點的軌跡，也是解答本題的關鍵點，屬于中檔題．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．【分析】整理出圓的標準方程，確定圓的圓心與半徑；分類討論，利用直線被圓截得的線段長為，可得直線與圓心的距離為2，由此可得結論．【解答】解：整理圓的方程得，圓心，半徑；由圓得圓心坐標為，半徑為4又直線被圓截得的線段長為，直線與圓心的距離為2，當直線斜率存在時，設的斜率是，過，設直線，即；直線與圓的圓心相距為2，，解得，此時直線的方程為；當直線的斜率不存在時，直線的方程為，也符合題意．故所求直線的方程為或．【點評】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）由線面平行性質(zhì)可直接證明；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，結合直線的方向向量和平面的法向量即可求得線面角的正弦值；（Ⅲ）結合半平面的法向量即可求得二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：因為，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）解：因為平面，，故以方向為軸正方向，方向為軸正方向，方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，，設平面的法向量為，則，即，令，得，設直線和平面所成角為，則；（Ⅲ）解：易知為平面的法向量，則，因為二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．【點評】本題主要考查線面平行的判斷定理，空間向量的應用，線面角的計算，二面角的計算等知識，屬于中等題．19．【分析】（Ⅰ）問題等價于7人任意排，問題得以解決；（Ⅱ）先排第一排，再排第二排，根據(jù)分步計數(shù)原理可得．（Ⅲ）第一類，甲乙同一排，第二類，甲乙不在同一排，根據(jù)分類計數(shù)原理可得．【解答】解：（Ⅰ）7個人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人，共有種；（Ⅱ）從除甲乙之外的5人中選3人排在第一排，再排第二排，故有種；（Ⅲ）第一類，甲乙同一排，則只能排在第二排，故有，第二類，甲乙不在同一排，故有種，故共有種．【點評】本題考查了分類和分步計數(shù)原理，屬于基礎題．20．【分析】（Ⅰ）連接，由，，得平面，由此能證明；（Ⅱ）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面；（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法能求出點到平面的距離．【解答】解：（Ⅰ）證明：在棱長為1的正方體中，連接，四邊形是正方形，，，，平面，平面，；（Ⅱ）證明：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，是的中點，則，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，，，，，1，，，1，，設平面的法向量，，，則，取，得，1，，，平面，平面；（Ⅲ）平面的法向量，1，，，0，，點到平面的距離為：．【點評】本題考查線線垂直、線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．21．【分析】（Ⅰ）由已知向量等式結合分點坐標公式可得的坐標，再由直線的斜率公式和離心率公式，計算即可得到橢圓的離心率；（Ⅱ）設，，，，代入橢圓方程，作差，結合直線的斜率公式，可得的