2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)高二期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)高二期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】計(jì)算得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，即可得答案.【詳解】其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限故選：A.2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程；【詳解】由傾斜角為知，直線的斜率，因此，其直線方程為，即故選：B3．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B．C． D．l與相交，但不垂直【答案】B【分析】根據(jù)平面的法向量與直線的方向向量的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，且，所以平面的一個(gè)法向量與直線l的方向向量平行，則，故選：.4．已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是，那么實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用拋物線焦半徑公式可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由拋物線定義知：，解得：.故選：D.5．在平行六面體中，點(diǎn)M滿足．若，則下列向量中與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖形，由空間向量的線性運(yùn)算可得.【詳解】由點(diǎn)M滿足，所以M為中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以M為中點(diǎn),所以，所以.故選：C6．已知直線，，則“”是“直線與相交”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分別驗(yàn)證充分性，必要性即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得直線與相交，則當(dāng)時(shí)，滿足，即“”是“直線與相交”的充分條件；當(dāng)直線與相交時(shí)，不一定有，比如也滿足，所以“”是“直線與相交”的充分不必要條件.故選:A.7．在正方體中，直線是底面所在平面內(nèi)不過(guò)的一條動(dòng)直線，記直線與直線所成的角為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)作的平行線，過(guò)作該平行線的垂線，垂足為，則，，根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】如圖：過(guò)作的平行線，過(guò)作該平行線的垂線，垂足為，則，所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，取得等號(hào)，所以的最小值是.故選：A8．已知A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）是圓與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列點(diǎn)M中，使得為鈍角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出直線AB的方程，確定弦AB為該圓的直徑，再判斷A，B，C，D各選項(xiàng)中的點(diǎn)M與圓的位置關(guān)系，即可確定的形狀，從而得解．【詳解】由A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）是圓與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，不妨得，，則直線AB的方程為，顯然圓心在直線AB上，即弦AB為該圓的直徑，對(duì)于A，，即在圓上，則為直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即在圓外，則為銳角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，即在圓上，則為直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即在圓內(nèi)，則為鈍角三角形，故D正確．故選：D．9．“天問(wèn)一號(hào)”是執(zhí)行中國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)的探測(cè)器，該名稱源于屈原長(zhǎng)詩(shī)《天問(wèn)》，寓意探求科學(xué)真理征途漫漫，追求科技創(chuàng)新永無(wú)止境．圖（1）是“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器環(huán)繞火星的橢圓軌道示意圖，火星的球心是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．過(guò)橢圓上的點(diǎn)P向火星被橢圓軌道平面截得的大圓作兩條切線，則就是“天問(wèn)一號(hào)”在點(diǎn)P時(shí)對(duì)火星的觀測(cè)角．圖（2）所示的Q，R，S，T四個(gè)點(diǎn)處，對(duì)火星的觀測(cè)角最大的是（

）A．Q B．R C．S D．T【答案】A【分析】連接點(diǎn)P和橢圓的左焦點(diǎn)，由對(duì)稱性和橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的特征得點(diǎn)P位于條件中點(diǎn)Q處，對(duì)火星的觀測(cè)角最大.【詳解】設(shè)火星半徑為R，橢圓左焦點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)椋栽叫?，越大，越大，所以?dāng)點(diǎn)P位于條件中點(diǎn)Q處，對(duì)火星的觀測(cè)角最大.故選：A.10．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為的中點(diǎn)，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)．下列敘述正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成角的最大值為B．當(dāng)點(diǎn)P為棱的中點(diǎn)時(shí)，CN∥平面C．當(dāng)點(diǎn)P在棱上時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離的最小值為D．當(dāng)點(diǎn)時(shí)，滿足平面的點(diǎn)P共有2個(gè)【答案】C【分析】與不可能垂直，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；平移與平面相交于一點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用體積相等即可求出點(diǎn)P到平面的距離的最小值為判斷選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，滿足平面的點(diǎn)P共有1個(gè).當(dāng)點(diǎn)為平面的中心時(shí)，故判斷選項(xiàng)D【詳解】由于線面角的最大值為，與不可能垂直，故直線與平面所成角的最大值達(dá)不到.選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為,連接,相交于點(diǎn)，連接,且故平面,面，故不能與平面平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；到平面的距離始終為，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，故,,故，故選項(xiàng)C正確.當(dāng)點(diǎn)時(shí)，滿足平面的點(diǎn)P共有1個(gè).當(dāng)點(diǎn)為平面的中心時(shí)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：C.二、填空題11．若復(fù)數(shù)滿足，則___________．【答案】##【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得.【詳解】由題意可得，因此，.故答案為：.12．已知直線，直線．若，則實(shí)數(shù)___________．【答案】##【分析】直接根據(jù)兩直線垂直的公式計(jì)算即可.【詳解】由得，解得故答案為：13．已知雙曲線的漸近線為，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________．【答案】【分析】根據(jù)漸近線方程可得：，進(jìn)而得到.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，所以，則，故答案為：.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，且是面積為的正三角形．過(guò)垂直于的直線交橢圓M于B，C兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】【分析】由面積為，且其為正三角形，可得.后由中垂線性質(zhì)結(jié)合橢圓定義可得答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，因面積為，且其為正三角形，又，則，則.又直線BC過(guò)，與垂直，為正三角形，則直線BC為中垂線，則，又，故的周長(zhǎng)，又C，B在橢圓上，則由橢圓定義有.故答案為：15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在其著作《圓錐曲線論》中，系統(tǒng)地闡述了圓錐曲面的定義和利用圓錐曲面生成圓錐曲線的方法，并探究了許多圓錐曲線的性質(zhì)．其研究的問(wèn)題之一是“三線軌跡”問(wèn)題：給定三條直線，若動(dòng)點(diǎn)到其中兩條直線的距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數(shù)，求該點(diǎn)的軌跡．小明打算使用解析幾何的方法重新研究此問(wèn)題，他先將問(wèn)題特殊化如下：給定條直線，，，動(dòng)點(diǎn)到直線、和的距離分別為、和，且滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為；③平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)，曲線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為；④的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．【答案】①③④【分析】設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)曲線對(duì)稱性的定義可判斷①；化簡(jiǎn)曲線的方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷②；化簡(jiǎn)曲線的方程，根據(jù)雙曲線的定義可判斷③；對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】直線的方程為，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，，，所以，，化簡(jiǎn)可得.對(duì)于①，在曲線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，，故點(diǎn)在曲線上，①對(duì)；對(duì)于②，設(shè)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，則曲線的方程可化為，可得，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則，且原點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，此時(shí)有意義，②錯(cuò)；對(duì)于③，當(dāng)，則曲線的方程可化為，整理可得，取雙曲線的焦點(diǎn)、，根據(jù)雙曲線的定義可知，曲線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得，③對(duì)；對(duì)于④，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上，且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的上支時(shí)，則，且且，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，且，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的下支時(shí)，同理可求得的最小值為.綜上所述，的最小值為，④對(duì).故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查曲線有關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中的幾何關(guān)系求出曲線的方程，并對(duì)曲線的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而通過(guò)曲線的方程對(duì)曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行分析求解.三、解答題16．已知直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線、的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用對(duì)稱性可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在直線上可得出，由菱形的幾何性質(zhì)可得出，根據(jù)斜率關(guān)系可得出關(guān)于的等式，即可得解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）解：若，則，不合乎題意，所以，，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且的中點(diǎn)為，則的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，則，即點(diǎn)，所以，，由菱形的幾何性質(zhì)可知，所以，，解得.17．已知曲線M上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1．(1)求曲線M的方程；(2)設(shè)點(diǎn)．若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線M交于B，C兩點(diǎn)，求的面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用拋物線的定義即可求解；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可知的面積，結(jié)合韋達(dá)定理及二次函數(shù)求最值，即可得解.【詳解】（1）由已知得，曲線M上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以曲線M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為（2）設(shè)，顯然，過(guò)點(diǎn)的直線斜率不為0，設(shè)其方程為聯(lián)立，整理得其中，由韋達(dá)定理得：，，所以的面積當(dāng)時(shí)，所以的面積的最小值為18．如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．(1)已知點(diǎn)G為線段的中點(diǎn)，求證：CF∥平面；(2)若，直線與平面所成的角為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇幾個(gè)作為已知，使四棱錐唯一確定，求：（?。┲本€到平面的距離；（ⅱ）二面角的余弦值．條件①：平面；條件②：；條件③：平面平面．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)（?。?；（ⅱ）.【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接，，，，利用中位線證明平面，再利用平行四邊形對(duì)邊平行證明平面，然后利用面面平行的判定得到平面平面，最后由面面平行得到證明即可；(2)選擇條件①和③（?。┰O(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法即可求解；（ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，；因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)椋矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）選擇條件①和③（?。┮?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成的角，由題意可知：，又，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，平面，所?則四邊形為矩形，因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由平面可知：，在中，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離也就是直線到平面的距離.因?yàn)?，即，也即，所以故直線到平面的距離為.（ⅱ）由（?。┛芍?，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則有，也即，令，則；則有，也即，令，則，則，由圖可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.19．已知橢圓的焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．(1)求橢圓